高二寒假数学自学（人教A）第15讲 二项式定理（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第15讲 二项式定理（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）（原卷版），共6页。试卷主要包含了二项式定理及相关概念，运用二项式定理的解题策略，求形如展开式中特定项的求解方法，求形如的式子中与特定项相关的量等内容，欢迎下载使用。

一、二项式定理及相关概念
1、定义：公式称为二项式定理
（1）二项展开式：
（2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数
（3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：
（4）在二项式定理中，若设，，则得到公式
2、二项展开式的特点
（1）展开式共有项；
（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数；
（3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。
3、对通项公式的两点说明
（1）通项公式是的展开式中的第项，这里；
（2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。
二、运用二项式定理的解题策略
1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）。
形如的展开式中会出现正负间隔的情况，对教繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开。
2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。
三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法
求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（）
（1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解；
（2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解；
（3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解；
四、求形如展开式中特定项的求解方法
1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题；
2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题；
3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。
五、求形如的式子中与特定项相关的量
第一步：分别写出与的二项展开式的通项；
第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）；
第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。
【考点一：求型的展开式】
一、解答题
1．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式．
2．（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式．
3．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式．
4．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式；
（2）化简．
【考点二：二项展开式的逆用】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ．
三、解答题
3．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式；
（2）化简：.
【考点三：二项展开式中的特定项问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（ ）
A．60B．15C．D．
2．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 .
4．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ．
5．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）将个班分别从个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为 .
【考点四：三项展开式中的特定项问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．112B．136C．184D．236
2．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．240B．C．560D．360
3．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（ ）
A．24B．25C．48D．49
二、填空题
4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 .
5．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ．
【考点五：几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A．B．0C．5D．10
2．（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D． QUOTE 10 10
3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（ ）
A．2B．1C．D．
4．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（ ）
A．200B．180C．150D．120
5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（23-24高二下·四川南充·期末）二项式的展开式中常数项为（ ）
A．6B．12C．15D．30
2．（24-25高二上·上海·假期作业）设，它等于下式中的（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ）
A．5B．7C．10D．12
5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的展开式中常数项为（ ）
A．B．15C．D．
二、填空题
6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答）
7．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 .
8．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 .
9．（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ．
10．（2024·山西朔州·一模）的展开式中的系数为 ．
三、解答题
11．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
12．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式；
（2）化简：．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：求型的展开式】
【考点二：二项展开式的逆用】
【考点三：二项展开式中的特定项问题】
【考点四：三项展开式中的特定项问题】
【考点五：几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题】
模块四 小试牛刀过关测
1.用计数原理分析的展开式，得到二项式定理；
2.用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理。