高二寒假数学自学（人教A）第16讲 二项式系数的性质（思维导图+4知识点+四大考点+过关检测）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第16讲 二项式系数的性质（思维导图+4知识点+四大考点+过关检测）（原卷版），共7页。试卷主要包含了二项式定理的性质等内容，欢迎下载使用。

一、二项式定理的性质
1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即，，…，
2、增减性与最大值
当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；
二、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题
1、求二项式系数和：
（1）令，则
（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即
2、求各项系数和
（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；
（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；
（3）若，则的各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为
三、二项式系数的最值与项的系数的最值问题
1、二项式系数的最值问题
如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，
它们的二项式系数和相等且最大；
2、项的系数的最值问题
求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可
四、应用二项式定理解决整除问题的方法
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。
注：在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。
【考点一：二项式系数及最值问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（ ）
A．15B．20C．D．1215
4．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·全国·随堂练习）的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项B．第6项C．第6，7项D．第5，7项
6．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）二项式的展开式中无理项的项数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点二：展开式系数最值问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第5项和第6项
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项B．第2项和第4项
C．第3项和第1项D．第4项和第2项
5．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．和B．和C．和D．和
6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【考点三：利用赋值法解决系数问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ）
A．32B．-32C．0D．1
5．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．31B．30C．29D．28
7．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知，则的值为（ ）
A．255B．256C．511D．512
9．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点四：用二项式定理解整除求余】
一、单选题
1．（24-25高二上·广西·期末）被6除的余数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设为偶数，则被整除的余数是（ ）
A．0B．1C．2D．
4．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6B．10C．55D．63
一、单选题
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）展开式中第6项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·四川凉山·期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（ ）
A．21B．42C．84D．168
4．（2024高三·全国·专题练习）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ）
A．43B．C．27D．
5．（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（ ）
A．B．0C．32D．64
6．（23-24高二下·广东广州·期中）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中只有第4项的二项式系数最大D．展开式中含项的系数为84
7．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2B．3C．4D．2或3
8．（23-24高三下·海南·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
10．（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（ ）
A．1B．2C．0D．5
11．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（ ）
A．120B．C．40D．
12．（23-24高二下·浙江·期中）已知今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四B．星期五C．星期六D．星期日
13．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项的项数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，且，若能被3整除，则（ ）
A．B．C．D．
15．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则（ ）
A．210B．330C．165D．145
二、多选题
16．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项是第4项B．展开式没有常数项
C．各项系数之和为D．系数最大的项是第3项
17．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
19．（24-25高三上·上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项．
20．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：二项式系数及最值问题】
【考点二：展开式系数最值问题】
【考点三：利用赋值法解系数问题】
【考点四：用二项式定理解整除求余】
模块四 小试牛刀过关测
1.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题；
2.灵活运用二项式系数的性质。