高二寒假数学自学（人教B）第04讲 函数的极值与导数（思维导图+2知识点+四大考点+过关检测）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）第04讲 函数的极值与导数（思维导图+2知识点+四大考点+过关检测）（解析版），共29页。试卷主要包含了函数的极值，求函数极值的步骤，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、函数的极值
（1）函数的极小值
如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．
（2）函数的极大值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
二、求函数极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的解；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
【注意】
（1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．
即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．
不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．
例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点．
②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点．
③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点．
（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，
点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值．
（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
（5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．
【考点一：函数图像与极值（点）的联系】
一、单选题
1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数的导函数f′x的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由导函数f′x的图象结合的单调性和极值即可得出答案.
【详解】由图象可得在上单调递减，
在0,2单调递增，所以，故B、C错误，D正确；
和为的极值点，所以，
但无法确定值的大小，故A错误.
故选：D.
2．（23-24高二下·浙江·期中）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设函数的两个极值点分别为、，且，求出，结合二次函数的性质分析、、的符号，又由函数与轴交点在轴上方，则有，综合可得答案．
【详解】根据题意，由函数图象易知存在两个极值点，
设两个极值点分别为、，且，，
在区间上，为减函数，此时，
在区间上，为增函数，此时，
在区间上，为减函数，此时，
则是开口向下的二次函数，，有两个根，即和，
则有，则有，，
函数与轴交点在轴上方，则有．
故选：A．
二、多选题
3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值B．函数在处取得极值
C．在区间−2,3上单调递减D．的图象在处的切线斜率小于零
【答案】ACD
【分析】由图可根据导函数的符号，确定函数的单调性，从而确定极值点，判断函数图象上某点处切线的斜率符号.
【详解】由图可得，当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，即C正确；
可得函数在处取得极大值，即A正确；
因x1时，，故在处没有取得极值，B错误；
又，即的图象在处的切线斜率小于零，故D正确.
故选：ACD.
4．（23-24高二下·河北唐山·期中）观察图象，下列结论错误的有（ ）
A．若图中为图象，则在处取极小值
B．若图中为图象，则两个极值点
C．若图中为图象，则在0,2上单调递增
D．若图中为图象，则的解集为
【答案】ABCD
【分析】根据导函数以及原函数图象关系，极值，单调性，逐个选项判断即可.
【详解】对于A，若图中为图象，，且在左右均为增，A错；
对于B，若图中为图象，则在和0,2上递减，在和上递增，所以有两个极小值点和一个极大值点，B错；
对于C，若图中为图象，则时，已知图象与f′x正负相同，所以f?x0；当时，gx0，即函数在上单调递增；
当时，gx0，即函数在上单调递增．
又当时，函数有两个极值点．
综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．
6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若均不为零，讨论函数的极值．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意得，求导得，再结合导数正负区间从而可求解；
（2）根据题意可知函数的定义域为，然后分①，②，③，④共4种情况讨论，从而可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，则，
令，令，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）的定义域为．
①当时，则恒成立，在区间内单调递增，无极值；
②当时，则恒成立，在区间内单调递减，无极值；
③当时，令，得（舍去），，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故有唯一极小值点，极小值为，无极大值；
④当时，令，得（舍去），，
当时，，单调递增；
当时，单调递减．
故有唯一极大值点，极大值为，无极小值．
综上所述，当时，函数无极值，
当时，有极小值，无极大值，
当时，有极大值，无极小值．
【考点四：已知函数的极值（点）求参数】
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解.
【详解】，
由题意可知，，得或，
当时，，得或，
当f?x>0，得或，f?x0，得或，f?x1 时， ，
在处取得极小值；
当 ， 时， ，
当 x0且.
对于，
有，所以Fx在时单调递减；
当时，单调递减，所以有f?x