高二寒假数学自学（人教B）第07讲 导数中常见含参数单调性问题（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）第07讲 导数中常见含参数单调性问题（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（解析版），共20页。学案主要包含了不含参数单调性讨论，含参数单调性讨论，一般性技巧等内容，欢迎下载使用。

一、不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
二、含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
三、一般性技巧
1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
2、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
3、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
【考点一：一次函数型】
一、解答题
1．（23-24高二上·江苏·期末）已知函数.
(1)若，求实数的值;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】（1）借助导数运算即可求解；
（2）求导，判断导数的符号，令导数大于0，求单调递增区间；令导数小于0，求单调递减区间.
【详解】（1），
因为，
所以.
（2）函数的定义域为.
，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令解得，
的解集为，
的解集为，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】先求导得到的解析式，再设函数进行求导，根据参数的取值不同分别判断单调性即可.
【详解】由函数，可得，
设，可得，
①当时，恒成立，所以在单调递增；
②当时，令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
将函数求导，对的正负性进行分类讨论，进而得到的单调性.
【详解】因为的定义域为，
所以，其中，
当时，即，在上单调递增，
当时，即，
令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【考点二：二次函数型I(可因式分解)】
一、解答题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数．讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的导数，再分类讨论求出大于0、小于0的解集得解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，由f?x0，得，则在上单调递增；
当时，f′x≥0在上恒成立，则在上单调递增；
当时，由f?x0，得，则在上单调递增；
所以当时，的减区间为，的增区间为；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，的减区间为的增区间为．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）求函数的单调递减区间.
【答案】答案见解析
【分析】求导后，分类讨论判定导数值为负的情况即可.
【详解】函数的定义域是0,+∞，.
①当时，f?x0，在0,+∞上单调递增；
②当时，令，即且．
令两根，
则当，f?x0，在上单调递增．
综上：当时，函数在0,+∞递增，
当时，函数在单调递减，在单调递增.
2．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求定义域，求导，令，根据二次函数根的分布情况，结合韦达定理讨论ℎx的正负，即可得出的单调性.
【详解】定义域为，，
令，
①当时，恒成立，，在是增函数；
②时，，
当，即时，由得，，
因为，所以，
由或，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当，即时，恒成立，在是增函数，
综上可知： 时，在是增函数；
时，的单调递减区间为，单调递增区间为，.
3．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数．
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)若，讨论的单调性；
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，可得，进而可得切线方程为，进而可得恒过原点；
（2），分，，三种情况讨论可得的单调性.
【详解】（1）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
故切线方程为，即，所以恒过原点．
（2）由（1）得，
①时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
令，则
②且，即时，，在上单调递增，
时，，
，则，或，得
所以在上单调递增，在上单调递增；
，则，则，
所以在上单调递减，
综上：时，在上单调递增；在上单调递减；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递增；
在上单调递减．
【点睛】方法点情，利用分类讨论法是求解含参数的函数的单调区间常用的方法.
【考点四：指数函数型】
一、解答题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数.讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求出函数及导数，再分类讨论求出的单调区间即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数Fx在上是增函数；
当时，由，得，
当时，，函数Fx单调递增，
当时，，函数Fx单调递减，
所以当时，函数Fx在上是增函数；
当时，函数Fx在上单调递增，在上单调递减.
2．（23-24高二下·全国·课前预习）已知．讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的导数并化简，讨论a的取值范围，确定导数的正负，即可求得答案.
【详解】由题意得，
，
当时，，则，则在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上所述：当时，则在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程．
(2)讨论的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析．
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）求出导函数，对分类讨论：和三种情况分别求出单调区间．
【详解】（1）当时， ，则，
以， ，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）．由得．
当时，解得．
故当时， ，当时， ．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，解得或．当时， ；当时，；
当时， ．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和．
当时，解得或．当时， ；当时，；
当时， ．
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和．
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数 讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间即得.
【详解】函数，求导得，
当时，，f?x0，单调递增；
当时，当或时，f?x>0，单调递增，当时，f?x0，单调递增，当时，f?x0解得或，f?x0解得或，f?x