高二寒假数学自学（人教A）第09讲 导数中的极值点偏移问题（思维导图+4知识点+五大考点+过关检测）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第09讲 导数中的极值点偏移问题（思维导图+4知识点+五大考点+过关检测）（原卷版），共8页。学案主要包含了极值点偏移，极值点偏移的判断，答题模板，其他方法等内容，欢迎下载使用。

一、极值点偏移
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则
②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则
③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则
二、极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察
三、答题模板（对称构造）
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
四、其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
【考点一：极值点偏移：加法型】
一、解答题
1．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点，求证：.
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)当时，试讨论的单调性；
(2)若函数有两个不相等的零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
4．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知函数.
(1)若该函数在单调递增，求的取值范围.
(2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：.
【考点二：极值点偏移：减法型】
一、解答题
1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
3．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．
【考点三：极值点偏移：乘法型】
一、解答题
1．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)若有两个极值点，．
（i）证明：；
（ii）证明：.
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：.
4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．
5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知函数.
(1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数有两个极值点,证明：.
【考点四：极值点偏移：其他型】
一、解答题
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；
(2)若且，，证明：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
4．（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数.
(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；
(2)若，求证：.
一、多选题
1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
2．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数与函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为
C．若方程有两个不同的实根，则
D．当时，若，则成立
二、解答题
3．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
4．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数.
(1)若有唯一极值，求的取值范围；
(2)当时，若，，求证：.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的极值点的个数；
(2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值．
6．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：．
8．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数．
(1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值；
(2)若函数有两个零点，证明：．
9．（2024·山东泰安·二模）已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
10．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：极值点偏移：加法型】
【考点二：极值点偏移：减法型】
【考点三：极值点偏移：乘法型】
【考点四：极值点偏移：其他型】
模块四 小试牛刀过关测
1.了解极值点偏移问题的一般题设形式.
2掌握对称构造法在极值点偏移问题.