高二寒假数学自学（人教B）预习12 数列基础（九大考点）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）预习12 数列基础（九大考点）（解析版），共20页。学案主要包含了数列的概念与表示，数列的递推公式，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、数列的概念与表示
1.数列的概念
（1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.
（3）分类:
若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列
2.数列的表示方法
（1）一般形式:数列的一般形式是简记为.
（2）其他方法:解析式法、表格法、图象法.
3.数列的通项公式
（1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
（2）数列与函数的区别和联系：
数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点；
函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线.
4.数列的单调性
与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值.
知识点二、数列的递推公式
1.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
数列的递推公式与其通项公式的异同：
2.数列的前n项和
（1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即.
（2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
3.与的关系式：
①当时，若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.
考点一：数列的概念及分类
例1．下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【详解】对于A，由数列定义知，A正确；
对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；
对于C，数列的通项公式可以为，
也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；
对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.
故选：A
变式1-1．数列的通项公式是，，则它的图象是（ ）
A．直线B．直线上孤立的点
C．抛物线D．抛物线上孤立的点
【答案】B
【详解】数列对应点为，
所以图象是直线上孤立的点.
故选：B
变式1-2．（多选）下列说法中，不正确的是（ ）
A．数列可表示为
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列和数列一定不是同一数列
【答案】ABD
【详解】对于A，不表示数列，故A错误；
对于B，数列具有有序性，故B错误；
对于C，数列的项可以相等，故C正确；
对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误.
故选：ABD.
变式1-3．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1)是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列．
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)正确，理由见解析
(3)错误，理由见解析
【详解】（1）错误．是集合，不是数列．
（2）正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．
（3）错误．当，代表数时为项数为8的数列；
当，中有一个不代表数时，便不是数列，
这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成．
考点二：根据规律求数列的项
例2．已知数列，则是它的（ ）
A．第9项B．第10项C．第13项D．第12项
【答案】C
【详解】数列，即数列的通项公式是，
令，所以是它的第13项.
故选：C.
变式2-1．数列的第100项是（ ）
A．2B．10C．D．
【答案】A
【详解】由数列，可化为，
所以数列的第100项为.
故选：A.
变式2-2．已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，数列，可化为，
所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是.
故选：D.
变式2-3．根据下列数列的特点，用适当的数填空：，， ，，， ，.
【答案】
【详解】由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的正整数，所以第一空需要填，第二空需要填，
故答案为：，.
考点三：根据数列的前几项求通项
例3．已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A，，不合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，不合题意；对于D，，不合题意．
故选：B
变式3-1．数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将，，，可以写成成，，，
所以的通项公式为.
故选：C
变式3-2．（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误；
对B，由，可得，
由可得，故，
由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，.
故该递推公式符合数列，故B正确；
对C，当时，，不符合数列，故C错误；
对D，当为奇数时，，当为偶数时，，
符合数列的通项公式，故D正确.
故选：BD.
变式3-3．写出下面各数列的一个通项公式．
(1)；
(2)6，66，666，6666，…；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，
所以它的一个通项公式为．
（2）这个数列的前4项可写为，，
所以它的一个通项公式为．
（3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为，
分子依次为，
所以它的一个通项公式为.
（4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为，
对于分母联想到数列可得分母的通项公式为，
所以原数列的一个通项公式为．
考点四：根据通项公式求值
例4．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
【答案】B
【详解】，令，解得.
故选：B.
变式4-1．已知数列，则它的第8项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意知，数列的通项公式为，
所以它的第8项的值为.
故选：D.
变式4-2．（多选）若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列有3个负数项
B．该数列有无限多个正数项
C．该数列的最小项大于函数的最小值
D．该数列中的所有项均为奇数或4的倍数
【答案】ABD
【详解】对于和，令，解得，
所以数列前3项为负数项，从第5项开始后面的项均为正数项，故A正确，B正确；
对于C，由二次函数的性质可知，，故C错误；
对于D，，与同为奇数或同为偶数，故D正确；
故选：ABD
变式4-3．已知数列的通项公式为．
(1)计算的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是数列的第10项．
【详解】（1）数列中，，，
所以.
（2）若为数列中的项，则，
即，整理得，而，解得，
所以是数列的第10项.
考点五：由递推关系求数列的项
例5．已知数列满足，且，则（ ）
A．54B．55C．56D．57
【答案】C
【详解】由题意可知，，
所以，，，……，，
所以上面9个式子相加得，
所以.
故选：C
变式5-1．已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【详解】由，得，，，．
故选：B．
变式5-2．已知数列的前项和为，，，，（），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，，，
，，，，
所以，
故选：A.
变式5-3．数列满足，，则 ．
【答案】2
【详解】∵，∴，∴，，，∴.
故答案为：2.
考点六：数列的周期性及应用
例6．在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D． QUOTE -2 QUOTE -2 -2
【答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，
所以数列是以4为周期的数列，故不是中的项.
故选：A.
变式6-1．已知数列满足等于的个位数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【详解】因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
故前10项为：，
故数列从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为6，
故，
故选：D.
变式6-2．已知数列满足，设的前n项和为，若，则 .
【答案】123
【详解】由题意可知：，，，，
，，……
由此可得是一个周期为4的周期数列
∴.
故答案为：123.
变式6-3．已知数列满足，，则 .
【答案】
【详解】，，
，故数列是以为周期的周期数列，
则.
故答案为：.
考点七：已知Sn求通项公式an
例7．已知数列的前项和满足，则 .
【答案】10
【详解】由题得.
故答案为：10.
变式7-1．数列的前项和为，则它的通项公式为 .
【答案】
【详解】当时，，
时，，
验证，当时，，成立.
故答案为：
变式7-2．已知数列的前项和．则数列 ．
【答案】
【详解】当时，，
当时，，
验证当时，成立，
所以.
故答案为：
变式7-3．在数列中，，则的通项公式为 .
【答案】
【详解】数列中，，
时，有，
时，由，得，
两式相减得，即，
时，也满足.
所以.
故答案为：
考点八：累加法求数列的通项
例8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，
所以，
所以,
所以，所以，
当时，符合的情况，
所以，所以，
故选：D.
变式8-1．在数列中，，，则等于（ ）
A．4B．C．13D．
【答案】A
【详解】依题意，在数列中，，，
即，
所以
.
故选：A
变式8-2．若在数列中，，，求通项．
【答案】.
【详解】由，得
以上个式子相加，又，
所以．
变式8-3．在数列中，，当且时，，求数列的通项公式．
【答案】
【详解】当时，，
，，，…，，
，又，
．又符合上式，
．
考点九：累乘法求数列的通项
例9．已知数列的项满足，而，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知，即
则时，，，，，，，
等式左右分别相乘可得，
又，适合上式，
所以，
故选：B.
变式9-1．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
累乘可得，
即，所以，
当时，也成立，
所以.
故答案为：
变式9-2．在数列中，，则 .
【答案】6
【详解】因，故有，
即得，所以.
故答案为：6.
变式9-3．已知数列的前项和为.求数列的通项公式；
【答案】
【详解】因为，显然，所以，
当时，由累乘法得，
则，又，所以，
所以当时，，时，也符合，
所以.
一、单选题
1．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，…，
故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，
故选：A．
2．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A．B．0C．D．2
【答案】D
【详解】.
当时，函数单调递减，
则当时，数列单调递减，
所以中的项最大为.
故选：D.
3．已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】为单调递增的数列，故，
解得，
故选：C
4．数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A选项，当时，，故A错误；
对于B选项，当时，，当时，，
当时，，当时，，故B正确；
对于C选项，当时，，故C错误；
对于D选项，当时，，故D错误.
故选：B.
5．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由对于任意都有知，数列为递减数列，
所以只需满足，解得，
故选：C
6．已知数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以由递推公式可得
当时，等式两边分别相加，得
，
因为，则，而满足上式，所以，
即，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，当时，，
当时，，因为，所以的最小值为.
故选：A.
二、多选题
7．下列结论中正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列通项公式的表达式不是唯一的
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列
【答案】BD
【详解】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误；
数列通项公式的表达式不是唯一的，
例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是，故B正确；
构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误；
根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确．
故选：BD.
8．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，6是偶数，则，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
，D错误.
故选：BC.
三、填空题
9．已知数列的前n项和满足，则 ．
【答案】6
【详解】由，则.
故答案为：6.
10．在数列中，，且，则 ．
【答案】
【详解】在数列中，，且，
，
，
，
由此猜想．
下面用数学归纳法证明：
①，成立，
②假设成立，
则成立，
由①②得，
则．
故答案为：．
11．若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】数列中，，当时，，
两式相减得，即，则有，
因此数列是常数列，则，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
四、解答题
12．已知无穷数列
(1)求出这个数列的一个通项公式；
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？
【答案】(1)an＝（n＝1，2，…）
(2)有，4项
【详解】（1） ∵ 数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与n有关的关系式（n＋1）2，
而每一项的分母恰好比分子大于1，∴ 通项公式的分母可以为（n＋1）2＋1，
故该数列的一个通项公式为an＝（n＝1，2，…）.
（2） 当≤an≤时，可得≤≤，
解得2≤n≤5，故数列在[，]内有项，并且有4项．
13．已知数列，其前n项和为，，求数列的通项公式.
【答案】
【详解】时，，
时，，
不适合上式，
数列的通项公式为.
14．已知，问数列中是否有最大项？若存在，求出这个最大项；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
【详解】由，则，
所以，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以，
故数列中有最大项，且最大项为．
15．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.
(1)求和的值，并猜想的通项公式；
(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意对任意正整数，有，
令时，，即，可得；
令时，，即，可得.
由猜想：.
（2）由（1）可知；
当时，由得，则，
即，即，
故时，，
且也适合上式，所以.
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征；
2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义；
3．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律；
4．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养
类别
含义
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
相同点
不同点
通项公式
均可确定一个数列,求出数列中的任意一项
给出n的值,可求出数列中的第n项
递推公式
由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项