第10讲 导数与函数的单调性-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修三）

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
【知识导航】
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
【知识预习】
考点一：利用导数判断单调性和求函数的单调区间
1．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意，
在中，
当时，解得（舍）或
当即时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
2．已知函数，则（ ）
A．在上是增函数
B．在和上是增函数
C．在和上是减函数
D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】B
【详解】依题意，由得的定义域为，
又，即在和上都单调递增，
所以在和上是增函数.
故选：B
3．函数的递增区间是（ ）
A．和B．
C．D．
【答案】D
【详解】由，得
令，即，解得
所以函数的递增区间是
故选：D
4．已知函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．，
C．D．
【答案】C
【详解】定义域为，，
解得，当时，，
所以的单调递增区间为.
故选：C
5．已知函数，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
考点二：函数与导数图像之间的关系
6．定义在上的函数，其导函数图像如图所示，则的单调递减区间是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】由导函数图像可知：当时，，函数单调递减
的单调递减区间是
故选：C
7．函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】的解集即为单调递增区间
结合图像可得单调递增区间为
则的解集为
故选：C．
8．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故选：A
9．已知函数在上可导， 的图象如图所示，其中为函数的导数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由图象可知，在单增，在单减，即在上大于0，在上小于0，
又或，则解集为.
故选：A.
10．函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题：
①是函数的极值点；
②是函数的最小值点；
③在区间上单调递增；
④在处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，故③正确；
则是函数的极小值点，故①正确；
在上单调递增，
不是函数的最小值点，故②不正确；
函数在处的导数大于，
切线的斜率大于零，故④不正确．
故选：C．
考点三：含参讨论函数的单调性
11．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
12．已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题得的解集为，
所以不等式的解集为，
所以
故选：B
13．（多选）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】定义域为，；
由得函数的增区间为；
由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，
所以或
解得或；
结合选项可得A,C正确.
故选：AC.
14．（多选）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】AD
【详解】设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，
当时，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以为，，
故选：AD.
15．（多选）若函数在上为单调递增函数，则a的可能取值为（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】AB
【详解】解：因为，所以，
因为在，上为单调递增函数，所以在，上恒成立，
当时，有在，上恒成立，不符合题意；
当时，二次函数开口向下，不可能满足在，上恒成立，不符合题意；
当时，若，则在，上恒成立；
若，则，△，满足在，上恒成立．
综上所述，可以取到1和2．
故选：．
【对点训练】
一、单选题
1．函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】D
【详解】由题知，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
函数无单调减区间，
故选：D.
2．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
3．已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD,
又C选项，递减区间斜率不变，故排除，
故选：B.
4．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，
因为函数在区间内单调递增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以由，
因为，所以，于是有，
故选：D
5．已知函数的部分图像，其中，，为图上三个不同的点.如下图.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由图象可知，点A在单调递增区间上，点B为极值点，
点C在单调递减区间上，所以可知，
所以.
故选：B
6．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意，知的解集即的单调递减区间，
故的解集为．
故选：A．
7．已知是函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，
因为，
所以，即，
设，
所以，
因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以等价于，
则，即，解得．
所以不等式的解集是．
故选：C
8．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，
设，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故选：B
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
10．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是
B．当时，的图象位于x轴下方
C．存在单调递增区间
D．有两个单调区间
【答案】BC
【详解】由，得且，所以函数的定义域为，所以A不正确.
当时，，，所以，所以当时，的图象位于x轴下方，所以B正确.
，令，则，所以函数单调递增， ，故存在，使得，则函数只有一个根，当和时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数有三个单调区间，所以C正确，D不正确.
故选：BC.
三、填空题
11．已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：，
∵在内为减函数，
∴在内恒成立，
∴，即，
解得．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
12．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】设，，
因为，所以，即在R上为增函数.
.
因为在R上为增函数，所以，解得.
故答案为：
四、解答题
13．求下列函数的单调区间.
(1).
(2).
【答案】(1)减区间为，增区间为
(2)减区间为：和，增区间为
【详解】（1）的定义域为，，
所以在区间递减；
在区间递增.
所以的减区间为，增区间为.
（2）的定义域为，
，
所以在区间和，递减；
在区间，递增.
所以的减区间为：和，增区间为.
14．设函数，求的单调区间．
【答案】答案见解析
【详解】的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
15．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，(2)
【详解】（1）当时，，
，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
【提升作业】
一、单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数的定义域为，
，
令，
∴函数的单调递减区间是，
故选：A
2．已知函数的导函数是，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于AB，，
当，即时，，在上单调递减；
，，故AB错误；
对于D，当，即时，，在上单调递增；
，故D正确；
对于C，令，满足在上单调递减，在上单调递增，
此时，故C错误.
故选：D.
3．已知函数， 则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数定义域为R，求导得，
因此函数在R上单调递减，而，则有，
所以的大小关系是，A正确.
故选：A
4．若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．D．不存在这样的实数
【答案】B
【详解】解：
，
令，解得，或，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
即函数极值点为，
若函数在区间上不是单调函数，
则或，
所以或，
解得或
故选：B．
5．若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，
由可得，即，
所以只需，方程在上有两个不同的实数根.
故选：A.
二、填空题
6．设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调增区间为__________．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
又因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以，即，所以，
所以，
由，可得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：.
7．已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】,在上是严格减函数,故在恒成立，且不恒为0，即，记，则，所以在单调递增，故，因此，
故答案为：
三、解答题
8．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)(2)递增区间为，；递减区间为
【详解】（1），
，
，又，
曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
∴当时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减.
的递增区间为，；递减区间为.
9．求函数的单调区间.
【答案】见解析
【详解】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
10．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围
(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1），则，
因为切线与直线垂直，所以，解得.
（2），则，
在上单调递增，所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以.
（3）当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，
，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,
所以所以有两个零点，故.
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数