高二寒假数学自学（人教A）第11讲 导数中的新定义问题（思维导图+3知识点+三大考点+过关检测）（解析版）.

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第11讲 导数中的新定义问题（思维导图+3知识点+三大考点+过关检测）（解析版）.，共40页。学案主要包含了新定义问题，新定义问题的方法和技巧，导数新定义问题等内容，欢迎下载使用。

一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新运算、新性质几种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、导数新定义问题
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
【考点一：定义新概念】
一、解答题
1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′x是的导函数，f″x是f′x的导函数，则曲线y=fx在点处的曲率．
(1)求曲线fx=1x在点处的曲率的值；
(2)求正弦曲线曲率的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）求出fx=1x的f′x以及f″x，根据曲线y=fx在点处的曲率定义，即可求得答案；
（2）根据曲率的定义，求出的平方的表达式，利用换元法结合导数判断函数单调性，即可求得的平方的最大值，结合，即可求得答案.
【详解】（1）由fx=1x得，，
故，
所以曲线fx=1x在点处的曲率；
（2）由题意得，
故，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，
则，即的最大值为1，
由题意知曲线y=fx在点处的曲率，即，
故的最大值为1.
2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由;
(3)当时，求证：函数为“函数”.
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线方程；
（2）利用反证法，假设切线是函数的一条“切线”，构造函数，根据导数研究函数的图像得假设不成立，从而得证；
（3）设，求出在处的切线，构造函数，利用导数得出存在在处的切线与只有唯一公共点，从而得证.
【详解】（1），，
，
所求切线方程为，即.
（2）（1）中所求切线不是函数的一条“切线”.
理由如下：
假设切线是函数的一条“切线”，
则方程，即只有一个解.
记函数，则只有一个零点.
（方法一），
当时，单调递增;
当时，单调递减;
当时，单调递增，
的极大值为，极小值为，
又时，，
函数有两个零点，这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“切线”.
（方法二），
函数至少有两个零点，这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“切线”.
（3）证明:由（1）知，
设，
在处的切线方程为，
即，
只需方程，
即只有一个解，
令，
则，
令，则，
取，则，
单调递增，又，
函数只有一个零点，即只有一个解，
函数为“函数”
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点个数常用方法：（1）转化为相应方程根的个数：求出其根可得解；（2）根据导数求研究函数的单调性，画出函数大致图像，判断函数与x轴交点的情况；（3）转化为两个函数图像交点的个数：利用导数研究两个函数的图像，根据两个函数交点情况可得结果.
3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围；
(2)若函数在上有极值，求整数的最小值．
（参考数据）
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由题意可得，参变分离后可得恒成立，构造函数后，借助导数得其单调性后即可得其最小值，即可得的取值范围；
（2）由函数在上有极值，可得在上有解，构造函数，虚设其导数零点，可得函数单调性，即可得其最小值，结合零点存在性定理可得，再构造函数，结合其单调性即可得其最小值，即可得得范围，即可得其最小值.
【详解】（1）由，得，，
由于函数为上的凸函数，故，即，
令，则，
当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，所以，
故的取值范围为；
（2）由，得，
函数在上有极值，即在上有变号零点，
即在上有解，
令，则，
令，则，，
即在上单调递增，
又，，故存在，使得，
且时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
由于，，
故，，
又，
，
由零点存在定理知，，
因为在上单调递减，且，
故，
因为，则，又，
的最小值为1.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于无法求出函数的零点的具体值时，虚设零点，则有，从而可得.
4．（23-24高二下·山东德州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不是上的“2类函数”.
(2).
【分析】（1）利用解析式化简，结合放缩即可判断；
（2）不妨设，根据新定义可得，整理后可得且，根据和的单调性可得，然后参变分离，构造函数，，分别利用导数求和即可得解.
【详解】（1）对于任意不同的，设，
则，，
所以，
所以不是上的“2类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
所以，，
故对任意，都有，即，
所以，
令，，
令，在单调递减，
所以，，
故在单调递减，
所以，所以，
令，，
令，在上单调递减，
，，
所以，使，即，
当时，，即??x>0，ℎx在上单调递增，
当时，，即??x