（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义02 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【典型例题】
例1．若二次不等式对恒成立，求的取值范围.
【解析】，抛物线对称轴
当即时，函数最小值为，与不合，舍去；
当即时，函数最小值为；
当时，函数最小值为与矛盾，舍去.
综上所述得得取值范围为.
例2．（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，则解得.
（2）因为，所以，由题可知，则或，
由题意，方程有两个负根，即解得.综上，实数的取值范围是.
例3．（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【解析】（1）恒成立，即恒成立.
当时，，满足题意；
当时，知 即解得.
综上，实数的取值范围为.
（2）若，则原不等式可化为，解得.
若，则原不等式可化为，解得.
若，则原不等式可化为，
当，即时，解得或；
当，即时，解得或；
当，即时，解得或.
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
例4．对于函数，若存在，使，则称是的一个“伸缩倍点”.已知二次函数.
(1)当a＝1时，求函数的“伸缩2倍点”；
(2)当函数有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数的最大值.
【解析】（1）当a＝1时，，设是的“伸缩2倍点”，则，得，解得或，∴函数的“伸缩2倍点”是－1和4.
（2）∵函数有唯一一个“伸缩3倍点”，∴方程有唯一解，即有唯一解，由，解得或a＝－3.
①当时，二次函数，最大值为.
②当时，二次函数，最大值为.
【过关测试】
一、单选题
1．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，即为，不符合题意；
故，即为，令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，故选：D
2．在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，
令，此时只需，又，
所以，即，解得.故选：A.
3．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.
4．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．故选：C
5．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为故选：D
6．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，
令，，当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，则，
解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，
解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.
7．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，，，即 ，故问题转化为在上有解，
设，则，，对于 ，当且仅当时取等号，
则，故 ，故选：A
二、多选题
8．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．的解集为或
【答案】ABC
【解析】不等式的解集为，，故A正确；
，令，，即，故B正确；
由上所述，易知，，由题意可得为一元二次方程，则，，
则，，即为方程的解，
则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.故选：ABC.
9．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】ABD
【解析】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，则需满足：，即；
所以k的取值范围为.故选：ABD.
10．已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式等价于，解得或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式等价于，解得或．故选:BCD．
11．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由知，与同号．若，则，这时，所以，
此时与矛盾，所以，．同理可证，故A正确；
对于B：根据题意可知，，，，解得．
同理，，即，故B不正确，D正确；
对于C：由A知，，，，是整数，所以，．
由韦达定理有，所以，故C正确；故选：ACD．
三、填空题
12．若，是真命题，则实数a的取值范围是_________；
【答案】
【解析】因为，是真命题，所以，恒成立，
即，恒成立，则，所以，
故实数a的取值范围是 故答案为：
13．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】由命题甲：关于的不等式的解集为，
当时，不等式恒成立；
当时，则满足，解得，综上可得．
由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，
则满足，整理得，所以，解得．
所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，
可得，即实数的取值范围为．
故答案为：．
14．若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
【答案】或【解析】，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，
①当，即时，当时，函数最大值为3，，解得：（舍去）；
②当，即时，当时，函数最大值为3，，解得：．
③当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得（舍去）或，综上所述，或.
故答案为：或
四、解答题
15．已知集合，命题p：“不等式对一切实数x都成立．
(1)若命题p是真命题，求实数k的取值范围；
(2)当命题p是真命题时，记实数k的取值范围对应集合为集合B，若，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为命题p：“不等式一切实数都成立”是真命题，
当时，成立；当时，不成立；当时，，所以
综上所述，
（2）因为，所以，
由（1）可得，因为，
当，即时，，满足，
当，即时，，
若，则，不等式组无解，综上所述，.
16．定义一种新的集合运算：，且．若集合 ， ，．
(1)求集合M；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）， ，
故 且或；
（2）若是的必要条件，则，
①当即时，，则，即，
②当即时，，则，即，
③当即时，是空集，此时不满足条件，
综上，所求实数a的取值范围为或．
17．设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【解析】（1）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得.所以实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，，
①当，解集，
②当，解集为或，
③当，解集为或.
综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
18．已知函数，．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
【解析】（1）若不等式的解集为，，即1，2是方程的两个根，
则，即，则，由得，
即得，得或，即不等式的解集为，，．
（2）解:不等式恒成立，即在，恒成立，
令，，，则，
令，解得：，故在，递增，在，递减，
故（1）或，而（1），，故．
（3）由得，，即，
若方程在，有解，等价为有解，
设，，，，，即，即，则，
即实数的取值范围是，．
19．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；
(3)设，求的最大值.
【解析】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，
恒成立，，
又， ；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
令，当时，单调递减，.
所以；
（3），，对称轴为，
①当，即时，；
②当，即时，，
综上所述.
恒成立问题 随堂检测
对于定义域为R的任意奇函数f(x)都恒成立的是( )
A.f(x)－f(－x)≥0 B.f(x)－f(－x)≤0
C.f(x)·f(－x)≤0 D.f(x)·f(－x)>0
【答案解析】答案为：C；
解析：由f(－x)=－f(x)知f(－x)与f(x)互为相反数，∴只有C成立.
不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a-b-1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案解析】答案为：D；
解析：①a2＋2-2a=(a-1)2＋1>0，故①正确；
②a2＋b2-2(a-b-1)=a2-2a＋b2＋2b＋2=(a-1)2＋(b＋1)2≥0，故②正确；
③a2＋b2-ab=a2-ab＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(3,4)b2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)b))2＋eq \f(3,4)b2≥0，故③正确，故选D.
命题“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.a≥4 B.a≤4 C.a≥3 D.a≤3
【答案解析】答案为：C；
解析：即由“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”可推出选项，
但由选项推不出“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”.
因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，x2－a≤0恒成立，即x2≤a，因此a≥4；反之亦然.故选C.
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4