2025年中考数学二轮复习：二次函数综合压轴题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数综合压轴题 提分刷题练习题（含答案解析），共39页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标．
拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数y=+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为，以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为，，连接，，并且满足．过点B作轴于点M，过点C作轴于点N．
(1)求该二次函数的关系式；
(2)经过点B作直线，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得，连接，求证：；
(3)若直线与圆A相切，请求出k的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若抛物线的顶点为C，直线与y轴交于点D．
(1)当时，求A，B两点的坐标；
(2)当与的面积比为时，k的值为多少；
(3)将抛物线位于直线上方部分沿翻折，顶点C的对应点为E，的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象经过点和，并与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，过点A作交抛物线于点D，E为直线BC下方抛物线上的一个动点，连接DE，交线段BC于点F，连接CE，AF，求四边形ACEF面积的最大值；
（3）直线与线段BC交于点G，将该抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线刚好经过点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，是否存在以点A，E，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图是二次函数的图象，顶点为，与轴的交点为．

(1)经过两点的直线的函数解析式为________；
(2)请在第二象限中的抛物线上找一点，使的面积与的面积相等．
7．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值．
8．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．
9．如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，
(2)判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
10．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接，已知点A，D的坐标分别为．
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C．

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为(－2，4)，试求经过D、O、C三点的抛物线的解析式．
（3）若坐标平面内的点P，使得以点P和三点D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
12．如图，二次函数 y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线 AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．
（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；
（2）在直线 AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．
13．已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；
(3)当PC＝CO时，求P点坐标．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与坐标轴交于点A、B、C且OA=1，OB=OC=3．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出顶点坐标和对称轴方程；
（3）点M、N在y=ax2+bx+c的图象上（点N在点M的右边），且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．
15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若直线与图象G恰有一个公共点，结合函数图象写出点纵坐标t的取值范围．
参考答案
1．（1）；（2）；拓展设问：存在，
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可．
（2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标．
拓展设问：设，得出，，，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）是以点为直角顶点的直角三角形时，.
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点关于抛物线对称轴对称，，
∴点，
设，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得，（舍去），
∴，
∴.
拓展设问：解：存在，设，其中，，，，
①当时，即，
∴，
∴，
解得（舍）或（舍）；
②时，
即，
∴，
解得（舍）或，
∴，
设所在直线的一次函数关系式为
又∵点，点，
∴
解得
∴所在直线的一次函数关系式为
∵四边形为矩形，
∴
∴可设所在直线的一次函数关系式为
将点代入中，
即
解得
∴所在直线的一次函数关系式为，
设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ，连接，，
∵，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
解得：
∴点
综上所述，.
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．(1) y=﹣x2+4x﹣6；(2)6；(3)存在；P点坐标为（4，6）或（4，﹣6）．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）先把（1）中的解析式配成顶点式，从而得到C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）利用PC∥OB，则根据平行四边形的判定方法，当PC=OB=6时，以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，从而可确定P点坐标．
【详解】解：（1）把A（2，0），B（0，﹣6）代入y=+bx+c得 ，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y=﹣x2+4x﹣6；
（2）∵y=﹣x2+4x﹣6=﹣（x﹣4）2+2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），
∴C（4，0），
∴△ABC的面积=×（4﹣2）×6=6；
（3）存在．
如图，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴PC∥OB，
当PC=OB=6时，以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，
此时P点坐标为（4，6）或（4，﹣6）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
3．(1)
(2)见解析
(3)或2
【分析】（1）证明，求出，，得到点B，C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）证明，求出，可得出点D坐标，进而求出直线的解析式，联立一次函数和二次函数解析式求出点E坐标，利用勾股定理求出即可得出结论；
（3）分两种情况：①当直线与的切点在x轴上方时，记切点为G，则，证明四边形POQG是矩形，，得到，，设点，表示出，，，，得出关于k，m的方程组，解方程组可得答案； ②当切点在x轴下方时，同①的方法求解即可．
【详解】（1）解：∵轴于M，轴于N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵过点B，C，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
将点B，C代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵轴于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（舍），
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵点在上，
∴的半径为：，
如图2，记直线与y轴相交于F，令，则，
∴，
∴，
①当直线与的切点在x轴上方时，记切点为G，则，，
连接AF，在中，，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
过点G作轴于P，过点G作轴于Q，
∴，
∴四边形POQG是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点，
∴，，，，
∴①，②，
联立①②解得，，
②当切点在x轴下方时，同①的方法可得，；
综上：直线与圆A相切时，k的值为或2．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法的应用，三垂线判定两三角形全等，求函数图象的交点坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，切线的性质，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握“一线三等角模型”，证明三角形全等是解题的关键．
4．(1)，
(2)
(3)的最大值为4，的面积最大为8
【分析】
本题主要考查一次函数与二次函数的交点坐标，熟练掌握函数的图像性质是解题的关键．
（1）将代入，联立两个方程，求出交点即可；
（2）过A作轴于K，过B作轴于T，求出交点坐标，根据与的面积比为得到即可得到答案；
（3）过E作轴于H，得到，由垂线段最短可得，，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
联立，
解得或，
，；
（2）解：过A作轴于K，过B作轴于T，如图：
联立可得，
，，
与的面积比为，
，
，即，
，
解得或（舍去），
的值为；
（3）解：的面积有最大值，理由如下：
过E作轴于H，
抛物线的顶点C坐标为，
在中令得，
，
，
，
当最大时，的面积最大，
将抛物线位于直线上方部分沿翻折，顶点C的对应点为E，
C，E关于直线对称，
，
由垂线段最短可得，，即的最大值为4，
的面积最大为．
5．（１）；（２）当时，；（３）存在这样的，理由见解析．
【分析】（1）将点和代入抛物线中，利用待定系数法解题即可；
（2）令，结合韦达定理解得，根据已知条件可得，由此得到点的坐标，再利用待定系数法解得直线的解析式为：，由两直线平行，斜率相等解得，联立方程组即可解得点，设由方程组解得交点坐标，设与相交于点，作交于点，可知，继而解得点，最后根据结合配方法解题即可；
（3）分当时或当时，或当 时，结合一次函数的性质解题即可．
【详解】解：（1）将点和代入抛物线中，得
；
（2）令，
设直线的解析式为：，代入点得，
解得
设
在上，
联立方程组
整理得：
设
E为直线BC下方
联立方程组
设与相交于点，作交于点，
当时，；
（3）由（2）知
或（舍去）
即对称轴为：
设
设，代入，得
同理解得
当时，
由公式法解得；
当时，
解得：；
当时，
解得
综上所述，存在这样的．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及一次函数、一元二次方程的解法、直角三角形的判断等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由题意得到，过点作轴于点，如图所示，设，则，数形结合，由的面积与的面积相等列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点为，
令，则，即；
令，则，即；
设经过两点的直线的函数解析式为，
由题意得，解得，
经过两点的直线的函数解析式为，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
，
，即，
点在第二象限中的抛物线上，，
点在点左侧的抛物线上，过点作轴于点，如图所示：

设，则，
，，
，
，
，即，
，解得（不合题意，舍去），，
，即．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数与图形面积问题，熟练掌握二次函数图象与性质，掌握常见函数题型解法是解决问题的关键．
7．(1)
(2)小球能飞过这棵树，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为，再将代入，求出a的值，从而即可求出抛物线的表达式；
（2）将代入，可求出B点坐标，从而可求出树的顶端的坐标为．再将代入，求出此时点M的坐标，再比较和即可得解；
（3）联立，并求解，即可求出x的取值范围．过点M作轴于点F，交于点E．设，则，即得出，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴可设抛物线的表达式为．
由题意可知该抛物线过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，得：，
∴．
∵树高为4，
∴树的顶端的坐标为．
将代入，得：，
∴此时，
∴，
∴小球M能飞过这棵树；
（3）联立，
解得：，．
∴．
如图，过点M作轴于点F，交于点E．

设，则，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度是米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及两函数图象交点的求解方法，利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，难度适中．利用数形结合与方程的思想是解题的关键．
8．（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四边形CMNC′的面积为m2．
【分析】根据抛物线的解析式，令y＝0即可求出两点的坐标．根据抛物线的解析式可分别求出C，D两点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的表达式．
根据题意，利用角的等量关系可以得到∠1＝∠3，进而得到tan∠1＝tan∠3，根据三角函数的计算方法列出等式，根据一次函数的解析式设点的坐标为（xF，﹣2xF＋4），将各线段的长度代入等式即可求出点F的坐标，再根据平移的法则即可求出w′的表达式．
根据平移，可以得到点C′，A′，D′的坐标，再根据待定系数法可以得到直线A′C′，BC，C′D′的解析式，根据交点的计算方法列方程组可以求得点M，N的坐标，根据平移的定义和平行四边形的定义可知四边形CMNC′是平行四边形，再根据平行四边形面积的计算方法可以得到平行四边形CMNC′的面积．
【详解】（1）当y＝0时，﹣x2＋＋4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝7，
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵﹣＝
∴抛物线w的对称轴为直线x＝2，
∴点D坐标为（2，0）．
当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y＝kx＋b，
解得
∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；
(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC＝90°，如图．
此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴tan∠1＝tan∠3，
∴=．设点F的坐标为（xF，﹣2xF＋4），
∴＝，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，
∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为y＝﹣x2＋x；
(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y＝x＋4﹣m，
直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，
直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，
分别解方程组和
解得和
∴点M的坐标为（m，﹣m＋4），点N的坐标为（m，﹣ m＋4），
∴yM＝yN
∴MN∥x轴，
∵CC′∥x轴，
∴CC′∥MN．
∵C′D′∥CD，
∴四边形CMNC′是平行四边形，
∴S＝m[4﹣（﹣m＋4）]
＝m2
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、一次函数的解析式以及二次函数的应用，数形结合思想是关键．
9．(1)，D点坐标为（0，3）
(2)△ACD是以AC为斜边的直角三角形，3
【分析】（1）先把抛物线解析式设为顶点式，代入点B坐标求出解析式即可求出点D的坐标；
（2）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，据此求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为，
∵与轴交于点B（-1，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线交y轴于点D，
∴D点坐标为（0，3）；
（2）解：由顶点C坐标(1，4)可知对称轴是直线x=1，点B(-1，0)和点A是对称点，
∴点A(3，0)，
，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，勾股定理的逆定理，两点距离公式，三角形面积等等，正确求出抛物线解析式是解题的关键．
10．(1) ，B(8,0),E(3,-4)；（2）点F的坐标为(，)或(，)．
【分析】（1）把A、D坐标代入抛物线可求得抛物线的函数表达式，则抛物线的对称性可求得B点坐标，由D点坐标可求得直线的解析式，则可求得E点坐标；
（2）结合（1）可知，由全等三角形的性质可知，可知点F在线段的垂直平分线上，则可求得F点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得F点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为．
∴点B的坐标为，
设直线L的函数表达式为．
∵点在直线L上，
∴，解得 ，
∴直线L的函数表达式为，
∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为×3=，
∴点E的坐标为（3，）；
（2）抛物线上存在点F，使．
∵，
∴，
∴点F在的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为，
∴，解得x= ，
∴点F的坐标为(，)或(，)．
【点睛】二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点F在线段OC的垂直平分线上是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）y=x2-x；（3）P1（-，4），P2（，4），P3（，-4）
【分析】(1)连接OM，根据DO∥MB即可证得△AOD≌△MOD，从而得出∠OMD=∠OAD，因为DA⊥OA，即可得OM⊥CD；
(2) 设MC=x，可证得△OMC∽△DAC，利用相似三角形的性质得出OC=2x-2，利用勾股定理即可列出方程即可求解；
(3)要使以点P和三点D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，则分三种情况讨论：①当DP∥OC，DC为对角线时，②当PD∥OC，DO为对角线时，③当DC∥OP，OC为对角线时，根据每种情况求解即可.
【详解】（1）直线DC与⊙O相切．证明如下：

如图，连接OM，则OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM．
∵DO∥MB，
∴∠AOD=∠OBM， ∠MOD=∠OMB，
∴∠AOD=∠MOD．
又∵OA=OM，OD=OD，
∴△AOD≌△MOD，
∴∠OMD=∠OAD．
而DA⊥OA，
∴∠OAD=90°，
∴∠OMD=90°，即OM⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切．
（2）设MC=x．
∵∠OMC=∠DAC=90°，∠OCM=∠DCA,
∴△OMC∽△DAC，
∴=．
∵OM=OA=2，DA=4，AC=OA+OC=2+OC，
∴=，
∴OC=2x-2．
在Rt△OMC中，
∵OM2+MC2=OC2，
∴22+x2=(2x-2)2，
解得x1=，x2=0(舍去)，
∴OC=2×-2=，
∴C（，0）．
因为抛物线经过坐标原点O，所以c=0，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将（-2，4），（，0）代入，得
解之，得．
∴y=x2-x．
（3）①当DP∥OC，DC为对角线时
∵D (－2，4)，C（，0），
∴AO=OB=2，OC=
∴P1（，4）
②当PD∥OC，DO为对角线时
∵DP2=OC=
∴P2（-，4）
③当DC∥OP，OC为对角线时
同理可得P3（，-4）．
故P点坐标为：P1（，4），P2（-，4），P3（，-4）
【点睛】本题主要考查的是二次函数与几何的综合应用，正确掌握二次函数与几何的各个性质是解题的关键.
12．（1）y=，（1，-1）；（2）（2，0）或（，）．
【分析】（1）将点A和点O的坐标代入抛物线的解析式可求得b=-2，c=0，从而得到抛物线的解析式，由抛物线的对称性可知点C的横坐标为1，将x=1代入抛物线的解析式可求得y=-1，故此可求得点C的坐标；（2）由∠BAO=45°可知直线AB的一次项系数为-1，从而可求得直线AB的解析式为y=-x+2．当∠ADC=90°时．依据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD的解析式为y=x-2，将y=-x+2与y=x-2联立可求得点D的坐标为（2，0）；当∠BCD=90°时．将y=-x+2与y=联立得求得点B的坐标为（-1，3），然后依据待定系数法求得直线BC的解析式为直线BC的解析式为y=-2x+1，依据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD的解析式为y=x−，将y=-x+2与y=x−联立可求得点D的坐标为（，）．
【详解】（1）将（0，0）、（2，0）代入函数的解析式得：
，
解得．
二次函数的解析式为y=．
∵点（0，0）与（2，0）关于x=1对称，
∴抛物线的对称轴为x=1．
将x=1代入得：y=-1．
∴点C的坐标为（1，-1）；
（2）∵∠BAO=45°，
∴直线AB的一次项系数为-1．
设直线AB的解析式为y=-x+b，将（2，0）代入得：
-2+b=0，
解得b=2．
∴直线AB的解析式为y=-x+2．
如图1所示：当∠ADC=90°时．
∵∠BDC=90°，
∴CD⊥AB．
∴直线CD与直线AB的一次项系数的乘以为-1．
∴直线CD的一次项系数为1．设直线CD的解析式为y=x+b．
∵将C（1，-1）代入得：1+b=-1．解得b=-2，
∴直线CD的解析式为y=x-2．
将y=-x+2与y=x-2联立得．
解得．
∴点D的坐标为（2，0）．
如图2所示：当∠BCD=90°时．
∵将y=-x+2与y=联立得
，
解得或，
∴点B的坐标为（-1，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将（-1，3）、（1，-1）代入得
，
解得．
∴直线BC的解析式为y=-2x+1．
∵CD⊥BC，
∴直线CD的一次项系数为．
设直线CD的解析式为y=x+c，
将点C的坐标代入得×1+c=-1．
解得：c=．
∴直线CD的解析式为y=x．
将y=-x+2与y=x联立得
．
解得．
∴点D的坐标为（，）．
由图形可知∠CBD=90°的情况不存在．
综上所述，点D的坐标为（2，0）或（，）．
【点睛】考点：二次函数综合题．
13．(1)B (4，0)，A (3，3); （2）△PCE周长的最大值为4＋2，P (1，3)；（3）P点坐标为(3－，1＋2)或(3＋，1－2).
【分析】（1）令y=0,得－x2＋4x＝0，解方程即可得到点B的坐标，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x中得：x＝－x2＋4x，解方程即可得出点A的坐标；
（2）根据题意画出图形，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，再求得PC＝－x2＋3x，由等腰三角形的性质得，当PC取最大值时，△PCE周长最大，进而求得当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，从而得出△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；
（3）当点P在点C上方时和当点P在点C下方时分别讨论分析.
【详解】解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
∴点B坐标为(4，0)，
设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，
x＝－x2＋4x，
解得x1＝3，x2＝0(舍去)，
∴点A的坐标为(3，3);
（2）如图，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，
∵点A坐标为(3，3)；
∴∠AOB＝45°，
∴OD＝CD＝x，
∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，
∵PE∥x轴，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．
∵PE与线段OA相交，
∴0≤x≤1，
由PC＝－x2＋3x＝－(x－)2＋可知，抛物线的对称轴为直线x＝，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，
∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，
∴PE＝2，CE＝2，
∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋2，
∴△PCE周长的最大值为4＋2，
把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，
∴点P的坐标为(1，3)；
（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图，
①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝x，
∵P1C1＝OC1，
∴－x2＋3x＝x，
解得x1＝3－，x2＝0(舍去)．
把x＝3－代入y＝－x2＋4x得，
y＝－(3－)2＋4(3－)＝1＋2，
∴P1(3－，1＋2)，
②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝x，
∵P2C2＝OC2，
∴x2－3x＝x，
解得x1＝3＋，x2＝0(舍去)，
把x＝3＋代入y＝－x2＋4x，
得y＝－(3＋)2＋4(3＋)＝1－2，
∴P2(3＋，1－2)．
综上所述，P点坐标为(3－，1＋2)或(3＋，1－2)．
【点睛】二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、一元二次方程等知识．
14．（1）y=x2-2x-3；（2）顶点坐标（1，-4），对称轴x=1；（3）或．
【分析】（1）由OA=1，OB=OC=3，可知三点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），用待定系数法求得解析式；
（2）把解析式变换成顶点式，写出坐标；
（3）由（2）知，对称轴为x=1，当MN在x轴下方时，设圆半径为r，则点N的坐标为（1+r，-r），代入解析式求得r的值，同理求得当MN在x轴上方时r的值．
【详解】解：（1）依题意A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c，
解方程组得所求解析式为y=x2-2x-3；
（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标（1，-4），对称轴x=1；
（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为（1+r，-r），
把N点代入y=x2-2x-3得，
当MN在x轴上方时，N点坐标为（1+r，r），
把N点代入y=x2-2x-3得r=．
∴圆的半径为或．
考点：二次函数综合题.
15．（1）抛物线的表达式为，对称轴为直线；（2）或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用对称轴公式求得对称轴解析式；
（2）求得的坐标以及二次函数的最大值，求得、与对称轴的交点即可确定的范围．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，．
，
解得：．
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线；
（2）由题意得，二次函数的最大值为4．
由函数图象得出纵坐标最大值为4．
设直线的表达式为，
将点与点的坐标代入得，
解得．
直线的表达式为．
当时，．
设直线的表达式为，
将点的坐标代入得，
解得，
直线的表达式为，
当时，．
直线与图象有一个公共点，
点纵坐标的范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，结合图象确定的范围是关键．