2025年中考数学二轮复习：二次函数最值问题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数最值问题 提分刷题练习题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了已知抛物线，已知二次函数等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线．
(1)当时，求的值；
(2)点是抛物线上一点，若，且时，求的值；
(3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，如果抛物线与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围．
2．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A和点B，点A在点B的左边．
(1)若，求点A和点B的坐标，并求此时函数的最小值；
(2)当时，函数有最小值，求常数m的值．
3．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点．
(1)求点的横坐标；
(2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值；
(3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点的横坐标为，用含的代数式表示；
(3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
5．已知二次函数（m为常数）
(1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围．
6．如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
(3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
8．如图，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线交于点，求的最大值；
9．已知二次函数．
(1)该图象与轴交于点，与轴交于点．
①求该函数的表达式；
②若点在二次函数图象上，且，求点的坐标；
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，直接写出二次函数的表达式．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A．
(1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标；
(3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围．
11．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）．
(1)实验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由；
(2)当的值是多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？
12．如图，抛物线经过点，过该抛物线的顶点C作直线轴于点D，，在抛物线上，且在对称轴右侧，过点P作轴于点E．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)若，求点P的坐标．
(3)如图2，横坐标为2的点F也在抛物线上，点G在线段上，且在点F的下方，当时，求点P横坐标的最大值．
13．如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值．
14．如图，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当时，函数值y的取值范围为 ；（直接写出答案即可）
(3)若为二次函数图象上一点，求m的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
(4)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
（1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解；
（2）依据题意，，又，从而当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，进而，故可以得解；
（3）依据题意，当时，抛物线为，从而表示出为，抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线与轴有交点，故，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，，
又，
，
，
或．
（2）解：由题意，，
，
∴当时，函数有最大值为，
又此时点是抛物线上一点，时，都有，
，
．
（3）解：由题意，当时，抛物线为，
∴把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线为，
∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，
又若当时，，
，
∵开口向下，
，
又 ∵抛物线与轴有交点，
，
，
．
2．(1)，函数的最小值为，
(2)或
【分析】此题考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）把函数解析式化为顶点式即可得到函数的最小值，解方程即可得到点A和点B的坐标；
（2）根据对称轴的位置分三种情况进行讨论解答即可．
【详解】（1）解：当时，
∵，
∴当时，函数的最小值为，
当时，，
解答，
∵点A在点B的左边．
∴
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，则当时，取得最小值为，
即，
解答，（不合题意，舍去）
当时，则当时，取得最小值为，
即，
解答，（不合题意，舍去）
当时，则当时，取得最小值为，
即，方程无解，
综上可知，或
3．(1)2
(2)6或
(3)或
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征，有一定的综合性，运用数形结合、分类讨论的思想是解决第(2) (3)小题的关键．
（1）将化成顶点式即可求解；
（2）将点代入求出，进而可得其对称轴为，
当时，即时，，当时，即，，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，抛物线经过点时，可得；②当时，抛物线过点时结合性质可得，又，即可求解．
【详解】（1）解：
的坐标为，
点的横坐标为2；
（2）解：当时，，
解之得，，
所以其对称轴为，
由题意知最大值为，
当时，即时，
，
解得（舍去），
当时，即，，
解得不合题意舍去．
综合以上可得的值为6或．
（3）解：①当时，抛物线经过点时，
，解得．
又点、分别位于抛物线对称轴右半部分的两侧，
；
②当时，抛物线过点时可得，又，即，
综上所述：的取值范围为或．
4．(1)
(2)
(3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为；
（2）求出直线的表达式为，进而表示出的坐标，即可求解；
（3）由点，，可得，根据的长，根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入，得：
解得：
抛物线的表达式为；
（2）设直线的表达式为，
把，代入，得：
解得
直线的表达式为．
点的横坐标为，
，
（3）如图
点，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，则时有最大值
此时
当取最大值时，点的坐标为，的最大值为．
5．(1)①③
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据 得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③；
（2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可．
【详解】（1）①∵二次函数（m为常数），
∴当时，该函数的图像开口向上，
正确．
②∵
∴该函数的图像的对称轴是直线，
不正确．
③令，则，
∴函数的图像一定经过，
∵，两点关于对称轴对称，
∴函数的图像一定经过，两点，
正确．
故答案为：①③．
（2）解：∵点在函数图像上，
∴的对称点为，
若，
∵当时，y随x增大而增大，
∴，
∵，
∴当时，
，
∴，
，
∴，
∴；
或当时，
，
∴，
不合；
若，
∵当时，y随x增大而减小，
∴，
∴当时，
，
∴，
，
∴，
∴；
或当时，
，
∴，
不合．
综上， 或．
6．(1)
(2)①；②周长l的最大值为
(3)
【分析】（1）将点，代入抛物线解析式即可求解；
（2）①对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即；点P在点M的右侧，即，进行化简即可．
②根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①对于抛物线，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t，
∴，
∵轴，
∴点M的纵坐标为，
把代入函数，得，
解得，
∴，
∴，
∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为，
∴若点P在点M的左侧，即当时，
，
若点P在点M的右侧，即当时，
综上所述，l关于t的函数关系式为．
②当时，，
∴当时，l随着t的增大而减小，
当时，，当时，，
∴；
当时，，
∴当时，l有最大值，为，
当时，，当时，，
∴；
综上所述，周长l的最大值为．
（3）解：∵抛物线，顶点坐标为，
∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点G为，
由点，可得直线的解析式为，
对于直线，令，则，
解得．
对于直线，令，则，
解得．
∵点G在内（不含边界），
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
7．(1)
(2)当时，有最大值为
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值等，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为1，
对称轴为直线，
，
与x轴另一交点为，即，
∴设抛物线为，
将代入，得：，
，
，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在抛物线上，
∴设，
在第一象限，
，，
，
，
∴当时，有最大值为．
8．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点坐标公式，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的最值等，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用，表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线（，，为常数）经过点，
故将代入，求得；
∵，且抛物线的顶点坐标为，
故，，
即，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作轴于点，如图，
∵抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
故令，得，
解得：或，
∴，，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∵点在直线上，
故设，
∵直线交于点，
故将代入，得，
即；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵点为抛物线上的动点，
故点，
∴．
∵，，
∴当时，有最大值，且最大值为：．
9．(1)①；②或或；
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）①把，代入抛物线即可得到答案；②先求解，，设，结合，再建立方程求解即可；
（2）由时，的最大值为2；时，的最大值为3，可得抛物线的对称轴在轴的右侧，可得，可得图象过点，，再求解即可．
【详解】（1）解：①∵该函数图象与轴交于点，与轴交于点．，
，
解得：，
∴该函数的解析式为，
②当时，
解得：，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得：，，，
∴或或；
（2）解：时，的最大值为2；时，的最大值为3，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，
∴图象过点，
，
∴，
又，
，
，
．
∴二次函数的表达式为：．
10．(1)，，，
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可；
(2) 过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可．
(3) 当点P、M重合时，则，确定，①当点M在点P的下方时和②当点M在点P的上方时，两种情况解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，，
∵B、C在上，
∴，
解得，
∴，
当时，
解得，，
∴．
（2）解：过点P作轴交直线于点D，
设点，则，
则，
∴，
∵，
∴开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值为，
∴．
（3）解：当点P、M重合时，则，
∴，
①当点M在点P的下方时，即，
由题意得：，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象，
当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即．
②当点M在点P的上方时，即或，
当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小，
即，
综上，或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的增减性，最值，矩形的性质，求不等式的解集，熟练掌握矩形的性质，抛物线的性质计算是解题的关键．
11．(1)能，
(2)，
【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，一元二次方程的应用，
（1）先表示出y，再根据面积相等列出方程，求出解即可；
（2）先求出二次函数关系式，再讨论最大值即可．
【详解】（1）解：与墙平行的一边长，
根据题意，，
整理得，
解得．
∵，
∴，
∴．
所以试验田的面积能达到，此时；
（2）解：由（1），得，
即．
∵，，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
当时，．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线解析式，得到对称轴，进而求出点，再结合，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）利用平行线性质证明，得到，设，结合建立等式求出的值，进而求得点P的坐标；
（3）结合题意求出点F的坐标，作于点，证明，利用相似三角形性质得到，再利用二次函数的最值求解，即可解题．
【详解】（1）解：，
抛物线对称轴为直线，
，
,
抛物线经过点，
即，
解得，
抛物线为；
（2）解：，
,
轴于点E,
,
,
,
设，
有,,
,
整理得，
解得，
是抛物线在第一象限上一动点，
，
即；
（3）解：点F的横坐标为2，
，
即点F的坐标为，
作于点，
有,,
,
,
,
,
,
,
∵，
，
∴，
∴，
∵点在线段上，且在点下方，
∴，
∵，
∴当时，．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线性质，相似三角形性质和判定，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
13．(1)抛物线解析式为；
(2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为．
【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，，当时，，
∴点，点，
∵抛物线交于，两点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，过作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
则
，
当时，有最大，最大值为，
∴，
此时点的坐标为．
14．(1)，；
(2)
(3)m的值为0或1
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点∶把求二次函数 (a，b，c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
（1）通过解方程得的坐标；
（2）当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，进而求解；
（3）把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得，，
，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
，
当时，函数取得最大值，，
当时，函数取得最小值，，
函数值的取值范围为∶ ；
故答案为：；
（3）解：把代入得，
解得，，
的值为0或1．
15．(1)
(2)的面积为
(3)的取值范围为，这个定值为；
(4)或．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质等知识．
（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）根据图象可得当抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围；
（4）分三种情况讨论满足时，的取值范围；
【详解】（1）把点、代入抛物线得：
，
解得：
∴该抛物线的解析式为；
（2）由（）得：，
∴点为，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
∴点，
∴，点到的距离为，
∴，
∴的面积为；
（3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
∴点与点关于直线对称，
∴点为，
当点在点和点之间时，点与点之间 （包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值，
∴此时的取值范围为；
（4）过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称，
∴，如图所示：
当点在点和点之间时，即时，，，
∵，
∴，
解得：（不合题意），
当点在点和点之间时，即时，，，
∴，符合题意，
∴，
当点在点下方时，即时，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：或或，
∵，
∴，
综上所述，的取值范围为或．