2025年中考数学二轮复习：反比例函数与几何综合常考热点 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：反比例函数与几何综合常考热点 提分刷题练习题（含答案解析），共33页。试卷主要包含了如图，双曲线与直线交于点等内容，欢迎下载使用。

(1)求k的值；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若直线与双曲线，直线和y轴分别交于点B，C，D，且B，C，D中的两点关于第三点对称，求a的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标．
3．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
4．如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接、．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出时，的取值范围．
5．如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为点D，交于点E，若E为的中点，且点E坐标为．
(1)求k的值；
(2)连接，求直线的函数表达式；
(3)求的面积．
6．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点M，N．连接，．
(1)若，，求反比例函数的表达式．
(2)判断 (填“”“”或“”)．
(3)小颖说“若M是边的中点，则N是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由．
7．如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点M为双曲线在第一象限上的点，且，求点M的坐标．
(3)连接，P是x轴上的点，若，求点P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点．
(1)求出点，，的坐标；
(2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知反比例函数的图像经过矩形的边的中点F，交于点E．
(1)证明E为的中点；
(2)若四边形的面积为2，求k的值．
10．如图，四边形的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，，点D的坐标为，双曲线经过点D．
(1)直接写出k的值 ．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)若（2）中所作的角平分线与x轴交于点E，，，求的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长．
12．如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段．
(1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值．
(2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示）
13．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限．
(1)求双曲线的解析式；
(2)当时，求的面积；
(3)若平分，求点的坐标．
14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
15．综合运用：
如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数图象上点坐标的特征，以及函数图象与不等式之间的关系是解题关键．
（1）先将点A坐标代入一次函数中求解即可得到完整坐标，然后将A点完整坐标代入反比例函数解析式即可得到值；
（2）求不等式的解集，实则找出一次函数图象位于反比例函数图象下方部分所对应的自变量的取值范围即可，从而结合（1）的结论以及函数图象直接写出即可；
（3）先表示出，，三点坐标，再根据题意分情况：当为的中点和当为的中点时，求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，
．
将代入，
解得；
（2）解：根据反比例函数与一次函数，观察图象得，
所以的解集为；
（3）解：由可得，，．
直线与轴的交点为，
结合图象可得：点D为的中点不存在；
当为的中点时，，
解得，（舍去）；
当为的中点时，，
解得，（舍去），
的值为或．
2．(1)
(2)
【分析】该题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标投资，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求得的面积，进一步求得的面积，利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可求得横坐标．
【详解】（1）解：把点代入得，
∴点，
∵反比例函数经过点，
∴，即反比例函数的表达式为：；
（2）解：直线与轴交于点，则点的坐标分别为：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
（负值已舍去），
把代入得，，
．
3．(1)；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数的交点，熟练利用待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，再求出点，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）求得直线的解析式，可求出点的坐标，即可求得的长，利用三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：把代入反比例函数，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入反比例函数解析式可得，
则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
一次函数的解析式为，
（2）解：设直线的解析式为，
把代入一次函数解析式，可得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
的面积为．
4．(1)
(2)
(3)或．
【分析】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）把A点坐标代入中，即求出b的值，即可得出一次函数的表达式．再把，代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入，求出k即可；
（2）直接利用，即可求出结果；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，即，
∴直线的解析式为．
∵点和点在直线上，
∴，，
解得：，，
∴，，
又∵在反比例函数上，
∴，
解得：．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）要使，即反比例函数图象在一次函数图象上方或相交即可，即或．
5．(1)
(2)直线OB的函数表达式为
(3)的面积为18
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法．
（1）根据中点坐标求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）根据点B在反比例函数的图象上，先求出，再由待定系数法求解函数解析式；
（3）过点A作于点N，轴于点，由于轴，则四边形是矩形，求出的面积，根据三角形中线等分面积即可求解．
【详解】（1）解：∵点为，是的中点，
∴点为，
∴
∴反比例函数解析式为：，
（2）解：设点B坐标为
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴
设直线的函数表达式为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：过点A作于点N，轴于点，由于轴，则四边形是矩形，
∵点为，点为，
∴，
∵，点
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．(1)
(2)
(3)正确，见解析
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确地识别图形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到 ，得到， 求得，把， 代入函数解析式即可得到结论；
（2）根据反比例函数系数的几何意义即可得到结论；
（3）根据矩形的性质得到 ， 由是边的中点，得到求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴.
∴．
∵，
∴.
∴点N的坐标为．
∵点N在反比例函数的图象上，
∴.
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：∵反比例函数的图象与边，分别交于点， ，
，
故答案为：=；
（3）解：小颖的说法正确，理由：
∵四边形是矩形，
，
∵是边的中点，
，
，
，
∵反比例函数的图象与边，分别交于点，，
，
，，
∴是边的中点．
7．(1)，
(2)或
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法先求解，再求解，再求解一次函数的解析式即可；
（2）作，直线与在第一象限交于点，连接，过点作，直线与在第一象限交于点，连接，求出直线的表达式与反比例的函数表达式联立，求解即可；
（3）如图，作，交轴于，，过作轴于，作交于，则，作轴于，证明，进一步可得，结合一次函数的性质可得，过作轴于，同理可得：，，进一步求解即可．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为．
，
∴将、的坐标代入，
得，，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：作，直线与在第一象限交于点，连接，
过点作，直线与在第一象限交于点，连接，
直线为，
作于，交直线于点，
，
，
，
，
此时，，
一次函数的解析式为，
直线为，
令，
（负值已舍去），
；
令，解得或（舍去），
，
，
综上所述，时，第一象限点M的坐标为或；
（3）解：如图，作，交轴于，过作轴于，作交于，
则，作轴于，
，，
∴，
，
而，
∴，，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
，
，
得的解析式为，
当时，，
∴，
过作轴于，
，
，
同理可得：，
∴，
，
，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，涉及三角形的面积问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
8．(1)，，；
(2)或．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键．
（）由一次函数可得当，，，分别求解对应的，，从而可得点的坐标；
（）代入的坐标可得反比例函数解析式，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设；当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，
∴当时，；当时，；当时，；
∴，，；
（2）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
当时，
设，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
当时，
∴，
解得：， （不符合题意，舍去），
∴，
∴，
综上：或．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
（1）设点，根据题意得到，求出，即可得到结论．
（2）设，得到，得到矩形的面积为，根据四边形的面积为2列出等式即可得到答案．
【详解】（1）证明：点F是矩形的边的中点，
都在反比例函数上，
，，
设，
代入，
解得，
，
，
E为的中点；
（2）解：设，
是的中点，
，
，
，
，
四边形的面积，
．
10．(1)8
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查作图-基本作图，反比例函数与几何综合，角平分线的定义，等角对等边等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用尺规作出的平分线即可；
（3）根据平行线加角平分线得，再由即可求解．
【详解】（1）解：∵双曲线经过点D，且点D的坐标为，
∴，
∴反比例函数解析式为，
故答案为：8；
（2）解：如图，射线即可所作，
（3）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(1)，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数的表达式、反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．
（1）先将点的坐标代入中得到的值，从而得出反比例函数的表达式，再把点代入中，求出的值，最后根据待定系数法求出一次函数的表达式；
（2）先把代入中求出点的坐标，再由题意可以知道轴，得到点与点的纵坐标相等，从而求出点的坐标，最后根据勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：将代入中，得
反比例函数的表达式为．
将代入中，得，
．
将，分别代入中，得
，解得，
一次函数的表达式为．
（2）把代入得，
点坐标为，
由题意知点，点纵坐标相等，
把代入中，得，
点坐标为，
，
在中，．
12．(1)
(2)
【分析】(1)如图，过点作轴于点，由旋转的性质证出为等边三角形，再由等边三角形的性质和反比例函数的性质证明即可得解；
(2)如图，过点作轴于点，先证出，再由勾股定理和反比例函数的性质证出，进而利用三角形的面积的和差即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
将绕点O顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
，
点B在反比例函数的图象上，
，
；
（2）解：如图，过点作轴于点，
双曲线的对称轴为直线， ，
，关于直线对称，
，
，
，
，
，，
，都在反比例函数图象上，
，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式．
（2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积．
（3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点
将代入
∴
∴
将代入
∴
∴
（2）解：设直线的表达式为
将代入，得
∴直线的表达式为
∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，
可得方程组，
解方程组得：或
∴点
又∵
∴
∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：延长交的延长线于点，如图
∵平分
∴
∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限
∴
在和中，
∴
∴
∴点是的中点
∵点在直线上
∴设点
∴
∵
∴
解得
∴
∴
设点
∵点是的中点
∴
∴
【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的综合应用，涉及反比例函数的性质与应用，一次函数的性质与应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理，角平分线的性质，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质．
14．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标；
（2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积；
（3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
故将代入，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为：．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
联立，解得或，
∴另一个交点的坐标为．
（2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图：
则，
∴四边形是矩形，
∵点，点，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
又∵，
∴．
（3）解：过点作轴交轴于点，如图：
∵点的坐标为，
∴，，
对于一次函数，当时，，当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵轴上存在一点，使与相似，
∴有以下两种情况，
①当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
②当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
综上所述：点P的坐标是或．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
15．(1)，
(2)
(3)存在，、、或
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
（1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论；
（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；
（3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解．
【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点的坐标为也在上，
，
的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上，
代入可得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
当时，可得，解得
，
，
的坐标为，的坐标为，
；
（3）解：①若时，如图所示，
的坐标为，
点的坐标为；
②当时，如图，
设点，
，，
是直角三角形，
，
即，
解得，
点的坐标为．
③当时，如图，
当点在轴上时，设点，
，，
是直角三角形，
，
，
解得，
点的坐标为．
④若时，如图所示，
的坐标为，
点的坐标为．
综上可得点的坐标为、、或．