2025年中考数学二轮复习：动态几何压轴题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：动态几何压轴题 提分刷题练习题（含答案解析），共46页。试卷主要包含了如图，在矩形中，等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在中，，是边上的高，已知，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与点、重合时，连接，以、为边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
(1)求的长；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)当的对角线与边平行时，直接写出的值．
2．如图，在矩形中，．动点在上运动（点不与点、重合），点在线段上，且．
(1)求证：的大小为定值；
(2)当点落在矩形的对角线上时，求线段的长；
(3)连结，线段的最小值是_____；
(4)当将以、、为顶点的三角形面积分成两部分时，直接写出线段的长．（只写出两个答案即可）
3．如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
(2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
4．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．
(1)求证：．
(2)写出线段的长（用含t的式子表示）．
(3)连接，当线段经过点C时，求t的值．
5．如图①，在中，于点D，，点E是线段的中点，点P从点A出发，沿折线向终点B运动，点P在边上的速度为每秒个单位长度，点P在边上的速度为个单位长度，设点P的运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示点P到直线的距离．
(2)如图②，作点P关于直线的对称点Q，设以D、E、Q、P为顶点的四边形的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．
(3)当点P在边上时，在的边上（不包括顶点）存在点H，使四边形为轴对称图形，直接写出此时线段的长．
6．如图1，矩形中，，，E为上一点，F为延长线上一点，且．点P从A点出发，沿方向以的速度向D运动，连结交于点H．设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图像如图2所示．

(1)的长是 ；
(2)当，时，求t的值；
(3)如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当t为何值时，四边形为菱形？
7．在菱形中，，点M在的延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明；
(3)当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长．
8．如图①，在 中，，，点从点 出发沿折线运动．点P在AB上的运动速度是每秒个单位长度，在 上的运动速度是每秒5个单位长度．当点不与点重合时，作于点Q，以线段 为边作矩形 ，使点始终在线段的同侧，且，点运动的时间为 （s）．
(1) __________．
(2)用含有t的代数式表示线段的长．
(3)当点落在的边上时，求t的值．
(4)如图②，点分别是的中点，作直线，直接写出直线 与的一边垂直时的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是________，AB的长是________．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？
10．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）探究猜想，如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC、CD、CF之间的数量关系为 ；
（2）深入思考，如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸，如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝4，CD＝BC，请求出OC的长．
11．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
（1）a＝ ．
（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；
（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．
12．如图，已知在中，，，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接．
（1）如图1，当秒时，求的长度；
（2）如图1，点在线段上，当为等腰三角形时，求的值；
（3）如图2，点是边上的一点，．请直接写出在点的运动过程中，当的值是多少时，平分？
13．把和按如图①摆放点与重合，点、、在同一条直线上．已知：，，，，．如图②，从图①的位置出发，以每秒个单位的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动；当点移动到点时，点停止移动，也随之停止移动．与交于点，连接，设移动时间为．

（1）在平移的过程中，______（用含的代数式表示）；当点落在的边上时，求的值．
（2）在移动过程中，当时，连接，
①设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并试探究的最大值；
②是否存在为直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
14．在△ABC中，AB=AC=10cm．
（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD=3cm，则ME= cm．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：
①FD FE（填“>”、“=”或“＜”）；
②AM DE （填位置关系）．
（3）如图3，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等?
15．在中，，，AD为BC边上的高．
（1）如图1，若，求线段CD的长度；
（2）如图2，点E，点F在AB边上，且满足，连接CE，CF分别交线段AD于点M，点N，若点M为线段CE的中点，求证：；
（3）在（2）问条件下，若，点K为AC边上一动点，点Р为内一点且满足，当取最小值时，请直接写出的值．
参考答案
1．(1)
(2)①当时，；②当时，；③当时，
(3)或
【分析】本题考查了列二次函数表达式，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：根据点的位置分情况讨论．
（1）根据勾股定理，求出，根据面积列式，即可求解，
（2）分三种情况进行讨论，根据三角函数用表示出线段长，结合梯形面积和三角形面积公式，即可求解，
（3）分三种情况进行讨论，根据矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
由勾股定理，得，
∴，
∵，即：，
∴；
（2）解：，，
①在之间时，设与交于点，
∵，，，
∴，，
∴当时，；
②在之间时，设与交于点，
∵，，，，
∴，，
∴当时，；
③在之间时，作垂足为，
∵，，
∴，则，
∴当时，；
（3）解：与交于点，不存在与平行的情况，
①当在之间时，与有交点，不存在与平行的情况；
②当在之间，时，
∵，
∴是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，则；
③当在之间时，时，设、交于点，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴，，
综上所述，或．
2．(1)证明见解析
(2)或
(3)2
(4)或2或（写出两个答案即可）
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据三角形的内角和定理即可得证；
（2）分两种情况：①当点在对角线上时，②当点在对角线上时，此时点与点重合，解直角三角形可得的值，再求出的长，然后根据线段的和差求解即可得；
（3）取的中点，连接，先得出点在以点为圆心、长为直径的半圆上，则当点共线时，的值最小，最小值为，再根据圆的性质求出的长，利用勾股定理求出的长，由此即可得；
（4）分四种情况：①当点在上，且时，②当点在上，且时，③当点在上，且时，④当点在上，且时，利用相似三角形的性质建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的大小为定值．
（2）解：①如图，当点在对角线上时，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴在中，，，
由（1）已证：，
∴在中，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
②如图，当点在对角线上时，此时点与点重合，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴在中，，
由（1）已证：，
∴在中，，
∴，
综上，线段的长为或．
（3）解：如图，取的中点，连接，
由（1）已证：，
∴点在以点为圆心、长为直径的半圆上，
∴当点共线时，的值最小，最小值为，
∵，，
∴此时，
即线段的最小值为2，
故答案为：2．
（4）解：①如图，当点在上，且时，则将以为顶点的三角形面积分成两部分，
设，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，即，
解得或，
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
②如图，当点在上，且时，则将以为顶点的三角形面积分成两部分，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，即，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴；
③如图，当点在上，且时，则将以为顶点的三角形面积分成两部分，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴或（舍去），
∴，
∴（不符合题意，舍去）；
④如图，当点在上，且时，则将以为顶点的三角形面积分成两部分，
设，则，
同理可得：，
∴，即，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∴；
综上，线段的长为或2或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、圆的最值问题、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，综合性强，较难的是题（4），正确分四种情况讨论是解题关键．
3．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1），由点的运动速度与点的运动速度相等，可得，再根据点为的中点，厘米，厘米，得出，，即可证明．
（2）当点的运动速度与点的运动速度不相等时，，只能，时两个三角形全等，再根据点的速度为厘米/秒，得出点和点运动运动的时间为，即点的速度为．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，经过秒后，
∴，
∵点的运动速度与点的运动速度相等，
∴，
∵厘米，厘米，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴在和中，，
∴．
（2）解：∵点的运动速度与点的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴使与全等，则，，
∵点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，
∴点运动的时间为，
∴点运动的时间为，
∴点的速度为，
∴当点的速度为时，．
4．(1)见解析
(2)线段的长为或
(3)t的值为1.5或3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，列代数式：
（1）由证明，得，再由平行线的判定即可得出结论；
（2）分两种情况分别表示即可；
（3）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当时，；
当时，，
综上所述，线段的长为或．
（3）解：由（1）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
解得．
综上所述，当线段经过点时，的值为1.5或3．
5．(1)当P在边上时，P到直线的距离是t；当P在边上时，点P到直线的距离是
(2)当时，；当时，
(3)的长为或或或
【分析】（1）分两种情况：①当P在边上时，如图1，根据是等腰直角三角形，可得；②当P在边上时，如图2，根据三角函数，可得的长；
（2）分两种情况：①当时，P在边上，如图3，②当时，P在边上，如图4，四边形是梯形，根据梯形面积公式代入可得结论；
（3）分4种情况：①如图5，当四边形是矩形时；②如图6，当四边形是等腰梯形时；③如图7，过D作于P，过E作，交于H，④如图8，过E作于P，在上取点H，使，连接，③和④是筝形；分别求出各情况的的长即可．
【详解】（1）过P作于G，
分两种情况：
①当P在边上时，如图1，C中，，

∴，
∴是等腰直角三角形，
由题意得：，
∴，
即点P到直线的距离是t；
②当P在边上时，如图2，

由勾股定理得：，，
由题意得：，
∴，，
∴，
∴，
即点P到直线的距离是；
（2）分两种情况：
①当时，P在边上，如图3，设与交于H，

∵点P关于直线的对称点Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，P在边上，如图4，

由题意得：，
同理，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）分4种情况：
①如图5，当四边形是矩形时，P是的中点，

∴；
②如图6，，则，

∴四边形是等腰梯形，
此时；
③如图7，过D作于P，过E作，交于H，

∴，
∵E是的中点，
∴是的中垂线，
∴，
∴四边形为轴对称图形，
，
∴，
∴，
由勾股定理得：；
④如图8，过E作于P，在上取点H，使，连接，过H作于G，

中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴四边形为轴对称图形，
此时；
综上所述，的长为或或或．
【点睛】本题考查四边形综合题、梯形及等腰梯形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．(1)0.5
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，，由图2可知，当时，，进而得出，即可求出；
（2）当，．，由，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明，根据等腰三角形的性质，可得，设，则，根据勾股定理可得，，即可得出方程，求得的值即可得到点的运动时间．
【详解】（1）由题意可知，，
由图2可知，当时，，
，
，
故答案分别为：0.5；
（2）当，．，
，
，
，
，
（负值不合题意，舍去），
；
（3）如图3，四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
令，则，
根据勾股定理可得，，
即，
解得，（负值已舍去）
的运动时间为（秒．
时，四边形为菱形．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的应用以及勾股定理的运用，解题的关键是掌握菱形的性质以及相似三角形的性质．解题时注意方程思想的运用．
7．(1)
(2)，理由见解析
(3)的长为5或1
【分析】（1）连接，由旋转的性质得出，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点M作交的延长线于点N，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：，
证明，连接，

∵将线段绕点M逆时针得到线段，点E与点B重合，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）结论：．
证明：如图2，过点M作交的延长线于点N，

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（3）如图3，当点E在线段上时，

由（2）可知．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图4，当点E在的延长线上时，

则和都是等边三角形，
同（2）可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
综合以上可得的长为5或1．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
8．(1)
(2)①当时，；②当时，
(3)或
(4)，，，
【分析】（1）过点作边的高线，根据及，可求高及所在直角三角形的邻直角边即可；
（2）当点在段运动时， ，由，则，可得，当点在段运动时，，则，由，可得：，综上即可；
（3）分两大类情况讨论：点在上与点在上，由，，当点在上时，，则，此时由，可得，代入数据可求，同理求点在上情况即可；
（4）分别画出垂直于三边的图形，依据图形分析即可．
【详解】（1）如图所示：过点作边的高线，由，
设，则，根据勾股定理：，
可得：，所以 ，

（2）如下左图所示：， 当点在段运动时（）， ，由可得，则，可得
如下右图所示：当点在段运动时（），，则，
由，可得：
综上所得：①当时，；②当时，

（3）如下左图所示：
点在上，由，可得：，
由点P在 上的运动速度是每秒个单位长度，则，由，，则，此时由，
可得，
，解得：
如下右图所示：
点在上，，， ，，此时由
，即，
（4）当时：
① 如图1所示：，
则 ，
，
；
② 如图2所示：， ，则 ，
，
如图3所示：当时，设垂足为，，， ，
，
，由相似性质及，可得： ，，
，

如图4所示： 当时，设垂足为，，，，，
此时有关系式： ，即 ，


图1 图2
图3 图4
【点睛】本题结合动点考查了相似与锐角三角函数，关键是灵活运用相似性质及三角函数解三角形，最后一问主要通过画图分析，逆向（执果索因）解决问题．
9．（1）10；5；（2）不变，EF与AD平行且相等，证明见解析；（3）能，t= ；（4） ；3
【分析】（1）在中，，则，根据勾股定理得到和的值；
（2）先证四边形是平行四边形，从而证得，并且，在运动过程中关系不变；
（3）求得四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出t的值，进而得出答案；
（4）根据题意，用表示出、，根据△BEF的面积是列方程求解即可．
【详解】解：（1）在中，，则，
设，则，由勾股定理得：
即，解得，
即，
故答案为：10；5
（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等
（3）能，理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵，
∴．
∴．
若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，
即，
即当时，四边形AEFD为菱形
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=CD，
∴，
又∵，，
∴，
即：，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），
∴t=3．
故当t=3时，△BEF的面积为 ．
【点睛】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质，一元二次方程的应用，以及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及一元二次方程的求解是解题的关键．
10．（1）①垂直；② BC＝CF+CD；（2）成立；证明见解析；（3）；
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；②由△DAB≌△FAC（SAS）得出CF＝BD，则可得出结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）求出BD＝5，由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，得出BC⊥CF，CF＝BD＝5，由勾股定理求出DF，则可得出答案．
【详解】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CF+CD；
故答案为：BC＝CF+CD；
（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CF⊥BC．
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC．
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∴CD＝BC＝2，
∴BD＝10，
由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，
∴BC⊥CF，CF＝BD＝10，
∵四边形ADEF是正方形，
∴OD＝OF，
∵∠DCF＝90°，
∴DF＝＝2，
∴OC＝．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（1）9；（2）x或x＝4；（3）x＝0或x＜2或2＜x≤3
【分析】（1）由题意可得Q运动3s达到B，即得BD=6，可知，从而a=AB•AD=9；
（2）连接AC交BD于O，可得OA=AC=BD=3，根据△APQ的面积为6，即得PQ=4，当P在Q下面时，x=，当P在Q上方时，Q运动3s到B，x=4；
（3）当x=0时，B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，同理t=6时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，当Q运动到BD中点时，以PQ为直径的圆与AQ相切，与△APQ的边有且只有三个公共点，x=，当P、Q重合时，不构成三角形和圆，此时x=2，当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意可得：Q运动3s达到B，
∴BD=3×2=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴a=AB•AD=9，
故答案为：9；
（2）连接AC交BD于O，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=AC=BD=3，
∵△APQ的面积为6，
∴PQ•OA=6，即PQ×3=6，
∴PQ=4，
而BP=x，DQ=2x，
当P在Q下面时，6-x-2x=4，
∴x=，
当P在Q上方时，Q运动3s到B，此时PQ=3，
∴x=4时，PQ=4，则△APQ的面积为6；
综上所述，x=或x=4；
（3）当x=0时，如图：
B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，
同理，当Q运动到B，P运动到D时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，此时t=6，
当Q运动到BD中点时，如图：
此时x=，以PQ为直径的圆与AQ相切，故与△APQ的边有且只有三个公共点，
当P、Q重合时，如图：
显然不构成三角形和圆，此时x=2，
当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，如图：
此时x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，
综上所述，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，x=0或t=6或≤x＜2或2＜x≤3．
【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及函数图象、三角形面积、直线与圆的位置关系等知识，解题关键是画出图形，数形结合，分类思想的应用．
12．（1）AP=10；（2）点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，t的值为秒；（3）在点P的运动过程中，当t的值为3秒或9秒时，PD平分∠APC．
【分析】（1）由题意得BP=2t，则PC=BC-BP=12-2t，当t=3秒时，PC=6，再由勾股定理求出AP即可；
（2）由题意得PA=PB=2t，则PC=12-2t，在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，先证△PDE≌△APD（AAS)，得ED=CD=3，PE=PC=12-2t，再由勾股定理求出AE=4，则AP=16-2t，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC（AAS)，得ED=CD=3，PE=PC=2t-12，再由勾股定理得AE=4，则AP=2t-8，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得：BP=2t，则PC=BC-BP=12-2t，
当t=3秒时，PC=12-2×3=6
∵∠ ACB=90°
∴AP= ==10；
（2）点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，PA=PB=2t，
则PC=12-2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：，
解得：，
即点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，t的值为秒；
（3）分两种情况：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图所示：
则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∵PD平分∠APC
∴∠EPD=∠CPD
又∵PD=PD
∴△PDE≌△PDC (AAS)
∴ED=CD=3, PE=PC=12-2t
∴AD=AC-CD=8-3=5
∴AE=
∴AP=AE+PE=16-2t
在Rt△APC中，由勾股定理得：
解得：t=3
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图所示
同①得：△PDB≌△PDC（AAS)，
∴ED=CD=3, PE=PC=2t-12
∴AD=AC-CD=8-3=5
∴AE=
∴AP=AE+PE=2t-8
在Rt△APC中，由勾股定理得：，
解得：t=9
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为3秒或9秒时，PD平分∠APC．
【点晴】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握等膜三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
13．（1）t，t＝5；（2）①，最大值；②存在，或
【分析】（1）先根据运动的时间和速度可得：AP＝CE＝t；并计算当D在AC上时，如图2，根据等腰直角三角形的性质可得t的值；
（2）①如图3，根据代入可得y与t的关系式，利用二次函数的顶点坐标可得结论；②存在△PQE为直角三角形，分别以三个顶点为直角，利用勾股定理列方程，解方程可得结论．
【详解】解：（1）点与的运动速度相同，则，
当在上时，如图，，
，
；
（2）①如图，过点作于．
，
∽，
：：，
，
，
又，，
，
，
，
当时，最大值；
②存在．
当时，如图，过点作于，过点作于，
∽，
，即，
，
，，
由①得，，，
，
，，
，则在中，，
即，解得舍去，；
当时，，即
解得舍去，舍去，
此时不存在；
当时，，即
解得舍去，，
综上可得，当或时，是直角三角形．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，动点运动的问题，相似的判定与性质以及分类讨论思想的运用，能利用图形准确画图并确定各条线段的长是解决问题的关键．
14．（1）3；（2）①=，②⊥；（3）运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可求解；
（2）由题意易证Rt△ADM≌Rt△AEM，则有AD=AE，然后问题可求解；
（3）由题意易得AD=BD=5cm，然后根据△BDP与△PQC全等分两种情况进行分类求解即可．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AM是△ABC的中线，
∴∠BAM=∠CAM，
又∵DM⊥AB，ME⊥AC，
∴MD=ME=3cm，
故答案为：3；
（2）在Rt△ADM和Rt△AEM中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL），
∴AD=AE，
又∵∠BAM=∠CAM，
∴DF=EF，AM⊥DE，
故答案为：=，⊥；
（3）∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=5cm，
∵△BDP与△PQC全等，
∴BP=CP，BD=CQ=5cm或BP=CQ，BD=PC=5cm，
当BP=CP，BD=CQ=5cm，
∴t=，
当BP=CQ，BD=PC=5cm，
∵BC=8cm，
∴BP=CQ=3cm，
∴t=，
综上所述：运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．
15．（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）证明 再利用勾股定理求解 从而可得答案；
（2）如图，过作于 过作于 而 证明 可得 同理： 而 再证明 可得 再证明 从而可得结论；
（3）如图，记与的交点为 由（2）得： 证明 可得平分 则关于直线对称， 过作于 则此时 所以最短，设 则 再利用勾股定理求解 即可得到答案.
【详解】解：（1），AD为BC边上的高，


，

（2）如图，过作于 过作于 而
则
为的中点，





同理： 而







而




（3）如图，记与的交点为 由（2）得：





平分

则关于直线对称，
过作于 则此时
所以最短，
则 而

设 则

解得：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题综合性较强，是压轴题，知识的系统化是解题的关键.