2025年中考数学二轮复习：二次函数与面积综合常考题型练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数与面积综合常考题型练习题（含答案解析），共35页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。

(1)求抛物线的解析式（用一般式表示）；
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使？若存在请求出点D的坐标；若不存在请说明理由．
2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
（1）填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________，
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围．
3．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 ；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
7．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．
8．如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．
（1）写出D的坐标和直线l的解析式；
（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
10．综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接，，．
(1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点为轴左侧二次函数图象上一动点，作射线．
①若点是射线上一点，当时，求点的坐标；
②随着点的运动，试探究：射线上是否存在一点，使得，且的面积最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，点的坐标是，顶点的坐标是，是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记，的面积分别为，．当，且直线时，求证：点与点关于轴对称．
12．如图二次函数y=ax2+bx-2的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C，过A，C两点画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点D的坐标，如果不存在，请说明理由。
（3）若点Q在AC下方的抛物线上运动，求以A、C、Q为顶点的三角形的面积最大值.

13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y轴交于E点，F是的中点，B、C、D的坐标分别为．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线上；
（3）设过F与平行的直线交y轴于Q，M是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P，当的面积最大时，求P的坐标．
14．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)存在，或或
【分析】（1）把A、B点代入抛物线得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b得到抛物线解析式；
（2）先确定，设，根据得到，然后分别解方程和，从而得到满足条件的D点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）存在点D，使．
当时，，则，
设，
由得到，
∴，
，
∵，
∴，
即或，
当时，解得或，
当时，解得或（不合题意，舍去），
∴点D的坐标是或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数面积问题等知识，根据得到方程是解题的关键．
2．（1），；（2）
【分析】（1）根据一次函数、反比例函数图像过，结合题意，即可计算得到一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据一次函数、反比例函数相交于，可计算得m的值，并结合题意，得点的取值范围；通过的面积建立二次函数，根据二次函数的性质，从而完成解题．
【详解】（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
故答案为：，；
（2）∵ 在函数的图象上
∴
∴，即
∵点是线段上一点
∴
设点坐标为
∵
∴开口向下
∴当时，最大值
当或时，最小值
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌一次函数、反比例函数、二次函数图像的性质，从而完成求解．
3．(1)．
(2)存在Q（﹣1，2），理由见解析．
(3)四边形BOCE面积的最大值为，此时E点的坐标为．
【分析】（1）将和代入抛物线解析式中，利用待定系数法求解即可．
（2）由已易得抛物线的对称轴为直线，由题意可知点A、B关于直线对对称，连接BC交直线x=1于点Q，则此时△QAC的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，把代入所求解析式中求得对应的值，即可得到点Q的坐标．
（3）过点E作轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），根据割补法可找出S四边形EFOC= S△BEF+ S四边形EFOC之间的关系，在利用配方法将函数关系式化为顶点式即可完成解题．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）解：存在Q（﹣1，2），理由如下：
连接BC交对称轴于Q，如图：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴C（0，3），
而A（1，0），
∴AC＝，
要使得△QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QA＝QB，
∴只需QC+QB最小即可，
∴Q、B、C共线时，△QAC的周长最小，
设直线BC解析式为y＝kx+t，则，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝2，
∴Q（﹣1，2）．
（3）解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图：
设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
则F（a，0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a﹣（﹣3）＝a+3，OF＝0﹣a＝﹣a，
∴S△BEF＝BF•EF＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3），S四边形EFOC＝（OC+EF）•OF＝（﹣a2﹣2a+3+3）•（﹣a），
∴S四边形BOCE＝S△BEF+S四边形EFOC
＝，
＝，
，
∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，
此时﹣a2﹣2a+3＝，
∴点E坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合运用，涉及利用待定系数法求二次函数的解析式、解一次函数解析式、由抛物线的对称性解求最短路径问题、将二次函数解析式化为顶点式解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．(1)y=-x2+2x+3；
(2)证明见解析，；
(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．
5．（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）．
【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【详解】解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
6．（1）解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）抛物线顶点D的坐标为（2，6），四边形ABCD的面积为12．
【分析】（1）由正方形性质，得到C（0，4），B（4，4），将其代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法解题；
（2）利用配方法，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，最后根据Ｓ四边形ABDC=Ｓ△ABC+Ｓ△BCD结合三角形面积公式解题．
【详解】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得
，
解得：，
则解析式为；
（2）∵，
∴抛物线顶点D坐标为（2，6），
则Ｓ四边形ABDC=Ｓ△ABC+Ｓ△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式解析式、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．
【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）二次函数表达式为：，
将点A的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：①，
则点，
将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：，则点，
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
∵，
则，
解得：或5（舍去5），
故点；
（3）设点、点，，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，
同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，
即：，，而，
解得：或﹣4，
故点或；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，，而，
解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
8．（1）y=﹣x+3；（2）；（3）点Q的坐标为（，0）或（4，0）．
【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6，则P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=-x2+x（1≤x≤3），再利
用而此函数的性质求S的最大值；
（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），利用两点间的距离公式得到MN=|t2-t|，CM=t，然后证明NM=CM得到|t2-t|=t，再解绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
当x=0时，y=-x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），E（4，0）分别代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=-x+3；
（2）如图（1），当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），D（1，4）分别代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
则P（x，-2x+6），
∴S=（-2x+6+3）x=-x2+x（1≤x≤3），
∵S=-（x-）2+，
∴当x=时，S有最大值，最大值为；
（3）存在．
如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），
∴MN=|-t2+2t+3-（-t+3）|=|t2-t|，
CM==t，
∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，而QN∥y轴，
∴MN//CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴∠M′CN=∠CNM′，
∴CM′=NM′，
∴NM=CM，
∴|t2-t|=t，
当t2-t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；
当t2-t=-t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，0），
综上所述，点Q的坐标为（，0）或（4，0）．
9．（1）抛物线的解析式为；（2）①P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）；②D（）．
【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可．
【详解】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1．
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3．
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴，解得：．
∴直线AB的解析式为．
∴C点坐标为（0，）．
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），
∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，﹣x）．
（i）当OC=OP时，，
解得（舍去）．
∴P1（）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（）．
（iii）当OC=PC时，由，
解得（舍去）．
∴P3（）．
综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）．
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x，）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ（OG+GH）
=
=．
∵0＜x＜3，
∴当时，S取得最大值为，此时D（）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
10．(1)，；直线的解析式为
(2)①；②
【分析】（1）通过解方程得A、B的坐标；令可求出点C的坐标，运用待定系数法可求直线的函数表达式；
（2）①设点，求出直线的解析式，设，根据全等三角形的性质得出对应边相等，列出方程，求解即可；②设，求得，根据得，进一步得出当时，最大值为，得出，从而得出结论
【详解】（1）当时，，
解得，
∵点在点的左侧，
∴，
当时，
∴
又，
∴，
设直线的解析式为，
把点C、D的坐标代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
（2）①设点，设直线的解析式为，
把点B、P的坐标代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵，
∵，
又，
∴
得，，代入①得：
解得，（舍去）
∴，
∴；
②由①得，
设，则
∵，
∴，
∴①
又
∵为定值，
∴最大时，最大，
由①得，,
∴当时，最大，为，
∴（负值舍去）
∴
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的最值问题．
11．(1)该抛物线的解析式为
(2)见解析
【分析】（1）将点的坐标是，顶点的坐标是代入求解即可得到答案；
（2）过点作轴，垂足为，根据得到，设点的坐标为并求出，再求出直线的解析式，结合求出的解析式，根据交点求出点N的坐标即可得到答案；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，顶点的坐标是，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，垂足为，

当与都以为底时，
∵，
∴，
当时，则，解得，
∵点的坐标是，
∴，
∴，，
设点的坐标为，
∵点在第一象限，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式，
∵，
∴，即直线的解析式为，将其代入中，得，
解得或-1，
∵点在第二象限，，
∵，
∴点与点关于轴对称；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数解析式，利用方程思想求解．
12．（1）y=x2-x-2（2）（3，-2）、（1，2）、（-3，-2）．（3）
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据平行四边形的特点作图即可求解；
（3）先求出直线AC的解析式，过Q点QF⊥x轴于F点，交直线AC于P点，设Q（x, x2-x-2），表示出PQ的长，再根据S△ACQ =AO×PQ列出二次函数关系式即可求解．
【详解】（1）把A(﹣1，0)，B(2，0)代入y=ax2+bx-2得
解得
∴y=x2-x-2
（2）令x=0，得y=-2
∴C（0，-2）
如图，∵A(﹣1，0)，B(2，0)，C（0，-2）
①四边形ABD1C是平行四边形，
∴CD1=AB=3
∴D1（3，-2）
②四边形ACBD2是平行四边形，
AB,CD2交于E点，E（，0）
∴C、D2关于E点对称，
∴D2（1，2）
③四边形ABCD3是平行四边形，
∴CD3=AB=3
∴D3（-3，-2）
综上，点D的坐标为（3，-2）、（1，2）、（-3，-2）．

（3）设AC为y=kx+b，把A(﹣1，0)，C（0，-2）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y=-2x-2
过Q点QF⊥x轴于F点，交直线AC于P点，
设Q（x, x2-x-2），
∴P（x, -2x-2）
∴PQ=（-2x-2）- （x2-x-2）=- x2-x
∴S△ACQ= S△APQ+ S△PCQ=AF×PQ+FO×PQ =AO×PQ=×1×（- x2-x）=-（x+）2+
∴当x=-时，S△ACQ的最大值是．

【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、平行四边形的性质及二次函数的性质．
13．（1）；（2）顶点是在直线上，理由见解析；（3）P点坐标为（9，）．
【分析】（1）先求出A点坐标，再求出直线AB的解析式，进而求得E的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出点F的坐标，再求出直线EF的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；
（3）设P点坐标为（p，），求出直线BP的解析式，进而求得M的坐标；再求FQ的解析式，确定Q的坐标，可得|MQ|=+6，最后根据S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ列出关于p的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）∵平行四边形，B、C、D的坐标分别为
∴A（3，10），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则 ，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4），
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
，解得，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为；
（2）顶点是在直线上，理由如下：
∵F是的中点，
∴F（8,10），
设直线EF的解析式为y=mx+n，
则，解得，
∴直线EF的解析式为y=x+4，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为（3，），
∵=×3+4，
∴抛物线的顶点是否在直线上；
（3）∵，则设P点坐标为（p，），直线BP的解析式为y=dx+e，
则 ，解得，
∴直线EF的解析式为y=，
当x=0时，y=，则M点坐标为（0，），
∵AB//FQ ，
∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6，
∴FQ的解析式为y=2x-6 ，
∴Q的坐标为（0，-6），
∴|MQ|=+6，
∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ
=
=
=
=
∴当p=9时，的面积最大时，
∴P点坐标为（9，）．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．
14．(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
15．（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)
【分析】（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；
（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，
∵点A（﹣2，0），点B（8，0），
∴对称轴为直线x＝3，
∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，
∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，
∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，
设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，
∴0＝8k﹣8，
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，
当x＝3，y＝﹣5，
∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，
∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），
∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，
如图，
∵△ACE与△ACD面积相等，
∴DE∥AC，
∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，
∴﹣5＝﹣4×3+n，
∴n＝7，
∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．
【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键．