2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习三（含答案）

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如图，抛物线y＝mx2＋3mx﹣2m＋1的图象经过点C，交x轴于点A(x1，0)，B(x2，0)(点A在点B左侧)，且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)
(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，确定对称抛物线C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(﹣3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标；
(3)如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M．
①求△APC的面积最大时点P的坐标；
②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN＋eq \f(\r(2),2)CN的最小值．
如图，抛物线y=ax2＋bx﹣5与x轴相交于A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线上一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)，分别过点A、B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为点D、E，连接MD、ME．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限内，使S△PAB=S△PAC，求点P的坐标；
(3)点P在运动过程中，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
如图，抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)，已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
已知二次函数y=x2＋kx＋eq \f(1,2)k﹣eq \f(7,2)．
(1)求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A(1，0)的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；
(3)在(2)的条件下，关于x的另一方程x2＋2(a＋k)x＋2a﹣k2＋6k﹣4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．
如图，在平面直角坐标系中，顶点为(2，﹣1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，3)，连接AB．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线y＝mx2＋3mx﹣2m＋1的图象交x轴于点A(x1，0)，B(x2，0)，
∴x1，x2是方程mx2＋3mx﹣2m＋1＝0的两根，
∴x1＋x2＝﹣3，x1x2＝．
∵x2﹣x1＝5，
∴＝25．即：﹣4x1x2＝25，
∴9﹣4×＝25．解得：m＝﹣eq \f(1,2)．
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2．
(2)S△DCE：S△BCE存在最大值eq \f(4,5)，此时点D的坐标为(﹣2，3)，理由：
令y＝0，则﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2＝0，解得：x＝﹣4或1，
∴A(﹣4，0)，B(1，0)，令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝eq \f(1,2)x＋2．
过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴于点B，交直线AC于点N，如图，
则DM∥BN，∴△EDM∽△EBN，
∴．
设D(a，﹣eq \f(1,2)a2﹣eq \f(3,2)a＋2)，则M(a，﹣eq \f(1,2)a＋2)，
∴DM＝(﹣eq \f(1,2)a2﹣eq \f(3,2)a＋2)﹣(﹣eq \f(1,2)a＋2)＝﹣eq \f(1,2)a2﹣2a．
当x＝1时，y＝eq \f(1,2)×1＋2＝eq \f(5,2)，∴N(1，eq \f(5,2))．∴BN＝eq \f(5,2)．
∵等高的三角形的面积比等于底的比，
∴S△DCE：S△B∁E＝．
∴S△DCE：S△B∁E＝﹣eq \f(1,5)a2﹣eq \f(4,5)a＝﹣eq \f(1,5)(a＋2)2＋eq \f(4,5)，
∵﹣eq \f(1,5)＜0，
∴当a＝﹣2时，S△DCE：S△BCE有最大值为eq \f(4,5)，此时点D(﹣2，3)；
(3)第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣，理由：
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，
∴AC＝2eq \r(5)，BC＝eq \r(5)，AB＝OA＋OB＝5．
∵AC2＋BC2＝25＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°．
取AB的中点P，连接OP，则P(﹣eq \f(3,2)，0)，
∴OP＝eq \f(3,2)．∴PA＝PB＝PC＝eq \f(5,2)，
∴∠BAC＝∠PCA．
∵∠CPB＝∠BAC＋∠PCA，
∴∠CPB＝2∠BAC．
过点D作DR⊥y轴于点R，延长交AC于点G，如图，
①当∠DCF＝2∠BAC时，
设D(m，﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(3,2)m＋2)，则DR＝﹣m，OR＝﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(3,2)m＋2，
∴CR＝OR﹣OC＝﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(3,2)m．
∵DR⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DR∥AB，
∴∠G＝∠BAC．
∵∠DCF＝∠G＋∠CDG，∠DCF＝2∠BAC，
∴∠CDG＝∠G＝∠BAC．
∵tan∠BAC＝，∴tan∠CDR＝eq \f(1,2)．
∴，得：m＝﹣2或0(舍去)，
∴m＝﹣2．
∴点D的横坐标为﹣2；
②当∠FDC＝2∠BAC时，
∵∠CPB＝2∠BAC，
∴∠FDC＝∠CPB．
∵tan∠CPB＝eq \f(4,3)，∴tan∠FDC＝eq \f(4,3)，
∵tan∠FDC＝，∴，
设FC＝4n，则DF＝3n，∴CD＝5n．
∵tan∠G＝tan∠BAC＝eq \f(1,2)，
∴tan∠G＝，
∴FG＝6n．
∴CG＝FG﹣FC＝2n．
∵tan∠G＝，∴RC＝n，
∴DR＝＝n，∴，
解得：a＝﹣eq \f(29,11)或0(舍去)，
∴a＝﹣eq \f(29,11)，即点D的横坐标为﹣eq \f(29,11)，
综上，第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣eq \f(29,11)．
解：(1)观察函数图象，可得出对称抛物线的特征：点M，N关于原点O对称；两抛物线的顶点坐标关于原点O对称．
(2)∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，
∴点A的坐标为(1，1)，
∴点B的坐标为(﹣1，﹣1)；
当y＝0时，﹣x2＋2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，
∴点M的坐标为(2，0)，
∴点N的坐标为(﹣2，0).
将B(﹣1，﹣1)，N(﹣2，0)代入y＝a2x2＋b2x中，
得：，解得：，
∴对称抛物线C2的解析式为y＝x2＋2x．
(3)∵MN＝4，
∴OM＝eq \f(1,2)MN＝eq \f(1,2)×4＝2，
∴抛物线C1的对称轴为直线x＝1，点M的坐标为(2，0)，
∴点N的坐标为(﹣2，0)．
设点A的坐标为(1，m)，则AM2＝(1﹣2)2＋m2，AN2＝[1﹣(﹣2)]2＋m2．
∵四边形ANBM是矩形，
∴△AMN为直角三角形，
∴AM2＋AN2＝MN2，
即(1﹣2)2＋m2＋[1﹣(﹣2)]2＋m2＝42，解得：m1＝eq \r(3)，m2＝﹣eq \r(3)，
∴点A的坐标为(1，eq \r(3))或(1，﹣eq \r(3))．
当点A的坐标为(1，eq \r(3))时，将A(1，eq \r(3))，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，
得：，解得：，
∴对称抛物线C1的解析式为y＝﹣eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x；
当点A的坐标为(1，﹣eq \r(3))时，将A(1，﹣eq \r(3))，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，
得：，解得：，
∴对称抛物线C1的解析式为y＝eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x；
∵点A，B关于原点O对称，
∴点B的坐标为(﹣1，﹣eq \r(3))或(﹣1，eq \r(3))，
同理，可得出对称抛物线C2的解析式为y＝eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x或y＝﹣eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x．
综上所述，对称抛物线C1和C2的解析式为y＝﹣eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x，y＝eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x
或y＝eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x，y＝﹣eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x．
解：(1)由题意得：
，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)①当点E在点A的左侧时，如图1，
由抛物线的表达式知，点D的坐标为(﹣1，4)，
延长AD交y轴于点H，过点H作HN交AC的延长线于点N，
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为y＝2(x＋3)，
故点H的坐标为(0，6)，
则CH＝6﹣3＝3，
由点A、C的坐标知，∠ACO＝45°＝∠HCN，AC＝3eq \r(2)，
在Rt△CHN中，NH＝CN＝eq \f(\r(2),2)CH＝eq \f(3\r(2),2)，
在Rt△AHN中，tan∠HAN＝tan∠DAC＝eq \f(1,3)，
∴tan∠ECA＝tan∠CAD＝eq \f(1,3)，
过点E作EK⊥CA交CA的延长线于点K，
在Rt△AEK中，∠EAK＝∠CAO＝45°，
故设AK＝EK＝x，则AE＝eq \r(2)x，
在Rt△CEK中，tan∠ECA＝eq \f(1,3)，解得x＝eq \f(3\r(2),2)，故AE＝eq \r(2)x＝3，
则点E的坐标为(﹣6，0)；
②当点E(E′)的点A的右侧时，
∵∠ECA＝∠CAD，则直线CE′∥AD，则直线CE′的表达式为y＝2x＋r，
而直线CE′过点C，故r＝3，
故直线CE′的表达式为y＝2x＋3，
令y＝0，则x＝﹣eq \f(3,2)，
故点E′的坐标为(﹣eq \f(3,2)，0)；
综上，点E的坐标为(﹣6，0)或(﹣eq \f(3,2)，0)；
(3)设点P的坐标为(x，﹣x2﹣2x＋3)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝x＋3，则点M(x，x＋3)，
则△APC的面积＝eq \f(1,2)×OA×PM＝eq \f(1,2)×3×(﹣x2﹣2x＋3﹣x﹣3)＝eq \f(3,2)(﹣x2﹣3x)，
∵﹣eq \f(3,2)＜0，故△APC的面积有最大值，
当x＝﹣eq \f(3,2)时，点P的坐标为(﹣eq \f(3,2)，eq \f(15,4))，则点H(﹣eq \f(3,2)，0)，
在x轴上取点G(3，0)，则OG＝OC，连接CG，则∠GCO＝45°，过点H作HR⊥CG于点R，交CO于点N，则点N为所求点，
理由：HN＋eq \f(\r(2),2)CN＝HN＋CNsin∠GCO＝HN＋NR＝HR为最小值，
∵∠CGO＝45°，故△HRG为等腰直角三角形，
则HR＝eq \f(\r(2),2)HG＝eq \f(\r(2),2)(3＋eq \f(3,2))＝eq \f(9,4)eq \r(2)，即HN＋eq \f(\r(2),2)CN的最小值为eq \f(9,4)eq \r(2)．
解：(1)∵将点A、B的坐标代入得：
，解得：a=﹣1，b=6，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2＋6x﹣5．
(2)如图1所示：记PC与x轴的交点为F．
∵令x=0，得y=﹣5，∴C(0，﹣5)．
设直线PC的解析式为y=kx﹣5，点P的坐标为(a，﹣a2＋6a﹣5)．
将点P的坐标代入PC的解析式得：ka=﹣a2＋6a﹣5．
解得：a=0(舍去)，k=6﹣a．
∴直线PC的解析式为y=(6﹣a)x﹣5．
令y=0得：(6﹣a)x﹣5=0．解得：x=．∴点F的坐标(，0)．
∵S△PAB=S△PAC，∴eq \f(1,2)(﹣1)(﹣a2＋6a﹣5＋5)=eq \f(1,2)×4×(﹣a2＋6a﹣5)．
解得：整理得：a2﹣5a＋4=0．解得：a=1(舍去)，a=4．
当a=4时，﹣a2＋6a﹣5=﹣16＋24﹣5=3．
∴点P的坐标为(4，3)．
(3)∵抛物线解析式为y=﹣x2＋6x﹣5，∴对称轴是直线x=3．∴M(3，0)．
①当∠MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE=90°时，不成立；③当∠DME=90°时，如图2所示：
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．
∵∠MDE=45°，∠EDA=90°，∴∠MDA=135°．
∵∠MED=45°，∴∠NEM=135°．∴∠ADM=∠NEM=135°．
在△ADM与△NEM中，
，
∴△ADM≌△NEM(ASA)．
∴MN=MA．
∴MN=MA=2，∴N(3，2)．
设直线PC解析式为y=kx＋b，将点N(3，2)，C(0，﹣5)代入直线的解析式得；
，解得：．∴直线PC的解析式为y=eq \f(7,3)x﹣5．
将y=eq \f(7,3)x﹣5代入抛物线解析式得：eq \f(7,3)x﹣5=﹣x2＋6x﹣5，解得：x=0或x=eq \f(11,3)，
当x=0时，交点为点C；当x=eq \f(11,3)时，y=eq \f(7,3)x﹣5=3eq \f(5,9)．∴P(eq \f(11,3)，3eq \f(5,9))．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为(eq \f(11,3)，3eq \f(5,9))．

解：(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)
∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，
∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5
对称轴：直线x=3
顶点坐标(3，4)；
(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，
∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5
∴k=eq \f(5,2)或k=eq \f(5,4).
(3)如图1，设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得或
不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)∴0＜x＜4
过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，
PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，
S△PMN=eq \f(1,2)PH•xN=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8
∵0＜x＜4
∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)
(4)如图2，
A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)，
①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大
②当y=kx﹣5过D点时，3k﹣5=﹣4，解得k=eq \f(1,3)，
当y=kx﹣5过B点时，5k﹣5=0，解得k=1，
直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点，即eq \f(1,3)＜k＜1，
当eq \f(1,3)＜k＜1时，直线l与图象L2有四个交点.
(1)证明：x2＋kx＋eq \f(1,2)k﹣eq \f(7,2)=0，
△1=b2﹣4ac=k2﹣4(eq \f(1,2)k﹣eq \f(7,2))=k2﹣2k＋14=k2﹣2k＋1＋13=(k﹣1)2＋13＞0，
∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)解：∵二次函数y=x2＋kx＋eq \f(1,2)k﹣eq \f(7,2)的图象与x轴的两个交点在点(1，0)的两侧，
且二次函数开口向上，
∴当x=1时，函数值y＜0，即1＋k＋eq \f(1,2)k﹣eq \f(7,2)＜0，解得：k＜eq \f(5,3)，
∵关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△2=b2﹣4ac=(2k＋3)2﹣4k2=4k2＋12k＋9﹣4k2=12k＋9＞0，
∴k＞﹣eq \f(3,4)且k≠0，
∴﹣eq \f(3,4)＜k＜eq \f(5,3)且k≠0，∴k=1；
(3)解：由(2)可知：k=1，
∴x2＋2(a＋1)x＋2a＋1=0，
解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，
根据题意，0＜﹣2a﹣1＜3，
∴﹣2＜a＜﹣eq \f(1,2)，
∴a的整数值为﹣1．
解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1
把A(0，3)代入得：3=4a﹣1解得：a=1，
故 y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x＋3；
(2)抛物线的对称轴与⊙C相离,理由如下：
如图1，过点C作CE⊥BD于E
令y=0，则x2﹣4x＋3=0
解得：x1=1，x2=3
则B(1，0)，C(3，0)，A(0，3)，故AB=eq \r(10)，
∵∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△AOB～△BEC∴=，∴=，∴CE=eq \f(\r(10),5)，
∴BF=CE=1＞eq \f(\r(10),5)，∴抛物线的对称轴与⊙C相离；
(3)设P(m，m2﹣4m＋3)，如图2，过点P作作PQ∥y轴交AC于点Q，
设AC的解析式为：y=kx＋b，
故，解得：，
故AC的解析式为：y=﹣x＋3，则Q(m，﹣m＋3)，
则PQ=﹣m＋3﹣(m2﹣4m＋3)=﹣m2＋3m，
S△PAC=S△AQP＋S△CQP=×3(﹣m2＋3m)=﹣m2＋m，则m=﹣=÷3=，
把m=代入得：﹣×＋×=，故p(，﹣)，
则S△PAC的最大值=．
解：(1)在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝3，
∴OB＝3OA＝3
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1.
∴A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，代入解析式为
，解得a＝-1,b＝-2,c＝3.
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，
∴对称轴为l＝﹣1，
∴E点坐标为(﹣1，0)，如图，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，
此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，
∴MP＝3ME，
∵点P的横坐标为t，
∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，
∵P在第二象限，
∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t＋3＝3(﹣1﹣t)，
解得t1＝﹣2，t2＝3，(与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去)，
当t＝﹣2时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3
∴P(﹣2，3)，
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3).