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初中数学中考复习 专题3 5 二次函数的最值问题-2022年中考数学第一轮总复习课件（全国通用）
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这是一份初中数学中考复习 专题3 5 二次函数的最值问题-2022年中考数学第一轮总复习课件（全国通用），共25页。PPT课件主要包含了拓展训练，h≥3，∵y轴为对称轴，∴a0，∴b2a2+4a，∴对称轴为x-2，yax2+bx+c，D定点，8-x，-25或8等内容，欢迎下载使用。
利用二次函数的区间最值求值
利用二次函数求代数式的最值
利用二次函数求面积的最值
【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.
1.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.
【例2】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4
把P(m,n)代入y=x2+ax+4得：n=m2+4
∴m-n=m-(m2+4)
=-(m-1/2)2-15/4
∴m-n的最大值为-15/4
1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.
1.解析：Δ=b2-4a
∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)
∴t=-(a-4)2+16
当a=4时,tmax=16
2.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1
∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)
∴当m=-4,n=0时a最小
把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2
∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/4
3.如图直线y=x与抛物线y=x2-2x-3交于点E、F,直线MN∥y轴,交直线y=x于点N,交抛物线于点M.(1)若点M为于点N的下方,求当MN最长时,M的坐标；(2)若以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。
4.如图抛物线y1=x2-2x-3与抛物线y2=-x2-2x+3交于点A,B,直线MN∥y轴,分别交抛物线y1,y2于点M,N两点,且点M为点N的下方,求当MN最长时,M的坐标；
【例3】抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,交y轴于点C,在直线AC上方的抛物线上,是否存在一点P使△PAC面积最大？最大面积是多少？
解：连接OP,设点P的坐标为(m,-m2+2m+3).
S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO
=1/2AO·|yP|+1/2CO·|xP|-1/2×3×3
=3/2(-m2+2m+3)+3/2·m-1/2×3×3
=-3/2(m-3/2)+27/8
当t=3/2时,△PAC面积最大值为27/8.
【变式1】如图,抛物线y=ax2+bx-3交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA=OC=3OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.
(1)y=x2+2x-3
(2)△PAC面积的最大值为27/8,P(-3/2,-15/4)
【变式2】如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，D(-2,y)是抛物线上一点,P为直线BE上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.当m为何值时,△PBE的面积最大？
S△PAC=S△PBH+S△PDH-S△BDH=-1.5(m+0.5)2+27/8
1.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？
解：令正方形的边长为1,设AE=x,则BE=1-x.
∵四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，
∴BF=CG=DH=AE=x,CF=DG=AH=BE=1-x.
∴S正方形EFGH=HE2=AE2+AH2=x2+(1-x)2
=(x-0.5)2+0.5
∴当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小值为0.5
∴E为AB的中点时，正方形EFGH的面积最小
解：设一直角边长为x,则另一直角边长为_____,依题意得：
2.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？
当x=4时,Smax=8.
∴当两直角边都为4时,这个三角形面积最大,最大值为8.
1.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为_____.2.已知抛物线y=-x2+bx+2-b,在自变量x的值满足-1≤x≤2的情况下,若对应的函数值y的最大值为6,则b的值为__________.3.如图,抛物线y=ax2与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是( ) ≤a≤1 B.0.5≤a≤2 C.0.5≤a≤1 ≤a≤24.抛物线y=(x-h)2+k过点A(2,6),且对称轴与线段BC有交,B(1,0),C(4,0),则k的取值范围是_________.
5.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为______cm.6.使用家用燃气烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0º＜x＜90º)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此家用燃气灶烧开同一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( ) A.18º B.36º C.41º D.58º
利用二次函数的区间最值求值
利用二次函数求代数式的最值
利用二次函数求面积的最值
【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.
1.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.
【例2】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4
把P(m,n)代入y=x2+ax+4得：n=m2+4
∴m-n=m-(m2+4)
=-(m-1/2)2-15/4
∴m-n的最大值为-15/4
1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.
1.解析：Δ=b2-4a
∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)
∴t=-(a-4)2+16
当a=4时,tmax=16
2.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1
∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)
∴当m=-4,n=0时a最小
把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2
∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/4
3.如图直线y=x与抛物线y=x2-2x-3交于点E、F,直线MN∥y轴,交直线y=x于点N,交抛物线于点M.(1)若点M为于点N的下方,求当MN最长时,M的坐标；(2)若以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。
4.如图抛物线y1=x2-2x-3与抛物线y2=-x2-2x+3交于点A,B,直线MN∥y轴,分别交抛物线y1,y2于点M,N两点,且点M为点N的下方,求当MN最长时,M的坐标；
【例3】抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,交y轴于点C,在直线AC上方的抛物线上,是否存在一点P使△PAC面积最大？最大面积是多少？
解：连接OP,设点P的坐标为(m,-m2+2m+3).
S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO
=1/2AO·|yP|+1/2CO·|xP|-1/2×3×3
=3/2(-m2+2m+3)+3/2·m-1/2×3×3
=-3/2(m-3/2)+27/8
当t=3/2时,△PAC面积最大值为27/8.
【变式1】如图,抛物线y=ax2+bx-3交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA=OC=3OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.
(1)y=x2+2x-3
(2)△PAC面积的最大值为27/8,P(-3/2,-15/4)
【变式2】如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，D(-2,y)是抛物线上一点,P为直线BE上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.当m为何值时,△PBE的面积最大？
S△PAC=S△PBH+S△PDH-S△BDH=-1.5(m+0.5)2+27/8
1.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？
解：令正方形的边长为1,设AE=x,则BE=1-x.
∵四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，
∴BF=CG=DH=AE=x,CF=DG=AH=BE=1-x.
∴S正方形EFGH=HE2=AE2+AH2=x2+(1-x)2
=(x-0.5)2+0.5
∴当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小值为0.5
∴E为AB的中点时，正方形EFGH的面积最小
解：设一直角边长为x,则另一直角边长为_____,依题意得：
2.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？
当x=4时,Smax=8.
∴当两直角边都为4时,这个三角形面积最大,最大值为8.
1.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为_____.2.已知抛物线y=-x2+bx+2-b,在自变量x的值满足-1≤x≤2的情况下,若对应的函数值y的最大值为6,则b的值为__________.3.如图,抛物线y=ax2与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是( ) ≤a≤1 B.0.5≤a≤2 C.0.5≤a≤1 ≤a≤24.抛物线y=(x-h)2+k过点A(2,6),且对称轴与线段BC有交,B(1,0),C(4,0),则k的取值范围是_________.
5.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为______cm.6.使用家用燃气烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0º＜x＜90º)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此家用燃气灶烧开同一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( ) A.18º B.36º C.41º D.58º
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