2022年九年级中考数学二轮专题复习——二次函数最值问题

这是一份2022年九年级中考数学二轮专题复习——二次函数最值问题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学二轮专题复习——二次函数最值问题
一、选择题
1．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
2．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
4．关于x的分式方程+＝1的解为非负数，则二次函数y＝a2﹣12a+39的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（　　）

A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
6．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（　　）

A．3 B．3 C． D．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
9．若一次函数y＝（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y＝mx2﹣mx（　　）
A．有最大值 B．有最大值﹣
C．有最小值 D．有最小值﹣
10．已知△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（　　）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
11．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（　　）
A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
12．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m C． D．m
二、填空题
13．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是　 　．
14．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2﹣m，在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则m的值为　 　．
15．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝30°．若二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）的最小值为﹣，则∠A＝　 　．
16．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为　 　cm2．

18．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　 　．

19．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　．

20．一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为　 　cm．

21．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是　 　．

22．如图，过点A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C，D两点．连接OC，OD．抛物线y＝ax2+bx+c经过O，C，D三点．若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，则S的最大值　 　．

三、解答题
23．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．
（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．





24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．
（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．
（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．





25．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
（2）当台灯的售价定为多少时，获得的月利润最大？




26．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求S△PAC的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．





27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．





28．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．





29．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象分别交x，y轴于点B，A，抛物线y＝ax2+x+c的图象经过A，B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当圆G与y轴相切时，求点D的坐标．





30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．

（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是该二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点．
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点D，求线段PD的最大值．
②如图2，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．




31．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过x轴上的点A（﹣2，0）和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝﹣x+n，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．
①求△PEF的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．





32．定义：对于二次函数y＝a（x+h）2+k，其相依函数为一次函数y'＝a（x+h）+k，例如：二次函数y＝3（x+1）2+2的相依函数为：y'＝3（x+1）+2＝3x+5
（1）求二次函数y＝2x2﹣4x+5的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数y＝m（x+2）2﹣3m（m＞0）与其相依函数的图象分别交于点A、B，过该抛物线的顶点作直线l平行于x轴，已知点A到直线l的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点P为抛物线AB段上的一个动点，求△APB面积的最大值．


2022年中考数学二轮专题复习——二次函数最值问题参考答案
一、选择题
1．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
【答案】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，

故选：D．
2．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
【答案】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【答案】解：（方法一）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．
∵1＞0，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
（方法二）∵S四边形PABQ+S△CPQ＝S△ABC，
∴当△CPQ的面积最大时，四边形PABQ的面积最小．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S△CPQ＝PC•CQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9．
∵﹣1＜0，
∴当t＝3时，△CPQ的面积取最大值，最大值为9，
∴四边形PABQ的面积最小值为×6×8﹣9＝15．
故选：C．
4．关于x的分式方程+＝1的解为非负数，则二次函数y＝a2﹣12a+39的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
解：解关于x的分式方程+＝1，得，x＝5﹣a，
∵解为非负数，
∴x＝5﹣a≥0，且5﹣a≠2，
解得：a≤5且a≠3，
∵二次函数y＝a2﹣12a+39＝（a﹣6）2+3，
∴当a＜6时，y随a的增大而减小，
∵a≤5且a≠3，
∴a＝5时，二次函数y＝a2﹣12a+39＝4最小，
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（　　）

A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
【答案】解：∵AP＝CQ＝t，
∴CP＝6﹣t，
∴PQ＝＝＝，
∵0≤t≤2，
∴当t＝2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2，
故选：C．
6．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（　　）

A．3 B．3 C． D．
【答案】解：如图，作HM⊥AB于M，
∵AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADG+∠MDH＝90°，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠MDH，
∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，
∴△ADG≌△MHD（AAS），
∴AD＝HM，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
∴S△BDH＝＝BD•AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，
∴△BDH面积的最大值是，
故选：C．

7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【答案】解：由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，
∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；
当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．
故选：B．
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
【答案】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．
故选：C．
9．若一次函数y＝（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y＝mx2﹣mx（　　）
A．有最大值 B．有最大值﹣
C．有最小值 D．有最小值﹣
【答案】解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，
即﹣1＜m＜0，
∴函数y＝mx2﹣mx＝m（x﹣）2﹣有最大值，
∴最大值为﹣．
故选：B．
10．已知△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（　　）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【答案】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB；
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF＝BC＝2．
∴EF＝DF＝2．故此选项错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF＝S△ADE，
∴S四边形CEDF＝S△ADC．
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝＝4，
∴AD＝CD＝2，
此时S△CEF＝S四边形CEDF﹣S△DEF＝S△ADC﹣S△DEF＝﹣×2×2＝4﹣2＝2．故此选项正确；
故正确的有①②，
故选：B．

11．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（　　）
A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
【答案】解∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，
∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，
则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．
故选：B．
12．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m C． D．m
【答案】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，
∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，
解得m≤，
∵m＜n，
∴m＜﹣2m+1．
解得m＜，综上，m＜
故选：B．

二、填空题
13．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是　 　．
【答案】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，
∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m，
∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，
此为一个二次函数，开口向上，有最小值，
当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
14．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2﹣m，在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则m的值为　 　．
【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
当＜﹣1，即m＜﹣2时，则﹣1≤x≤2，y随x的增大而减小，即x＝﹣1时，y＝6，所以﹣（﹣1）2﹣m+2﹣m＝6，解得m＝﹣；
当﹣1≤≤2，即﹣2≤m≤4时，则﹣1≤x≤2，所以x＝时，y＝6，所以﹣（）2++2﹣m＝6，解得m1＝2+2（舍去），m2＝2﹣2（舍去）；
当＞2，即m＞4时，则﹣1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x＝2时，y＝6，所以﹣22+2m+2﹣m＝6，解得m＝8，
综上所述，m的值为﹣或8．
故答案为﹣或8．
15．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝30°．若二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）的最小值为﹣，则∠A＝　 　．
【答案】解：将二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）配方得：
y＝（a+b）﹣a+b，
∵该二次函数的最小值为﹣，
∴﹣＝﹣a+b，
整理，得：a＝b，
∵在△ABC中，∠C＝30°，
∴当a＝b时，∠A＝∠B＝＝75°，
故答案为：75°．
16．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　．

【答案】解：∵y＝﹣x2+x+2，
∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，
解得 x＝2或x＝﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x＝1时，C最大值＝6，．
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为　 　cm2．

【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故答案为15．
18．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　 　．

【答案】解：如图，连接DE．
设AC＝x，则BC＝2﹣x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝（2﹣x），
∴∠DCE＝90°，
故DE2＝DC2+CE2＝x2+（2﹣x）2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．
故答案为：1．

19．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　．

【答案】解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
20．一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为　 　cm．

【答案】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a＝x，h＝（30﹣x），0＜x＜30．
S＝4ah＝8x（30﹣x）＝﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x＝15cm时，S取最大值．
故答案为：15．
21．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是　 　．

【答案】解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，
∵A（2，0），C（﹣1，0），⊙C半径为1，
∴AO＝2，AC＝2+1＝3，CD＝1，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴∠D＝∠AOE，
在△AOE与△ADC中，，
∴△AOE∽△ADC，
∴＝，
即＝，
解得EO＝，
∵点B（0，2），
∴OB＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，
∴△ABE面积的最小值＝×BE×AO＝（2﹣）×2＝2﹣．
故答案为：2﹣．

22．如图，过点A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C，D两点．连接OC，OD．抛物线y＝ax2+bx+c经过O，C，D三点．若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，则S的最大值　 　．

【答案】解：∵过点A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C，D两点．
∴C（1，3），D（3，1），
∴直线OC的解析式为y＝3x，直线OD的解析式为y＝x，
设平移后的三角形为△A'O'C'，点C'在线段CD上，
设O'C'与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A'C'与x轴交于点F，与直线OD交于点Q；
如图所示：

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则AF＝t，F（1+t，0），Q（1+t，+），C'（1+t，3﹣t）
设直线O'C'的解析式为y＝3x+b，将C'（1+t，3﹣t）代入得b＝﹣4t，
∴直线O'C'的解析式为y＝3x﹣4t，
∴E（t，0），
由解得：，
∴P（t，），过点P作PG⊥x轴于点G，则PG＝，
∴S＝S△OFQ﹣S△OEP
＝OF•FQ﹣OE•PG
＝（1+t）（+）﹣×t×
＝﹣（t﹣1）2+
∵二次项系数为负值，
∴当t＝1时，S有最大值．
故答案为：．
三、解答题
23．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．
（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．

【答案】解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF＝x，
∴BE＝DF＝4﹣x，
∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，
∴y＝42﹣×（4﹣x）﹣×4×（4﹣x）﹣x2
∴y＝﹣2+4x（0≤x≤4）．
（2）∵y＝﹣2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．
（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．
（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．

【答案】解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
×（6﹣t）×2t＝8，
解得：t1＝2，t2＝4，
答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）依题意，得S＝×PB×BQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．
25．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
（2）当台灯的售价定为多少时，获得的月利润最大？
【答案】解：（1）设涨价为x元，由题意得：
（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
整理，得x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
∵40≤40+x≤60，
∴0≤x≤20，
∴x＝10，
∴台灯的售价定为40+10＝50元，这时应进台灯600﹣10×10＝500个．
答：台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
（2）设涨价x元时，最大月利润为y元，
则y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）
＝﹣10x2+500x+6000
＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵0≤x≤20，
∴x＝20，即售价为60元时，ymax＝12000．
答：当售价为60元时，获得的最大月利润为12000元
26．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求S△PAC的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．

【答案】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）将x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+4得，y＝4，
∴点C（0，4），
设直线AC所在直线的表达式为y＝k1x+b1，则
，解得：，
∴直线AC的表达式为y＝x+4，
如图，设PD与线段AC交于点N，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），
∵PD⊥x轴交AC于点N，
∴N（t，t+4），
∴PN＝yP﹣yN＝﹣t2﹣4t，
过点C作CH⊥PD，则CH＝﹣t，AD＝t﹣4，
∴S△APC＝S△APN+S△PCN＝＝＝＝﹣2t2﹣8t，
∵a＝﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．
（3）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
∵C（0，4），B（1，0），
∴OC＝4，OB＝1，
设OE＝a，则CE＝BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
设BP所在直线表达式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+．

27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．

【答案】解：（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则x＝1或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
设直线AD的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝x+2；
（2）连接PD，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交AD于点G，
∵平行四边形APED，
∴S△PAD＝S△PED，
∴S△PAD的面积最大，则平行四边形APED的面积就最大，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣2＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+，
∴S＝2××（﹣t2﹣t+2）×4＝﹣4（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S的最大值．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

【答案】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝＝﹣（a﹣4）2+4，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）．
29．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象分别交x，y轴于点B，A，抛物线y＝ax2+x+c的图象经过A，B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当圆G与y轴相切时，求点D的坐标．

【答案】解：（1）在y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4．
所以A（0，2），B（4，0）．
把A（0，2），B（4，0）代入y＝ax2+x+c中，得，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，
，
连接DA，DB，DO，
∵点D的坐标为（m，﹣m2+m+2）
∴S△ABD＝S△AOD+S△DOB﹣SAOB
＝×2m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4
＝﹣m2+2m
＝﹣（m﹣2）2+2，
当m＝2时，S有最大值2；
（3）设F点的坐标为（x，﹣x+2），
则D点的坐标为（x，﹣x2+x+2），
∴DF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+x
∵G点与D点关于F点对称，
∴GD＝2FD＝2（﹣x2+x）＝﹣x2+2x．
若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与y轴相切，即
﹣x2+2x＝x，
解得：x＝2，x＝0（舍去）．
综上所述：D点的坐标为（2，2）．
30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．

（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是该二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点．
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点D，求线段PD的最大值．
②如图2，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．
【答案】解：（1）把A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
得，解得，
二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①设P点的横坐标为a，则D（m，3﹣m），P（m，﹣m2+2m+3），
PD＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，线段PD的最大值为；
②过点P，A分别作y轴得平行线与直线BC交于点M，N．如图：

∴PM∥AN，
∴∠PMQ＝∠ANC，
∵PQ∥AC，
∴∠ACQ＝∠PQC，
∴∠ACN＝∠PQM，
△ACN∽△PQM，
∴＝，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝3﹣x，
∴N（﹣1，4），
由AN＝4，得PM＝2，
设P点的横坐标为a，则M（a，3﹣a），P（a，﹣a2+2a+3），
得PM＝﹣a2+2a+3﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，
令，﹣a2+3a＝2，解得a＝1或a＝2，
故P为（1，4）或（2，3）．
31．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过x轴上的点A（﹣2，0）和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝﹣x+n，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．
①求△PEF的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．

【答案】解：（1）由题意得，
点C（0，2），
∴n＝2，
由﹣x+2＝0得，
x＝4，
∴，∴，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）①设P（x，﹣x2+x+2），E（x，﹣x+2），
设△PEF的周长记作l，
∴PE＝﹣x2+x，
∵PE∥OC，
∴∠PEF＝∠BCO，
∵∠PFO＝∠BCO＝90°，
∴△PFE∽△BOC，
∴，
∴l＝•（﹣x2+x），
∴当x＝﹣＝＝2时，
l最大＝×（﹣+2）＝＝，
∵抛物线的对称轴是x＝＝1，
∴点P和点C关于x＝1对称，
∴P（2，2）；
②如图1，

过点G作∠OCM＝60°，交OA于M，
∵BG∥AC，
∴，
∴，
∴OG＝4，
∴OM＝OG•tan60°＝4×＝12，
∴直线MG的解析式是y＝﹣x﹣4，
作PT∥y轴交MG于T，
∴T（2，﹣），∠PTN＝∠OGM＝60°，
∴PT＝2+＝，
∴PN＝PT•sin∠PTN＝PT•sin∠OGM＝×＝10，
∵KG＝KN，
∴PH+HK+KN的最小值是PN，
∴PH+KH+KG的最小值是10；
32．定义：对于二次函数y＝a（x+h）2+k，其相依函数为一次函数y'＝a（x+h）+k，例如：二次函数y＝3（x+1）2+2的相依函数为：y'＝3（x+1）+2＝3x+5
（1）求二次函数y＝2x2﹣4x+5的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数y＝m（x+2）2﹣3m（m＞0）与其相依函数的图象分别交于点A、B，过该抛物线的顶点作直线l平行于x轴，已知点A到直线l的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点P为抛物线AB段上的一个动点，求△APB面积的最大值．

【答案】解：（1）∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴二次函数y＝2x2﹣4x+5的相依函数为y′＝2（x﹣1）+3，
即y′＝2x+1．
（2）①证明：二次函数y＝m（x+2）2﹣3m的顶点为B（﹣2，﹣3m），它的相依函数为y′＝m（x+2）﹣3m，
即y′＝mx﹣m，
当x＝﹣2时，y′＝﹣2m﹣m＝﹣3m，
∴点B（﹣2，﹣3m）在直线y′＝mx﹣m上，
∴该二次函数的顶点在其相依函数的图象上．
②由y＝m（x+2）2﹣3m整理得y＝mx2+4mx+m，
由得，，
∴A（﹣1，﹣2m），
∵直线l为y＝﹣3m，点A（﹣1，﹣2m）到直线l的距离为8，
∴﹣2m﹣（﹣3m）＝8，
解得m＝8，
∴二次函数为y＝8x2+32x+8，它的依函数为y′＝8x﹣8，
如图，过点P作PR⊥x轴于点R，交线段AB于点Q，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴C（﹣1，0），D（﹣2，0），
∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
设P（x，8x2+32x+8），则Q（x，8x﹣8），
∴PQ＝（8x﹣8）﹣（8x2+32x+8）＝﹣8x2﹣24x﹣16，
∵S△APB＝PQ•CR+PQ•DR＝PQ•CD＝（﹣8x2﹣24x﹣16）×1＝﹣4（x+）2+1，
∴当x＝﹣时，S△APB最大＝1，
∴△APB面积的最大值为1．