江苏省南通市南通大学附属中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南通市南通大学附属中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
3．平面向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．B．C．4D．
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．-2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ）
A．向量在上的投影向量为；B．；
C．；D．.
10．已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．的最大值为B．若，则
C．若是与垂直的单位向量，则D．当取得最大值时，
11．如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．最小值为-2
C．在上的投影向量为
D．若的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 .
13．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是 ．
14．如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，.
(1)若，，且、、三点共线，求的值.
(2)当实数为何值时，与垂直?
16．在中，，，，分别为边、上的点，且，.
(1)用向量方法求证：；
(2)求.
17．已知、为锐角，，．
(1)求的值：
(2)求的大小．
18．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值.
19．如图，在中，，，，，.
(1)求的值；
(2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若是内一点，且满足，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
所以“”不能推出“”，
“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选A.
2．【答案】A
【详解】解：依题意在平行四边形中，，
又是的中点，与交于点，所以，所以，
所以，
所以
故选A
3．【答案】A
【详解】
故选A.
4．【答案】D
【详解】由，则，
又，，
而
.
故选D.
5．【答案】D
【详解】，所以，两边平方可得，
又，所以，
所以.
故选D.
6．【答案】D
【详解】，
由三点共线可得，且，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选D.
7．【答案】A
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以.
故选A.
8．【答案】B
【详解】设的中点为的中点为E，
则有 ，
则 ，
而
而 ，，
故当P与E重合时， 有最小值 ，
所以的最小值为，
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】解：，两个单位向量的夹角为，故根据投影向量定义可得，向量在上的投影向量为，故A正确；
向量的平方等于模的平方，所以，故B正确；
是不共线的单位向量，
故利均为非零向量，
，故C正确；
，故不正确.
故选ABC.
10．【答案】AD
【详解】∵，∴是单位向量，
设，，
则，当，方向相反，
即时取等号，∴的最大值为，故A正确；
等价于，
即，即，
∴，故B错误；
，，
，不垂直，故C错误；
，其中，，
故当时，取得最大值，
此时，故D正确；
故选AD.
11．【答案】ABD
【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图），
设，则，在中，，，是的中点，
所以，，则
，，，，
所以，，，，
对于A：因为是的中点，所以，故A正确；
对于B：，
因为，所以，当时，取得最小值，
所以最小值为，故B正确；
对于C：在上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为所以，
则，当时，取最大值，故D正确.
故选：ABD.
12．【答案】/
【详解】由题意可知，，，，
则，解得.
13．【答案】
【详解】设点为坐标原点，
点在线段的延长线上，且，，
即，．
点的坐标为．
14．【答案】
【详解】由题意可得，，，，
所以，
所以
.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为、、三点共线，
所以，
所以，解得.
（2）因为，
，
又与垂直，
，解得．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以,
又因为，所以，
因为,，所以，
所以，
即，得证.
（2）由题意,
，
由勾股定理可得，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
因为，且，所以；
因为，且，所以，
所以，所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知点的坐标为,点的坐标为,
所以
即得,
则
所以；
（2）由
,
解得，
又因为，即
所以
即.
19．【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1），
，
（2）设，
，
，
，
，
，
解得；
（3），
所以，
，
，
，
，
，，、、三点共线，
，
当且仅当即为中点时取等号，
而，
所以的最小值为.