江苏省江阴一中、青阳高中2024~2025学年高一下册期中考试数学试题【附解析】

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1. 已知复数z满足，则（）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，若B=π6,b=2,a=6，则A是( )
A. π6B. π6或5π6C. π3或2π3D. π3
3．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且BP=23BA+m2BC，则m=（ ）
A．13B．16C．12D．25
4.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5.已知点A1,1，B0,2，C-1,-1.则AB在BC上的投影向量为( )
A. 105,3105B. -105,-3105
C. 15,35D. -15,-35
6.已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. m⊂α,n⊂α,m//β,n//β⇒α//βB. α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n
C. m⊥α,m⊥n⇒n//αD. n//m,n⊥α⇒m⊥α
7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A．B．C．D．4
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//面AEF，则线段PA1的长度范围是( )
A. 2,5B. 2,3
C. 322,3D. 322,5
多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分点，如果AB=a，AC=b，以下向量表示正确的是( )
A. QP=-34a-12bB. QR=-34a+12b
C. PR=-14a+34bD. BC=a-b
10. 下列结论中正确的是（）
A. 若，则或B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为3
D. 若（，），则
11. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，AA1=2，E,F,G分别是棱BC，A1C1，A1B1的中点，D在线段B1C1上，则下列说法中正确的有( )
A. EF//平面AA1B1BB. BD//平面EFG
C. 存在点D，满足BD⊥EFD. 三棱锥D-EFG的体积不变
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量a=(1,2)，b=(x,1-x)，若ab，则x=______
13.已知水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'=6，B'C'=3，则四边形ABCD的面积为______
斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______．
四、简答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本题共5小题，共77分）
15. 设复数（其中），．
(1)若是实数，求的值；(2)若是纯虚数，求的虚部以及
16.已知向量，.
（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m、n满足：m=(2a,6)，n=(b,2sinB)，且m//n．
(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若△ABC是锐角三角形，且a=2，求b+c的取值范围．
18.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥底面ABCD,AB=2，PA=AD=1,E,F分别为AB,PC的中点．
(1)证明：EF//平面PAD；
(2)证明：EF⊥平面PCD；
(3)求直线BF与平面ABCD所成角的大小．
19.古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，
若，，，（图1），
求线段长度的最大值；
若，，（图2），求四边形
面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.