江苏省江阴市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性反馈数学试题（月考）

这是一份江苏省江阴市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性反馈数学试题（月考），共11页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：万赢银 审题人：王海娟
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉稳、智慧和收获。请认真答题，祝你考出好成绩！
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的一个方向向量的坐标为（）（链接课本：第55页第5题）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由题意知，，
所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为，故选：D
2. 已知为空间四面体，为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
3. 已知直线与平行，则的值是（）
A. B. 或C. D. 或
【答案】C
【详解】由两直线平行得，当时，两直线分别为和，显然两直线平行；
当时，由，解得；而当时两直线重合. 综上所述，k的值为0.
故选：C
4. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）（链接课本：第44页第17题）
A．B．C．D．
【答案】D
5. 若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】解：若直线l的方向向量是，则直线l的斜率，所以，则或.
故选：D.
6. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
7．在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
8. 如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点。若点在直线上，则下列结论正确的是（ ）
A．当点为线段的中点时，平面
B．当点为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
【答案】D
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）（选项D链接课本：第68页第12题）
A. 已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为
B. 直线的倾斜角为
C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿 y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线 l的斜率为
【答案】BCD
10. 如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且.则下列结论中正确的有（ ）（链接课本：第44页第18题）
A．当时，ME与CN相交
B．MN始终与平面BCE平行
C．异面直线AC与BF所成的角为
D．当时，MN的长最小，最小为
【答案】BD
11．已知正方体棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（）
A. 若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B. 若，三棱锥的体积为定值
C. 若，有且仅有一个点P，使得平面
D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是
【答案】ABD
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为______.
【答案】
【详解】已知直线，则其斜率，即倾斜角为.
由于直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
故直线的倾斜角为，
又直线过，
则所求直线方程为.
故答案为：.
13．已知向量5，，1，2)，若平面ABC，则x的值是______．
【答案】
【详解】平面，存在，使得，
，解得．故答案为．
14．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为___________.
【答案】
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则，故，
设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取平面的法向量为，
则，解得或（舍去），
所以，故.故答案为：.
四、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分13分）（链接课本：第67页第8题）
已知直线l过定点A(2,1)．
(1) 若直线l与直线x＋2y－5＝0垂直，求直线l的方程；
(2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【解答】(1) 因为直线x＋2y－5＝0的斜率为－eq \f(1,2)，直线l与直线x＋2y－5＝0垂直，所以直线l的斜率为2.
又直线l经过点A(2,1)，
所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝
(2) 当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx.
因为直线l过定点A(2,1)，所以1＝2k，即k＝eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y＝a，
因为直线l过定点A(2,1)，所以a＝1＋2＝3，
所以直线l的方程为x＋y＝3，即x＋y－3＝0.
综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝
16. （本题满分15分）
已知空间三点A，B，C，三点的坐标分别是，，．
（1）求与共线的单位向量；
（2）若，且A，B，C，P四点共面，求的值，并求此时点P到直线AB的距离．
解：（1），，
设与共线的单位向量为，则，解得
所以与共线的单位向量为或
（2），，
因为四点共面，则，即，解得
由（1）知，设直线AB的单位方向向量为
又，
点P到直线AB的距离
17. （本题满分15分）
如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点C到平面的距离．
【详解】
（1）以BC的中点O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为，且，
所以平面；
（2）由（1）知：是平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以；
（3）因为，
则点C到平面的距离为．
18. （本题满分17分）（链接讲义：立体几何中的综合问题 例2）
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
（1）证明：；
（2）当取何值时，直线与平面所成角最小?
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【小问1详解】
因为，，则，即，
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，，
即，，
又因为，可得，
所以无论取何值， . ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ...
【小问2详解】
由（1）可知：，
设平面一个法向量为，则，
取，则，可得，
可得，
令，则，
所以当，即时，取得最小值，此时
【小问3详解】
假设存在，易知平面的一个法向量为
因为，，
设是平面的一个法向量，则，
令，可得，可得，
则，
化简得，解得或，
因为，可得， .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点.
19. （本题满分17分）
如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
（1）求证：直线l⊥平面PAC；
（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF､直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：因为E，F分别是PB，PC的中点，所以BCEF，
又因为EF平面EFA，BC不包含于平面EFA，所以BC面EFA，
又因为BC面ABC，面EFA∩面ABC，所以BC，
又由BC⊥AC，面PAC∩面ABCAC，且面PAC⊥面ABC，所以BC⊥面PAC，
因为BC，易证⊥面PAC. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，，
设，面的法向量为，则，
取，得，
又由，
所以，，
根据题意，可得，即，
解得，
所以直线上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF直线EF所成的角互余，且