江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研测试 数学试题

这是一份江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研测试 数学试题，共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量OA＝(2，3)，OB＝(x，5)，若OA⊥AB，则x＝( )
A.103B.1C.12D.－1
2．已知α∈(0，π)，tan α＝12，则cs2α＝( )
A.15B.35C.45D.1215
3．已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( )
A.“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件B.“x＝－3”是“a//b”的必要条件
C.“x＝0”是“a⊥b”的充分条件D.“x＝－1＋3”是“a//b”的充分条件
4．设D为∆ABC所在平面内一点，BC=4CD，则
A.AD=-13AB+43ACB.AD=14AB-54AC
C.AD=-14AB+54ACD.AD=43AB-13AC
5．已知a终边与单位圆的交点P(x，35)，且a是第二象限角，则1-sin2α+2+2cs2α的值等于 ( )
A.15B.－15C.3D.－3
6．在∆ABC中，若sin A cs(π2－B)＝1－sin(π2－A)cs B，则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
7．为了得到y＝sin2x＋cs2x的图象，只要把y＝2cs2x的图象上所有的点 ( ).
A.向右平移π8个单位长度B.向左平移π8个单位长度
C.向右平移π4个单位长度D.向左平移π4个单位长度
8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体II·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”；由线段AB，AC和优弧BC围成，AB，AC与圆弧分别切于点B、C，直线BC与水平方向垂直(如图)，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9：5，则cs∠BAC＝( )
A.119169B.120169C.45D.74
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
9．对于任意的非零平面向量a，b，c，下列结论正确的是 ( )
A.a·b＝b·aB.若a·b＝a·c，则b＝c
C.(a＋b)·c＝a·c＋b·cD.a·(b·c)＝(a·b)·c
10．已知α，β∈(0，π2)，α＋β＞π2，则下列不等关系一定正确的是 ( )
A.sin(α＋β)＞sin α＋sin βB.cs(α＋β)＜cs α＋cs β
C.sin α＋sin β＞1D.cs α＋cs β＜2
11．如图①，蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形构成)，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图②是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，P是∆DEF内部(包括边界)的动点，则 ( )

A.DE=AF-12ADB.AC⋅BD=34
C.若P为线段EF的中点，则CP在EC上的投影向量为－3EC
D.FE+FP的最大值为7
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．已知a＝(3，4)，b＝(4，－2)，若2a－b与ka＋2b为共线向量，则实数k＝ .
13．已知sin(α－π6)＋cs α＝35，则cs(2α＋π3)＝ .
14．如图，在∆ABC中，点P在BC上，且满足BP=2PC，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM=mAB,AN=nAC，m＞0，n＞0，则m＋2n的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分13分)
已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是60°.
(1)求a－b，|a＋b|； (2)求a＋b和a的夹角的余弦值．
16．(本小题满分15分)
在①tan α＝43，②cs 2α＝－4749，③1-csαsinα=32中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知0＜α＜π2，且 .
(1)求sin(α－π6)的值；(2)若0＜β＜α＜π2，sin(α－β)＝3314，求β.
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.
17．(本小题满分15分)
已知向量a＝(2cs x，1)，b＝(－cs(x＋π3),12),x∈[0,π2].
(1)若a//b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，若对于任意x1，x2∈[0，π2]，|f(x1)－f(x2)|，λ恒成立，求实数λ的最小值．
18．(本小题满分17分)
已知O是线段AB外一点，若OA=a,OB=b
(1)设点G是∆ABC的重心，证明：OG=13(a+b)
(2)设点A1、A2是线段AB的三等分点，∆OAA1、∆OA1A2及∆OA2B的重心依次为G1、G2、G3.
①试用向量a、b表示OG1+OG2+OG3；
②依据①的推理，设点A1、A2、…、An－1线段AB的n等分点，G1、G2、…、Gn、∆OAA1、∆OA1A2、…、∆OAn－1B的重心。
请你写出：OG1+OG2+⋅⋅⋅+OGn及OA1+OA2+⋅⋅⋅+OAn-1 (用a、b表示不必证明)；
③若OA1⋅OA2=24，OA⋅OB=16,求OG1⋅OG3.
19．(本小题满分17分)
对于常数集合M＝{θ1，θ2，…，θn}和变量θ，定义
μ＝cs2(θ-θ1)+cs2(θ-θ2)+⋅⋅⋅+cs2(θ-θn)n为θ相对集合M的“n元余弦方差”。
(1)若集合M＝{π3,π4}，θ＝0，求θ相对集合M的二元余弦方差。
(2)当集合M＝{－π3，0，π3}，θ∈R时，求θ相对集合M的三元的余弦方差。
(3)在直角坐标系中，已知A(－2，3)，B(2，6)，M＝{－π6}，μ为θ相对集合M的一元余弦方差，函数h(θ)＝4μ，且φ(x)＝h(x4-π6)－2，请问在y＝φ(x)的图像上，是否存在一点P，使得AP⊥BP，若存在，求出点P的指标；若不存在，说明理由。