2024-2025学年江苏省江阴市高一下册第一次月考数学阶段检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省江阴市高一下册第一次月考数学阶段检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面上三点，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【正确答案】C
【分析】应用向量的坐标表示及数量积的坐标运算求.
【详解】由题设，则.
故选：C
2. 已知，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据复数除法运算化简，由共轭复数定义得到，由虚部定义得到结果.
【详解】，，
的虚部为.
故选：D.
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则与不是共线向量
【正确答案】C
【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误.
【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.
对于C，若，则必定共线，故，故C成立.
对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与可以为共线向量，故D错误.
故选：
4. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等边三角形
【正确答案】C
【分析】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案.
【详解】由已知及正弦边角关系有，则，
三角形中，则或，
所以三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A. 30°B. 60°
C. 30°或150°D. 60°或120°
【正确答案】A
【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.
【详解】由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
6. 中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.
【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C
7. 已知半径为2的⊙O内有一条长度等于半径的弦AB，若⊙O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由向量数量积的运算律有，应用坐标法求向量数量积，结合即可得.
【详解】由，
如下图示，建立平面直角坐标系，为边长为2的等边三角形，关于轴对称，
则，设，且，
则，
所以，而，故，
所以的取值范围为.
故选：C
8. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由圆的性质及正弦边角关系得，从而设，结合题设得到且，最后应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最大值.
【详解】由题意，则，
所以，即，
设，又，由题意，
所以，故，
又，故，则，
所以，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分.
9. 已知向量，，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 与的夹角余弦值为
D. 向量在向量上的投影向量为
【正确答案】BCD
【分析】应用向量数量积的坐标表示得、判断A、B；应用向量夹角的坐标运算求夹角余弦值判断C；根据投影向量的定义及坐标运算求投影向量判断D.
【详解】A：由，显然，即，A错；
B：由，则，对；
C：由，则，对；
D：向量在向量上的投影向量为，对.
故选：BCD
10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（i为虚数单位），则
B. 若复数z满足，则
C. 已知其中是虚数单位，则实数
D. 若关于的方程有实数解，则或
【正确答案】ACD
【分析】应用复数除法化简复数，再应用复数的乘方运算判断A；特殊值判断B；根据复数的性质有判断C；若实数解为，结合已知有求参数判断D.
【详解】A：，则，对；
B：当时，，而，错；
C：，则，对；
D：若实数解为，则，
故，则，可得或，对.
故选：ACD
11. 在中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定是钝角三角形
B. 若，则一定是直角三角形
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，，则一定是等边三角形
【正确答案】BD
【分析】A B均利用等关系以及正弦定理化简即可；C先用降幂公式，再用化简；D正弦定理化简，再解方程组.
【详解】A. 在中，
，
因，则得，故A错误；
B 由正弦定理得，，
则，即，
因，则得，故 B正确；
C. 因，由正弦定理得，，即
，则，则，因，则得，故C错误；
D ，由正弦定理得，因，则，即，得，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若A，B，C三点共线，则实数______________.
【正确答案】2
分析】
利用平面向量的共线定理求解即可.
【详解】由得,因为A，B，C三点共线,故.
故2
本题主要考查了共线向量的性质运用,属于基础题型.
13. 已知复数满足方程，则的最小值为____________．
【正确答案】
【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为的最小值.
【详解】复数满足方程，
设（），
则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；
，意义为圆上的点到的距离，
由点与圆的几何性质可知，的最小值为，
故答案为.
本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.
14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______.
【正确答案】
【分析】根据已知求，进而有且费马点在内部，，再应用三角形面积公式列方程得，再由向量数量积的定义求目标式的值.
【详解】由，显然最大角为，且，
所以为小于的钝角，且，
所以费马点在内部，且，
所以，
则，
所以，
由.
故
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若向量，且，求的坐标;
（2）若向量，求实数的值.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）利用向量平行和模长坐标表示，列方程求解即可；
（2）根据向量数量积的概念和运算律求解即可.
【小问1详解】
由，，设，，
又因为，所以，解得，
所以或.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，，所以，
解得 .
16. 已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
（1）求复数z和|z|；
（2）若在第四象限，求m的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可.
【小问1详解】
设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
∴，则；
【小问2详解】
，
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
17. 在中，.
（1）若，的面积为，求；
（2）若，
①求的值：
②求面积的最大值；
③求周长的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）①；②；③.
【分析】（1）应用余弦边角关系可得，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得，结合已知即可求边长；
（2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求范围，即可得面积最值和周长范围.
【小问1详解】
由题设及余弦边角关系有，
所以，则，且，
在三角形中有，又，可得，
结合，则；
【小问2详解】
①由（1）有，则，所以；
②由，当且仅当时取等号，
所以，即面积最大值为；
③由，则，
当且仅当时取等号，所以周长.
18. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）若，求x－y的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；
（2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化为二次函数，即可求出结果；
（3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果．
【小问1详解】
解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
【小问2详解】
解：设，（）
因为在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范围为
【小问3详解】
解：∵三点共线，
∴存在实数，使得，
∵为的中点，
∴，
又三点共线，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
.
19. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.

（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
【正确答案】(1)；(2).
【详解】分析：（1）由题意可得，，则；
（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.
详解：（1）由图得： ∴，
又 ∴ ∴，
∴；
（2）由图得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
记
，
又 ，∴ ，
∴时，取最大，最短，则此时.
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.