2022-2023学年江苏省无锡市江阴高级中学高一上学期期末线上检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省无锡市江阴高级中学高一上学期期末线上检测数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．

【详解】，

故选：C．

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值.

2．已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数定义可求得，再利用诱导公式即可求得结果.

【详解】由已知可得，

由诱导公式可知，；

故选：C.

3．若，则使函数有意义的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在解不等式即可得解.

【详解】要使函数有意义，则，，如下图所示：

，.

故选：C.

【点睛】本题考查利用正弦函数和余弦函数的图象解不等式，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

4．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.

【详解】函数，

因为，

所以当时，函数取得最小值，

当时，函数取得最大值，

故函数的值域为，

故选：A．

5．已知，那么 （       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的诱导公式，求得，化简原式，结合余弦的倍角公式，即可求解.

【详解】因为，可得，

又由

.

故选：A.

6．把函数的图象向右平移个单位，所得的图象正好关于轴对称，则的最小正值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的图象变换得到，再结合三角函数的图象与性质，即可求解.

【详解】把函数的图象向右平移个单位，

所得的图象对应的函数解析式为，

再根据所得函数的图象正好关于轴对称，可得，

即，所以的最小正值为.

故选：D．

7．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.

【详解】，因为，所以，因为，所以.

正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，

所以，所以的取值范围是.

故选：D

8．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.

【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，.

将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

要使该图象关于原点对称，则，，所以，，

又，所以当时，取得最大值，最大值为．

故选：A

【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.

二、多选题

9．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

11．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的周期为 B．的一条对称轴为

C．是奇函数 D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.

A. 的最小正周期为，所以该选项正确；

B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；

C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；

D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.

故选：AD

12．设函数，则（    ）

A．是偶函数 B．的最小正周期为

C．的值域为 D．在单调递增

【答案】ACD

【分析】对于A选项，利用奇偶性的定义进行判断即可；

对于B选项，利用周期性的定义进行判断即可；

对于C选项，首先证明函数的周期为，然后分与两种情况分别讨论函数的值域，进而进行判断选项的正误即可；

对于D选项，当可得，进而判断函数的单调区间即可.

【详解】对于A选项，已知且定义域为，

由于，

得是偶函数，故A选项正确；

对于B选项，，

得的最小正周期不是，故B选项错误；

对于C选项，由于，

得的周期为，

当时，，

由于，得，故

当时，，

由于，得，故.

综上所述可得的值域为，故C选项正确；

对于D选项，当时，，

由于，得，根据余弦函数性质可知在是单调递增.

故D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知，则______．

【答案】或##或

【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值.

【详解】因为，所以，所以或，

当时，，；

当时，，.

故答案为：或.

14．已知都是锐角，，则___________.

【答案】##

【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.

【详解】、为锐角，

，

，

由于为锐角，

故答案为：

15．已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.

【答案】4

【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.

【详解】由函数在区间上单调递增，

可得 ，求得，故的最大值为，

故答案为：4

16．已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据题意求得，由时，得到，

结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，

解得，

因为，所以，所以，

当时，可得，

因为在内有5个零点，结合正弦函数的性质可得，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

已知角a是第一象限角，且___________.

(1)求的值；

(2)求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①：因为，求得，结合角是第一象限角，得到，进而求得的值.

选②：化简得到，结合角是第一象限角，进而得到的值.

（2）化简得到，结合，代入即可求解.

【详解】（1）解：选①：因为，所以，所以，

因为角是第一象限角，所以，则.

选②：因为，所以，

解得或，

因为角是第一象限角，所以.

（2）解：由

因为，所以，

即.

18．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)若在区间上的最小值为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式得，进而求最小正周期即可；

（2）由（1）将问题转化为在上的最小值为，进而得，解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：

所以的最小正周期.

（2）解：由（1）知，

因为，所以.

要使得在上的最小值为，即在上的最小值为，

所以，即.

所以m的最小值为

19．已知，函数.

（1）若，求的值；

（2）若，求的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由得，解出即可

（2）用三角函数的和差公式和二倍角公式将化为，然后求出即可

【详解】（1）

又，

.

（2），

，

，

的单调递增区间为

【点睛】解决三角函数性质的有关问题时应先将函数化为基本型.

20．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

（1）写出函数的解析式；

（2）若，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据周期变换和平移变换的结论可得答案；

（2）设，，则，此时，，分类讨论可得二次函数的最小值.

【详解】（1）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得，

再将所得的图象向左平移个单位长度后得.

（2）设，，则，

此时，，

则的图象是开口向上的抛物线一段，

对称轴为，当即时，在上单调递增，；

当，即时，在上先减后增，；

当，即时，在上单调递减，，

∴.

【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了三角函数的图象变换，考查了分类讨论求二次函数的最小值，属于中档题.

21．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；

（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；

（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.

【答案】（1）；（2），其中；（3）.

【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.

（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.

【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，

故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，

故.

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，

由题意知，，所以，

又由，所以，

当时，可得，所以，

故关于时间的函数解析式为，其中.

（3）令，即，

令，解得，

因为甲乙两人相差，

又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.

【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略：

1、已知函数模型求解数学问题；

2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；

3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.

22．已知函数，且函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；

(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)实数的取值范围为

(3)

【分析】（1）结合诱导公式，根据求函数的解析式；

（2），求出内层函数的范围，求解的取值范围，利用换元将等式式的转化为含参方程，孤立参数，集合基本不等式，求实数的最大值和最小值即可得实数的取值范围；

（3）当时，化简不等式，利用三角函数的范围求解的范围即可．

【详解】（1）解：函数，所以；

（2）解：，

，．

令，则．

那么：，可得：，即存在，使得成立．

即，当时取等号，的最小值为．

当时，，当时，可得，即的最大值为3．

实数的取值范围为；

（3）解：不等式恒成立，即恒成立

当时，

，．

若时，显然恒成立．

若时，当时，分别取得最小值，所以也取得最小值．

即成立．

可得：，解得：．

若时，当时，，取得最小值，取得最大值，则取得最小值．

即成立．

得：，．

综上可得：的范围是.