江苏省怀仁中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省怀仁中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了 在中，已知，，，则， 若复数满足，则的虚部为， 在中，，则的外接圆的面积为， 已知，则向量与的夹角为， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理，即可求解.
【详解】在中，已知，，，由余弦定理，得.
故选：A．
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法、除法运算以及复数的概念求解.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为4，
故选:C.
3. 在中，，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可.
【详解】由正弦定理得的外接圆的半径，
所以的外接圆的面积．
故选:．
4. 已知，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；
【详解】因为，设向量与的夹角为
所以，
又因为，所以
故选：B.
5. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底满足条件逐一分析即可.
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选：.
6. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，
对于B，因为，故B错误，
对于C，因为E是的中点，所以，故C错误
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
7. 在中，内角，，所对边分别为，，，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则有两解D. 若，则有两解
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理建立方程，利用每个选项中的条件，可得答案.
【详解】由正弦定理，得，
当时，，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，故B有两解，故C正确；
当时，，得，仅有一解，故D错误.
故选：D.
8. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】因为，，
所以在上的投影向量为
故选：C.
二､多项选择题（每小题6分，共18分）
9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC.
【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
设，
对于B，由，得，则，
因此，，B正确；
对于C，，
，C正确；
对于D，由，得都是实数，因此，D正确.
故选：BCD
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，，则的面积为
B. 已知向量，则
C. 在中，若，则是等腰三角形
D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
记的中点为D，由于，
因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确；
与的夹角为钝角，
且，故D错误.
故选：AC.
11. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则符合条件的有两个
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为直角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或.
【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确；
对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确；
对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误；
对于D，若，则有.
故，从而.
这表明或，即或，故D正确.
故选：ABD
三､填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知向量， ，且 ，则实数___．
【答案】或
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，进而即可解得的值．
【详解】由向量，，且 ，
则，整理得，解得或．
故答案为：或．
13. 中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用等面积列出方程求解即得.
【详解】依题意，设，,
由,可得，，
解得:.
故答案为：.
14. 的面积为，角的对边分别为，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理代入化简计算即可得.
【详解】易知，
即，
则.
故答案为：.
四､解答题（共77分）
15. 已知内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.
【小问1详解】
原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的内角；
【小问2详解】
，
，
，
.
16. 已知复数，（为虚数单位）满足__________.
在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.
（1）若，求复数以及；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解.
（2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得.
【小问1详解】
选条件①，，由，得，
因此，即，又，解得，
所以，.
选条件②，，由
得，因此，解得，
所以，.
【小问2详解】
是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根，
于是，则实数，
所以实数的值为.
17. 如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.
（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.
（2）若，当时，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）用为基底表示向量，再根据向量相等即可得答案；
（2）用为基底表示向量，再根据得点在边上的位置，进而根据向量的夹角公式计算即可.
【详解】解：（1）因为点是上靠近的三等分点，点是边上中点，
所以，
所以，，所以
（2）因为在正方形中，，设，
所以，，，
所以，解得.
所以，
所以
，
所以.
18. 在中，角的对边分别为，且向量，向量．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解.
【小问1详解】
∵，
∴，
化简得，
∴
∵，
∴．
【小问2详解】
由余弦定理得．
∵∴，
当且仅当时等号成立．
∴，
∴，
当且仅当时等号成立．
∴,
又∵，∴．
∴周长的取值范围为．
19. 如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，
（1）的内角的对边分别为的面积，，，求和的值;
（2）若，且，，求对角线的最大值和此时的值.
【答案】（1），
（2），最大值
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出的值，结合的取值范围可求得的值，
过点C作CH垂直BD于点H，根据，得，从而得到的值；
（2）在中，得求，利用余弦定理结合三角函数看可求出的长的最大值及其对应的值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得，
，
两式作商有又，所以
如图，过点C作CH垂直BD于点H，
则，则，
，故
【小问2详解】
在中，，，
，
所以，
又，所以
中，
在中，由余弦定理得，
即，
即，，
当，即时，AC取得最大值