江苏省扬州中学2024-2025学年高一下学期2月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州中学2024-2025学年高一下学期2月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了已知是幂函数，则，命题“”的否定为，下列命题中为真命题的是，已知且，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知是幂函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
3．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．和B．C．D．
5．若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ）
A．B．2，3C．D．
7．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ）
A．25B．30C．35D．40
8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题，有，则的否定：，有
B．若，则
C．当时，则，使得成立
D．函数的定义域为，则函数的定义域为
10．已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为9B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为6
11．若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为 cm.
13．设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 .
14．设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知集合，，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围.
16．计算：（1）；
（2）已知，试用表示.
17．已知函数的部分图象如图所示．该图象与轴交于点，与轴交于两点， 为图象的最高点，且的面积为．
(1)求的解析式及其单调递增区间．
(2)若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值．
18．已知函数fx,gx分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
(1)求函数fx,gx的解析式；
(2)设，对，使得，求实数的取值范围.
19．若函数和的零点相同，则称和是“函数对”.
(1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由；
(2)设，若与为“函数对”，求的取值范围；
(3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值.
江苏省扬州中学 2024-2025 学年第二学期 2 月自主学习效果评估
高一数学
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知是幂函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
2．“”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
3．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可.
【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定为：“”.
故选：D.
4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．和B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，，由三角函数的定义可得出关于的方程，即可解出的值.
【详解】由三角函数的定义可得，则，
整理可得，因为，解得
故选：B.
5．若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
D
6．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ）
A．B．2，3C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解.
【详解】由函数，
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，
所以函数在至多有一个零点，
又由依次确定了零点所在区间为，
可得，即，解得.
故选：A.
7．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，即，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：C．
8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造定义在上的函数，由函数的奇偶性和单调性将题设不等式转换为，再由函数的定义域、奇偶性和单调性列出不等式组计算即可得解.
【详解】令，
则函数定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以不等式
，
因为函数和在上均为增函数，
所以函数为定义在上的增函数，
所以，
所以不等式的解集是.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题，有，则的否定：，有
B．若，则
C．当时，则，使得成立
D．函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AC
10．已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为9B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为6
ACD
11．若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案．
【详解】当时，时，，不等式不恒成立，
故A错误；
当时，不等式即为，当，，时，
原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确；
当时，不等式即为，当，，时，
原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确；
当时，不等式即为，当时，，，
原不等式不恒成立，故D错误．
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为 2 cm .
2
13．设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可.
【详解】由，所以，
依题意可得，解得，所以的最小值为.
故答案为：
14．设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）时，
∴
（2）
∵“”是“”的必要条件∴∴∴
16．计算：（1）.
（2）已知，试用表示；
【答案】（1）3（2） ；
【详解】（1）原式.
（2）由，得由得，
.
17．已知函数的部分图象如图所示．该图象与轴交于点，与轴交于两点， 为图象的最高点，且的面积为．
(1)求的解析式及其单调递增区间．
(2)若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值．
（1）设的最小正周期为．由题意知，的高为2．又∵的面积为，∴，可得．
∵，∴，．
∵图像与y轴交于点，∴，即．
∵，∴，
故的解析式为．
令，，得，，
故的单调递增区间为，．．
（2）根据题意，将的图像向右平移个单位长度，
可得的图像，
再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
可得的图像．由（），得，
∴．又∵，，
∴，，
18．已知函数fx,gx分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
(1)求函数fx,gx的解析式；
(2)设，对，使得，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意 ①，
所以 ，
函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，
所以所以 ②，
由①②解得，；
（2），由，则 ，
所以的值域为-1,1，
，
，
设，根据知为增函数，若，则，
则，
若，则在上单调递增，
则，即，
因为对，使得，
则，所以，解得，所以；
若， 则，即，
则，解得，所以，
综上所述，若对，使得，则.
19．若函数和的零点相同，则称和是“函数对”.
(1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由；
(2)设，若与为“函数对”，求的取值范围；
(3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数，
因为，所以函数在上有唯一零点，
当时，函数是单调递减函数，
，即，
所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”；
（2）由得，，
，所以的零点是的零点，
由得，，
当时，，所以为的零点
而当时，必须使得无解，
否则的一些零点不能使得，
所以对成立，
所以，得，此时的零点也全是的零点，综上.
（3）由，
因为函数与为“函数对”，
所以，取对得，
由，
因为函数与为“函数对”，
所以有，
因为在上单调递增，所以，即.