山西省怀仁市第一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份山西省怀仁市第一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在数列中，，则等于（ ）
A．12B．16C．32D．64
2．若，，，则的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
3．过点且与直线l：垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则原点O到平面ABC的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆C：上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．如图，某市规划在两条道路边沿PM，PN之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中为椭圆的短轴，OA为椭圆的长半轴．已知，，．为使主题公园的面积尽可能大，则的取值应为（，，精确到0.1km）（ ）
A．2.9kmB．2.8kmC．2.7kmD．2.6kmp
8．在等比数列中，，且，，，数列的前n项和为，则当最大时，n等于（ ）
A．8B．8或9C．16或17D．17
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．直线与C只有一个公共点
10．已知数列是等差数列，是等比数列，，，，．记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
11．在四面体中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则
C．若，，则
D．若Q为的重心，则
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，依此类推．设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，依次成等差数列，则________．
14．如图，已知平面ABC，，，则向量在上的投影向量等于________．
15．设数列的前n项和为，且，为等比数列，且，，则________，________．
16．如图，已知P是椭圆：和双曲线：的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．
22
18．（12分）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，双曲线C的一个焦点到该渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）经过点的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求直线l的方程．
19．（12分）已知各项均为正数的数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
20．（12分）已知椭圆C：的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN中点为P，探究（O为坐标原点）的值是否为定值？请说明理由．
21．（12分）某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园．2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售．采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道．根据往年数据统计，游客从开同第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍．
（1）当n取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？
（2）采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？
22．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面ABCD，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．
（1）若E为棱SA的中点，F是棱SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；
（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
2023~2024学年怀仁一中高二年级下学期第一次月考
数学试题答案
1．D [因为，，故是首项为2，公比为2的等比数列，故．]
2．C [因为，
所以．]
3．B[由题意可设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即．]
4．A [∵，，，
∴，，设平面ABC的法向量为，
∴，∴令，则，
又，∴原点O到平面ABC的距离．]
5．C [因为，所以，，
对于A，，故A错误；
对于B，因为，，则，故B错误；
对于C，因为，，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，故D错误．]
6．C [如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，
则，
当CP垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，
因为准线方程为，，
圆C的半径为2，所以的最小值为．]
7．B [建立如图所示的平面直角坐标系，
设，由已知设椭圆方程为，
又，，所以直线PN的方程为，
由题意可知，当椭圆与直线相切时，最大，即主题公园的面积最大，
联立得，
，解得，即．]
8．B [设等比数列的公比为q，由，得，即，由于，所以，故，所以，
故为等差数列，且首项为4，故，所以，
所以，
该式是关于n的二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线，故当或9时，取到最大值．]
9．ACD [双曲线的渐近线方程为，
圆心到渐近线的距离，
则点到渐近线的距离，于是，，
由，双曲线C化为，又点在双曲线C上，
所以，所以，，所以双曲线C的方程为，故A正确；
由，所以C的渐近线方程为，故B错误；
双曲线C的离心率，故C正确；
联立消去x得，因为，故D正确．]
10．ABD [设数列的公差为d，数列的公比为，
依题意，得解得则，，A，B都正确；
于是，，数列的前2n项和
，
，C错误，D正确．]
11．CD[如图，对于A项，由得，，
得，得，则，故A项错误；
对于B项，，得，
得
，
得，故B项错误；
对于C项，因为，，所以，，
将两式相加，得，即，得，故C项正确；
对于D项，
，故D项正确．]
12．BD[根据题意可知从第二层起，每一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，，…，，且，
所以上述各式相加得，故
经检验，满足，所以，则，故C错误；
对于D，由选项C可知，
则，故D正确．]
13．25
解析 设等比数列的公比为q，则，因为，，依次成等差数列，所以，
所以，所以，
解得或（舍去），所以．
14．
解析∵平面ABC，则，
，
∴向量在上的投影向量为．
15．
解析 当时，，当时，满足上式，
所以数列的通项公式为；
依题意，，，则的公比，于是，
所以数列的通项公式为．
16．
解析 设，，因为点P在椭圆上，所以，①
又因为点P在双曲线上，所以，②
由①＋②得，①－②得，
在中，由余弦定理得，
即，
即，即，即，所以，，
令，则，所以．
17．解（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由题意可知，圆心C即为直线与直线的交点，
联立解得故圆C的半径，
因此圆C的方程为．
（2）由题意可知，圆心C到直线l的距离．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为即，
由题意得，解得，
此时直线l的方程为，即．
综上，直线l的方程为或．
18．解（1）因为双曲线C：的渐近线为，所以，又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线C的方程为．
（2）当直线l斜率不存在时，直线l：与双曲线C的交点坐标为，，不符合题意，故直线l的斜率存在．
设，，直线l的斜率为k，由题知，，
联立
两式相减得，即，
即，所以，解得，
所以直线l的方程为，即，
经检验直线l：与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以直线l的方程为．
19．解（1）因为，所以，
又，当时，
，
当时满足关系式，所以，，
因为，所以．
（2）由（1）知．
所以，，
两式作差得，
所以．
20．解（1）∵抛物线的焦点为，
∴椭圆C的半焦距，
又椭圆C的离心率，
∴，则．
∴椭圆C的方程为．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为，联立
得．
由，可得．
设，，则，
，
∴，∴，
∴，故为定值．
21．解（1）由已知，得当时，，解得；
当时，，解得，
所以当，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入．
（2）当时，为等差数列，
记的前16项和为，，，；
当时，记，
．
所以，即采摘零售的总采摘量是1327公斤．
批发销售的销售总量为（公斤）24天一共销售（公斤）故农户不能24天内完成销售计划．
22．解（1）取BC的中点Q，连接PQ，则，，
因为是等边三角形，P为棱AD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，
则，所以，则，
如图，以P为原点，PA，PQ，PS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面PEF的法向量为，
直线BC与平面PEF所成的角为，则
令，则，所以，
所以直线BC与平面PEF所成的角为．
（2）假设存在，设，，，，，，
由（1）得，，因为，SP，平面SAD，所以平面SAD，
则即为平面SAD的一个法向量，
，，，，
则，设为平面PEB的法向量，
则
令，则，
则，
化简得，解得或（舍去），
所以存在点E在靠近点S的线段SA的三等分点处，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为．