2022-2023学年山西省朔州市怀仁市第一中学校等校高二下学期第三次月考数学试题（含解析）

怀仁一中2022~2023学年下学期高二第三次月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

4. 本卷主要考查内容：选择性必修第二册，选择性必修第三册.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在落实“绿水青山就是金山银山”的工作中，吉林省走在了全国前列，工作落实到位，产生的效果也非常好，受到了群众的一致认可，同时也吸引了很多的旅游爱好者前来.现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（）

A.24种 B.6种 C.64种 D.81种

2.设随机变量，则的值为（）

A. 1.2 B. 1.8 C.2.4 D.3.6

3.若前n项和为的等差数列满足，则（）

A.46 B.48 C.50 D.52

4.在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（）

A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6

5.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（）

A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.0

6.在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有种植方式（）

A.240种 B.300种 C.360种 D.420种

7.通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99.9%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数至少为（）

A.225人 B.227人 C.228人 D.230人

附：，其中.

8.已知，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若，则m的值可以是（）

A.3 B.4 C.5 D.6

10.甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（）

A.2个球都是黑球的概率为 B.2个球都是白球的概率为

C. 1个黑球1个白球的概率为 D.2个球中最多有1个黑球的概率为

11.一袋中有5个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（）

A.取出的最小号码X服从超几何分布

B.取出的白球个数Y服从超几何分布

C.取出2个黑球的概率为

D.若取出一个黑球记1分，取出一个白球记－1分，则总得分最小的概率为

12.若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线l：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（）

A.曲线的图象在x轴的上方 B.当时，

C.若，则  D.当时，和必存在斜率为的公切线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从两点分布，，则______，______.（本题第一空2分，第二空3分）

14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为0.5，乙闹钟准时响的概率为0.6，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是______.

15.已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______.

16.一条街道有12盏路灯，夜里10点之后行人较少，为了能够考虑节能减排，决定夜里10点之后关闭其中的4盏，要求两端的路灯不能关闭，相邻的两盏也不能一起关闭.共有______种关闭路灯的方法.（用数字作答）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知二项式的展开式中共有10项.

（1）求展开式的第5项的二项式系数；

（2）求展开式中的常数项.

18.（本小题满分12分）

在等比数列和等差数列中，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，，记数列的前n项积为，证明：.

19.（本小题满分12分）

某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：

已知x与y线性相关.

（1）求y关于x的经验回归方程（，）；

（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

20.（本小题满分12分）

某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：

（1）求a的值；

（2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品.现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望.

21.（本小题满分12分）

每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.

（1）求a的值；

（2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；

（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.

附：，其中.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围.

怀仁一中2022~2023学年下学期高二第三次月考·数学

参考答案

1. D  利用乘法原理，第一个家庭有三种选择方式、第二个家庭有三种选择方式、第三个家庭有三种选择方式、第四个家庭有三种选择方式，共计有种.故选D.

2. C  .故答案为C.

3. C  根据等差中项可知，由，有，有，有，可得，可得.故选C.

4. B  由正态分布的图象和性质得.故答案为B.

5. A  由题意可知，，，

将代入，即，解得，

所以，

当时，，

则.故选A.

6. A

根据表格分析：总计有种.故选A.

7. C  设男女大学生各有m人，根据题意画出列联表，如下图：

所以，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数至少为228.故选C.

8. A  ，设（其中），有，可知函数单调递增，可得，有，有，即.令（其中），有（当且仅当时等号成立），可知函数单调递增，有，有，有，即.故有.故选A.

9. AB  因为，所以或，解得或3.故选AB.

10. ABD  对于A选项，2个球都是黑球的概率为，A对；

对于B选项，2个球都是白球的概率为，B对；

对于C选项，1个黑球1个白球的概率为，C错；

对于D选项，2个球中最多只有1个黑球的概率为，D对.故选ABD.

11. BC  对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，

也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，

由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；

对于B，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，

由此可知取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；

对于C，取出2个黑球的概率为，故C正确；

对于D，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记－1分，

则取出三个白球的总得分最小，

∴总得分最大的概率为，故D不正确.故选BC.

12. ABD  选项A，由，可知曲线的图象在x轴的上方，故A正确；

选项B，当时，：，：，对于：，有，

因为直线l：为曲线的切线，所以，即，此时，

所以切点坐标为，将其代入切线方程中，有，整理得，可得，即B正确；

选项C，当时，公切线l为，设，，

则，，

所以，，解得，，故C错误；

选项D，当时，，，则，，

若和存在斜率为的公切线，则存在m和n使得，，

由选项B可知，，即，

所以，，即，，符合题意，

故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确.故选ABD.

13.0.660.34由两点分布可知，.

14.0.8.

15.－8设的公比为q，有，当且仅当时取等号.故的最小值为－8.

16.35将问题分析成4盏灭了的路灯，插空到8盏亮的路灯里面，但不能在两端，则共计有种方法.

17.解：（1）因为二项式的展开式中共有10项，所以，……2分

所以展开式的第5项的二项式系数为；……5分

（2）的展开式的通项公式为，……8分

时，，

，则展开式的常数项为.……10分

18.解：（1）设数列的公比为q，数列的公差为d，由，有，，……1分

又由，有，有，……2分

又由，有，有，有，……3分

可得，得或（舍去），故，，……4分

故，；……5分

（2）证明：由（1）知：，，……6分

则，……7分

当时，；当时，，即，……9分

又，，，，，……10分

故，，当时，，.故.……12分

19.解：（1）由，……2分

，……4分

有，……6分

，……7分

故y关于x的经验回归方程为；……8分

（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，

所以预测该月的用户数量为5.10万人.……12分

20.解：（1）由题意有，……2分

解得，

故a的值为30；……3分

（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，……4分

故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配，……5分

则，……6分

，……7分

，……8分

，……9分

，……10分

.

则的分布列为：

……11分

的数学期望为.……12分

21.解：（1）由频率分布直方图可知，，可得；……3分

（2）由频率分布直方图可得：

，

所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间；……7分

（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，

则“睡眠不足”的人数为50；……8分

不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，

则“睡眠不足”的人数为90，……9分

列联表如下：

因为，

所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.……12分

22.解：（1）当时，，，……1分

令，可得，……2分

故当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，……3分

可得函数的极小值为，没有极大值；……4分

（2）由恒成立，取，有，有，

又由函数单调递增，且，可得，……6分

下面证明当时，恒成立，

由可化为，

又由，，有，

故只需证明：不等式恒成立，……8分

令，有，上述不等式等价于，……9分

令，有，

又由（当且仅当时取等号），

有，令，可得，……11分

可得函数的单调递增区间为，递减区间为，

有，可得不等式成立，

若恒成立，则a的取值范围为.……12分