山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高一下学期第二次月考（3月） 数学试题（含解析）

这是一份山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高一下学期第二次月考（3月） 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 若，则的大小关系是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章6.1.1~
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的运算可求得结果.
【详解】由题意知，又，
所以．
故选：D．
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数和充分必要条件的定义即可判断.
【详解】由于当时，有，但，故条件不是必要；
当时，有，故条件时充分的.
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3. 在矩形中，为线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】选做基底，根据向量的加法和减法的平行四边形法则和三角形法则运算，即可求得答案.
【详解】在矩形中，为的中点，
故选：D.
4. 已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（ ）
A. 第二或第四象限角B. 第一或第三象限角
C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认．
【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得，
∴，
取可确定终边在第一或第三象限角.
故选：B．
5. 若正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B
6. 把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换法则可求得结果.
【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍后，得到，
再将函数图象向左平移个单位长度后，得到．
故选：A．
7. 已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调性定义并结合二次函数和对数型函数的性质即可得到不等式组，解出即可.
【详解】设， ，
若对任意的，都有，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，在上递增，且，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：C.
8. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角正弦公式对化简；由正切差角公式对化简；由二倍角公式对化简；最后由余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，
由所以，
即；
又，
故；
因为，所以，
又，
又，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D.
【详解】因为，所以，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
，又，所以，即，故D正确.
故选:AD.
10. 已知幂函数的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 函数的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用幂函数的定义以及函数奇偶性的定义可求出的值，可判断A选项；利用求出、的值，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为为幂函数，有，解得或．
当时，，函数为奇函数，不符合题意；
当时，，函数为偶函数，函数图象关于轴对称．
由上知，，故A正确；
对于B选项，由，故B错误；
对于C选项，因为，
由，有，故C正确；
对于D选项，由（当且仅当或时取等号），
可得函数的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若的图象关于点中心对称，则
C. 若在上单调递增，则取值范围是
D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】将点的坐标代入解析式，求得的值，根据周期公式可判断选项A，根据已知点可求得的值，可判断B，根据的取值范围得到的取值范围，再依据单调递增区间可判断选项C，根据零点个数以及整体代入法可求得选项D.
【详解】因为函数的图象经过点，
所以，而，所以，即，
选项A，的最小正周期是，则，A正确；
选项B，的图象关于点中心对称，
则（因为），B错误；
选项C，时，，
则，，解得，C正确；
选项D，时，，
方程在上恰有两个不同的实数解，
即方程在上恰有两个不同的实数解，
则，解得，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】令即可求得.
【详解】令，解得，此时，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
故答案为：
13. 中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中的弧长为的弧长为，则该扇环的面积为__________.
【答案】384
【解析】
【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】设该扇形内弧半径为，由弧长公式和已知可得：，解得，
则外弧半径为，所以该扇环的面积为.
故答案为：384.
14. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用差角的余弦公式以及辅助角公式化简计算即可.
【详解】由题意知
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. （1）计算；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的的运算性质及换底公式计算可得.
【详解】（1）
；
（2）
．
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程恰有两个实数根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义求分段函数的解析式即可.
（2）由函数的图象可得且，进而可得.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，；
当时，，所以，
综上，；
小问2详解】
函数的图象如图所示：
所以且，解得或，
故的取值范围是．
17. （1）若，，求的值；
（2）已知，，， ，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】根据两角和与差余弦公式及同角三角函数关系式可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
又，，且，
所以，因为，
所以，
又，而在上单调递减，则，
所以，
由
，
又，所以.
18. 已知函数是奇函数，且．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数的特性可求得结果，注意最后验证是否满足题意；
（2）根据定义法可判断函数的单调性；
（3）根据函数的单调性以及奇偶性，可得到不等式恒成立问题，再根据分离参数法可求得结果.
【小问1详解】
因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
所以，解得或．
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，满足题意，
综上，；
【小问2详解】
在上单调递增，
不妨设，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上单调递增，
又是奇函数且定义域为，所以在上单调递增；
【小问3详解】
若对任意实数，不等式恒成立，
即，
又是奇函数，所以，
又在上单调递增．所以对任意实数恒成立，
又，
所以当时，取得最大值，所以，
解得，即的取值范围是.
19. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值；
（3）记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得到周期，即可求得的值，再根据函数值可求得的值，最后根据辅助角公式可求得结果；
（2）根据三角形变换得到变换后的解析式，再根据最值得到的值，即可求得结果；
（3）根据的取值范围，分情况得到的取值范围，整体法求得最值，得到的表达式，即可求得结果.
【小问1详解】
由题意可知，函数最小正周期为，所以，
所以，所以，
故，
解得，
所以；
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
再向上平移1个单位长度，得到的图象，
所以，
又，所以当时，，
又，所以，
要使最大，则最大，最小．
所以当最大，最小时，
即取得最大值，
最大值为；
【小问3详解】
因为，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为；
当时，在上单调递减，
所以，，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为，
综上，函数的值域为．
【点睛】本题考查了三角函数的图形变化以及最值，关键点有；
（1）根据对称中心以及对称轴得到周期，根据周期公式得到参数；
（2）辅助角公式是将含有多个三角函数名称的解析式转化为只含有一个三角函数名称的解析式；
（3）对于三角函数的题，最常用的方法就是整体代入讨论法.