福建省莆田市莆田二中2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试卷

这是一份福建省莆田市莆田二中2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知函数，则，用0，函数的图象大致为，若，则，若函数，则等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
2．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
3．已知函数，则（ ）
4．用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
5．函数的图象大致为（ ）
6．若，则（ ）
7．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
8．若函数，且，则正实数的取值范围是（ ）
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于函数，为的导数，下列结论正确的是（ ）
10．若函数，则（ ）
11．设，，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．在中任取两个数分别作为的值，则满足的不同取法种数为______．
13．若直线与曲线相切，则的最大值为______
14．设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数，且当时，有极值－5．
(1)求的值；
(2)求在上的值域．
已知函数（为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
已知函数．
(1)试讨论的极值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
已知函数．
(1)若在区间上单调递增，试求的取值范围；
(2)若，求证：当时，；
(3)求证：．
19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数
(1)当时，求；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12. 8
13. e
14. （e,+∞）
四、解答题
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可；
（2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域.
【详解】（1）由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
（2）由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
16．(1)、
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间；
（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域与，且，
令，得或，
所以，函数的单调递减区间为、.
（2）对任意的，.
由于，则，
令，其中，则，
令，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，，则，因此，实数的取值范围是.
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解
【详解】（1）函数的定义域为，
．
当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．
当时，由，解得，故在上单调递增．
由，解得，故在上单调递减．
此时函数在处取得极大值．无极小值．
综上所述，当时，函数不存在极值．
当时，函数在处取得极大值，无极小值．
（2）由（1）知当时，在上为增函数，
故无最大值，此时不符合题意；当时，．
易知在上单调递减，所以．
因为，，使得，
所以，即
解得，所以实数a的取值范围是．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数求出，即可得解；
（2）利用导数说明函数的单调性，即可得证；
（3）由（2）可得，，从而得到，在利用对数的运算性质及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，则，
故当时，即在上单调递减；
当时，即在单调递增；
所以，
故，解得，即的取值范围为．
（2）当时，则．
令，，则，
所以（即）在上单调递增，所以
所以在上单调递增，故．
（3）由（2）知对于，有，
取为有，则，，
取，从而有，
于是
，
．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
19．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）按照题目所给信息，验证是否满足题意即可；
（2）将问题转化为验证方程在范围内是否有解；
（3）由（2）可得的极值差比为，后令，结合，
将问题转化为求函数值域即可.
【详解】（1）当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
其中；
（2）由题的定义域为，，即，
假设是极值可差比函数，且极值差比系数为，
设的极大值点为，极小值点为.
则，得，由（1）分析可得，
又，则.
由于
.
由题则有：，
从而，
结合，得（*）.
令，则，
所以在上单调递增，有，
因此（*）方程在时无解，即不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，又，
则极值差比系数为.
令，，则极值差比系数可化为，
注意到，又，可得，
令，则，
设，
所以在上单调递减，
当时，，从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题首先需读懂题意，随后灵活运用代数式处理技巧，将需研究表达式化简为只含一个未知数；对于某些复杂函数的性质，我们也可通过多次求导来研究，但要注意书写格式.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．6
B．3
C．
D．
A．24个
B．26个
C．30个
D．42个
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．在上单调递减
B．存在极小值
C．存在最大值
D．无最小值
A．的极大值点为2
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
C
B
C
D
C
题号
9
10
11
答案
AD
BCD
ABD
－4
－1
3
4
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值－5
单调递增