福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷

这是一份福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷，共7页。试卷主要包含了已知，若，则实数的值为，下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝ ( )
3．下列求导运算正确的是（ ）
4．已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
5．若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
6．已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（ ）
7．在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
8．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
10.下列正确的命题有（ ）
A.已知函数 f(x)=x2f'13+lnx-9，则 f(1)=0
B. 若a=ln22，b=1c，c=ln33， 则 b>c>a
C.函数 f(x)=13x3-ax2+x(a∈R) 是R上的增函数，则 a∈(-1，1)
D.点P是曲线y=ex上任意一点，则P到y=x的距离为22
11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．A同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第1天复习10首古诗词，从第2天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多2首，每首古诗词只复习一天，则10天后A同学复习的古诗词总数量为
13、函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是
14、已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知函数若函数在处取得极小值
(1)求实数a，b的值；
(2)求的单调区间和极大值；
（15分）已知an的前n项和为Sn，且满足Sn=n2.
求数列an的通项公式；
若bn=2n（an-1），求数列bn的前n项和为Tn。
17.（15分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求b；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在上单调递减，求a的取值范围．
18．（17分）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19．（17分）已知函数．
(1)若，证明：在上存在唯一的零点；
(2)若，证明：当时，．
参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12. 190
13. (-1,0)U(1,+∞)
14. （32e2，1e）
四、解答题
15、【答案】(1)；
(2)答案见详解；
【详解】（1）因为，
所以，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得，
此时，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，取到极小值，符合题意.
所以.
（2），
令，则或，
当时，，所以在上单调递增；
当，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.
当，的单调递增区间为，；单调递减区间为，当时，函数取到极大值，即
【答案】（1）当n>1时，a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn−1=n2−（n−1）2=2n-1
a1=1也满足上式，则an=2n-1
（2）Tn=8+（n-2）∙2n+2
17、【答案】(1)
(2)答案见解析
(3).
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可；
（2）求导分与的大小关系讨论即可；
（3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可.
【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得.
（2）因为，故，
则，
当时，，
故在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，令有，，且，
故在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
当时，，在单调递减；
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
（3），
由题意在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，故，即.
所以a的取值范围为.
18、【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1） 先得出平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先应用面面垂直性质定理建系，再设，计算线面角即可求参.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向，
以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则，
假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为，
设，
因为，则，
又因为，所以，
则，
化简得，解得，
因为，所以，
所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为，
此时.
19、【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，再由零点存在性定理求证即可；
（2）求出函数导数，分析当时，导数大于等于0，利用函数单调递增，求出函数的最小值即可证明.
【详解】（1）当时，，故，
，
当时，，所以函数在上单调递减，
又，，由零点存在性定理知，
在上存在唯一的零点.
（2），
，
当时，，
令，
当时，，，
当时，令，则，
故时，，单调递增；时，，单调递减，
故当时，，，
，
综上可知，时，，故，在时单调递增，
所以，即当时，．
A．2
B．4
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．是极大值点
C．在区间内一定有个极值点
D．的图像在点处的切线斜率等于
A．
B．
C．1
D．
A．1
B．2
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则数列的前5项和最大
B．若等比数列是递减数列，则公比q满足
C．已知等差数列的前n项和为，若，则
D．已知为等差数列，则数列也是等差数列
A．
B．
C．是奇函数
D．当与和共有3个交点时，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
C
B
C
B
A
题号
9
10
11
答案
ACD
AB
AC