福建省莆田市莆田第十二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份福建省莆田市莆田第十二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线一个方向向量，且直线过点和两点，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设是函数的导函数，若函数在开区间内可导，则“在内恒小于零”是“在内为减函数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. －1B. －2C. －3D. 0
5. 函数在区间上的最小值是（ ）
A B. C. D.
6. 在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB距离是
A. B. C. D.
7. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（ ）

A. B. C. 2D.
8. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
10. 在正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A. B. 四点共面
C. 平面D. 平面
11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A. 已知，，则
B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C. 已知，，则
D. 已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________.
13. 已知函数，其导函数为，则的值为______
14. 如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直．
（1）求向量的坐标；
（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
16. 如图，在平行六面体中，，，
（1）求长；
（2）求证：直线平面．
17. 已知函数.
（1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
18. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
19. 如图，矩形中，，，E为的中点，将沿翻折，得到四棱锥.
（1）证明：；
（2）在①直线与平面所成角为，②若交于O，的面积为，③到平面的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：已知______，求锐二面角的余弦值.
2024—2025学年莆田十二中高二年级下学期期中考试卷
数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为直线过点和两点，所以，
又直线的一个方向向量，所以，
所以，所以，
所以，解得，所以.
故选：D
2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.
【详解】A选项：，所以A错；
B选项：，所以B错；
C选项：原式可整理为，所以C正确；
D选项：原式可整理为，，故D错.
故选：C.
3. 设是函数的导函数，若函数在开区间内可导，则“在内恒小于零”是“在内为减函数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数与函数的单调性的关系判断即可.
【详解】当在内恒小于零时，即，
则在内为减函数，即充分性成立；
令，易知在内为减函数，
而在上有，
故在内不恒小于零，即必要性不成立；
所以“在内恒小于零”是“在内为减函数”的充分非必要条.
故选：A.
4. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. －1B. －2C. －3D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得.
【详解】由题意可得，
根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；
所以切点为，代入切线方程可得，解得.
故选：C
5. 函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可.
【详解】由，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以.
故选：D
6. 在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离．
【详解】在三棱锥中，底面ABC，，，，

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则4，，4，，0，，
0，，
4，，0，，
4，，
设平面PAB的法向量y，，
则，
取，得，
点C到平面PAB的距离．
故选B．
【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，，设 ， ，
，即，
，当且仅当时取等号，所以 ，故选A．
【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
8. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】，
若在上不单调，令，
对称轴方程为，则函数与
轴在上有交点．当时，显然不成立；
当时，有解得或．
四个选项中的范围，只有为的真子集，
∴在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
10. 在正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A. B. 四点共面
C. 平面D. 平面
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系向量证明逐项判断即得.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，
对于A，，，即有，因此，A正确；
对于B，，向量不共线，直线不平行，而直线平面，
平面，又平面平面，因此直线是异面直线，B错误；
对于C，，设平面法向量，
则，取，得，显然，
而平面，因此平面，C正确；
对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，D错误.
故选：AC
11. 已知单位向量，，两两夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A 已知，，则
B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C. 已知，，则
D. 已知，，，则三棱锥的表面积
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解.
【详解】对于A，，
因为，且，所以，故A错误；
对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，

由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；
对于C，根据“仿射”坐标定义可得，
，故C正确；
对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案.
【详解】解：连接，如图所示：
因为是的中点，分别是，的中点，
所以
,
又因为，
所以，
所以.
故答案为：
13. 已知函数，其导函数为，则的值为______
【答案】2
【解析】
【分析】利用函数满足，以及导函数的性质，即可求解.
【详解】由可知，，
所以，
是偶函数，所以，
所以.
故答案为：2
14. 如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】首先设，，，再根据条件转化为向量数量积的运算，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，，，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直．
（1）求向量的坐标；
（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解；
（2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
设，则由题可知，
解得或，
所以或．
【小问2详解】
因为向量与向量共线，所以．
又，，所以，，
所以，且，，
所以与夹角的余弦值为．
16. 如图，在平行六面体中，，，
（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案。
（2）首先根据题意得到，，计算，，从而得到，，再利用线面垂直的判定即可证明。
【详解】（1）设，，，则。
因为，，，
所以，
所以
，
所以
（2）由（1）知：，，
所以，
，
即，，又，
所以平面。
【点睛】本题第一问考查利用空间向量求线段长度，第二问考查利用空间向量证明线面垂直，属于中档题。
17. 已知函数.
（1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
【答案】(1) 在处取得极小值为.
(2)证明见解析.
【解析】
【详解】分析：（1）代入参数值，对函数求导，得到导函数的根，进而得到函数的极值点；（2）设，对函数求导，研究函数的单调性，证得函数的最小值大于0即可.
详解：
（1）由于函数的定义域为，
当时，，
令得或（舍去），
当时，，因此函数在上单调递减，
当时，，因此函数在上单调递增，
则是的极小值点，所以在处取得极小值为；
（2）证明：设，
则 ，
当时，，故在区间上单调递减，
又，
∴在区间上，恒成立，即恒成立.
因此，当时，在区间上，函数的图象在函数图象的下方.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
18. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.
详解：
（1）有题意可知，当时，，即，
解得，
所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.
19. 如图，矩形中，，，E为的中点，将沿翻折，得到四棱锥.
（1）证明：；
（2）在①直线与平面所成角为，②若交于O，的面积为，③到平面的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：已知______，求锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】
【分析】（1）设交于，则可得，而，则有，于是得，得，进而得平面，所以有；
（2）由已知条件可得平面，若选条件①，则有，由正弦定理可得，从而得，可得；若选条件②，③，直接可得，以为原点，以为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，然后利用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：设交于，
因为，E为的中点，，
所以，
所以，所以，
因为，所以,
所以,
所以，
因为,平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
（2）由（1）知，，
过点作交于点，
因为平面，平面，
所以,
因为,平面,平面,
所以平面，
若选条件①，因为平面，
所以直线与平面所成角为，
在中，由正弦定理得,
得，所以，
所以，
所以，
若选条件②，因为，,
所以，
若选条件③，由于平面，所以到平面的距离为，
以为原点，以为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
，得，令，则，
所以，
设锐二面角的大小为，则，
所以锐二面角的余弦值为
【点睛】关键点点睛：此题考查空间线线垂直的证法，考查二面角的求法，考查计算能力，第2问解题的关键是由已知条件求得，然后如图所示以为原点，以为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题