福建省莆田市2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学检测试卷（含答案）

这是一份福建省莆田市2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学检测试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列求导运算结果不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A．1B．0C．D．
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
B．
C．D．
4．已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
5．某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A．B．C．D．
6.如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7.已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
8.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，使得，则
10.已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
11.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则，
B．函数既有极大值又有极小值
C．若是的极大值点，则在区间单调递增
D．当时，函数有三个零点时
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间向量，若，则
13.甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是 .
14．设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数，
(1)求函数在点点处的切线方程；
(2)求函数的极值点和极值.
16.（15分）
流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为.
(1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率；
(2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率.
17.（15分）
如图，在直四棱柱中，的中点分别为.
(1)证明.
(2)求二面角的正弦值.
18．（17分）
如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长.
19．（17分）
设函数，其中．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方；
(3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，．高二数学答案
1．B
【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误.
【详解】，，，.
2．A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，即，解得，所以.
C
【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除A，B；
且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误.
4．D
【分析】求导，代入数值，即可得到结果.
【详解】由题知，，
所以，
即该物体在时的瞬时速度为.
5．A
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为：
.
故选：A
6.B
【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可.
【详解】利用中，，，
所以．
故选：B．
7．C
【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论.
【详解】因为，，，
所以，，
所以在向量上的投影向量的长为，
所以点到直线的距离是.
故选：C.
8.D
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，所以在上单调递减，
因为，所以不等式可变为，即，
所以，即，所以不等式的解集为．
故选：D．
9．ACD
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得.
【详解】对于A，若，则，，A正确；
对于B，，则或，B错误；
对于C，若，则，，C正确；
对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确.
故选：ACD
10.AD
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件的定义、概率的基本性质逐项判断.
【详解】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确；
对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】对于A，由题意可列出关于的二元一次方程组，由此解出来判断A；对于B，判断导函数的判别式，发现其恒大于，所以函数既有极大值又有极小值；对于C，要分的正负讨论，发现时在内存在先单调递减的区间，故C错误；对于D，若函数有三个零点，则极大值大于，极小值小于，结合A得到的等量关系，由此解出的取值范围.
【详解】对于A，由题意可得，令，得，
所以，解得，故A正确；
对于B，，判别式，由A知，所以，
故，即导函数有两个不同的实根，所以函数既有极大值又有极小值，故B正确；
对于C，，若是的极大值点，
当时，导函数开口向上，左侧导数为正，右侧为负，故在单调递增，
当时，导函数开口向下，左侧导数先负后正，即存在先单调递减的区间，故C错误；
对于D，，令，得或，由A知，
因为，所以极大值为，极小值为，
若函数有三个零点，则极大值，极小值，
由A可知，，
所以，解得，所以，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】根据向量垂直列方程，从而求得.
【详解】因为空间向量，
所以，
由于，
所以，解得.
故
13./
【分析】根据题意，分别求甲击中目标，乙没有击中目标和甲没有击中目标，乙击中目标的概率，再求和即可.
【详解】因为两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，
所以，甲击中目标，乙没有击中目标的概率为；
甲没有击中目标，乙击中目标的概率为，
所以，恰有1人击中目标的概率是
故
14．
【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题意，，当时，，，所以；
当时，，，所以，
等号仅当时成立，所以.
所以对，即，即.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，因此.
故
15.(1)
(2)极值点；极大值0，无极小值
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数求出函数的极值点和极值.
【详解】（1）函数，求导得，则，而
所以所求切线方程为.
（2）函数的定义域为，，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点为1，极大值，无极小值．
16.(1)
(2)
【分析】（1）利用独立事件与对立事件的概率公式即可得解；
（2）利用全概率公式求即可得解.
【详解】（1）从该地区小学生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为，
从该地区初中生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为，
所以这2人中至多有一人感染甲型流感的概率为.
（2）设“抽到小学生”，“抽到初中生”，“抽到高中生”，“该生感染甲型流感”，
则，
，
所以
.
所以该生感染甲型流感的概率为.
17.(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，通过计算，得证；
（2）求出平面和平面的法向量，由法向量所成角的余弦公式求解.
【详解】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直，
又因为，所以，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以，
则，
从而，
所以；
（2）根据题意，可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以
易知二面角的正弦值为.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证.
（2）由线面平行的判定证得平面，结合体积公式求出点到平面的距离即可.
（3）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解.
【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，
在中，由分别为的中点，得，
又，则，
即四边形为平行四边形，，而平面平面，
所以平面.
（2）设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，
得，解得，
而平面平面，则平面，
所以点到平面的距离为.
（3）取的中点，连接，由，得，由平面平面，
平面平面平面，得平面，即，
则，由平面平面，得，
又平面平面，则，而平面，
因此平面，又平面，则，
而的面积为，，则，，
由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
，设平面的法向量为，
则，取，得，设平面的法向量为，
则，取，得，
，由平面与平面的夹角为，
得，解得，即为的中点，
所以.
19．(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，将问题转化成求证，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得恒成立，结合条件，即可证明结果；
（3）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．
【详解】（1）函数的定义域是，，
又，则，令，解得：，令，解得：，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）因为，
要证曲线在曲线的上方，即证恒成立，
即证，令，则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，所以恒成立，又恒成立，，
所以恒成立，即曲线在曲线的上方.
（3）因为，
又因为导函数在上存在零点，所以在上有解，
则有，即，
又当时，，则在区间上单调递减，
当时，，则在区间上单调递增，
所以，
设，，则，
令，，则，
所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以，
则根据不等式的传递性可得，当时，