2023-2024学年福建省莆田二中高一（下）段考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省莆田二中高一（下）段考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=i(5+3i)+i3，则|z|=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.已知|a|=4，|b|=1，〈a,b〉=60°，则|a−2b|等于( )
A. 12B. 28C. 2 3D. 2 7
3.欧拉公式：eiθ=csθ+isinθ将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数e3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则m=( )
A. 7
B. 223
C. 233
D. 82
5.“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前最大的钢质城市雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹.如图，现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底B在同一平面内的两个测量基点C与D，测得∠BCD=60°，∠CDB=80°，CD=23.4m，在c点测得该雕塑顶端A的仰角为40°，则该雕塑的高度约为( )(参考数据：取sin40°=0.64)
A. 26mB. 28mC. 30mD. 32m
6.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 5
B. 10
C. 13
D. 26
7.已知AB⊥AC，|AB|=t，|AC|=1t.若点P是△ABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+2AC|AC|，则PB⋅PC的最大值为( )．
A. 13B. 5−2 2C. 5−2 6D. 10+2 2
8.如图所示，平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB=2,BC=2 2，AC=CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 4
D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0B. 若z1z2=z1z3且z1≠0，则z2=z3
C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
10.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC是钝角三角形
B. 若sinA>sinB，则a>b
C. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
D. 若A=45°，a=2，b=2 2，则△ABC只有一解
11.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2 6，B的角平分线交AC于D，BD= 3aca+c，则( )
A. B=π6B. π6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知m为实数，并且1+mi2−i+12的实部与虚部相等，则m= ______．
13.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆上，则PC⋅PD的取值范围为______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=c，sinAsinB=32,2≤a≤6，则2 2a−S△ABC的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知向量a=(2,1),b=(1,2),c=(3,λ)．
(1)若c/​/a，求|c|的值及c在b方向上投影向量的坐标．
(2)若(ka+b)⊥a，求k的值．
16.(本小题14分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．
(1)若DE=xAB+yAD，求x，y的值；
(2)求AB⋅DE的值；
(3)求cs∠BEF．
17.(本小题14分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足已知ccsB+bcsC=a2csA．
(1)求角A的大小；
(2)若csB= 33，求sin(2B+A)的值；
(3)若△ABC的面积为4 33，a=3，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(b+c+a)(b+c−a)=3bc．
(1)求A的大小；
(2)若△ABC内点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠PAC，求∠BPC的大小．
19.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，BD=3，AD=2，∠BDC=π4．
(1)若∠ADC=7π12，求sin∠BCD；
(2)若AB= 2BC，∠BAD=∠BCD=α，求12sin2α−5cs2α．
20.(本小题15分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，sinx的值；
(2)设函数g(x)= 3cs(x+π6)+cs(π3−x)，试求g(x)的相伴特征向量OM，并求出与OM共线的单位向量；
(3)已知A=(−2,3)，B=(2,6)，OT=(− 3,1)为ℎ(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，φ(x)=ℎ(x2−π3)，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.C
6.C
7.B
8.D
9.ABC
10.ABD
11.BCD
12.76
13.[0,32]
14.9 22
15.解：(1)因为c/​/a，所以2λ=3，即λ=32，
所以c=(3,32)，|c|= 32+(32)2=3 52，
所以b⋅c=3+2×32=6，
而|b|= 5，
故c在b方向上投影向量的坐标为c⋅b|b|b|b|=65(1,2)=(65,125)．
(2)由题意知，ka+b=(2k+1,k+2)，
因为(ka+b)⊥a，所以(ka+b)⋅a=0，即4k+2+k+2=0，解得k=−45．
16.解：(1)∵DE=AE−AD=23AB−AD，
又DE=xAB+yAD，
∴x=23,y=−1．
(2)∵AB=4，AD=2，∠BAD=60°，DE=23AB−AD，
∴AB⋅DE=AB⋅(23AB−AD)
=23AB2−AB⋅AD
=23×42−4×2×12=203．
(3)连接AC，设EB,EF的夹角为θ，
∵AE=2EB，CF=2FB，
∴EF//AC且EF=13AC，
∴EF=13AC=13AB+AD，
∴|EF|2=|13(AB+AD)|2=289，
∴|EF|=2 73，|EB|=43，
又∵EF⋅EB=EB+BF⋅EB
=EB2+BF⋅EB=169+49=209，
∴csθ=EB⋅EF|EF||EB|=2092 73×43=5 714，
即cs ∠BEF=5 714．
17.解：(1)∵ccsB+bcsC=a2csA，
由正弦定理得sinCcsB+sinBcsC=sinA2csA，
从而有sin(B+C)=sinA2csA⇒sinA=sinA2csA，
∵sinA≠0，
∴csA=12，
∵0∴A=π3；
(2)由已知得，sinB= 1−cs2B= 63，
∴sin2B=2sinBcsB=2 23，cs2B=2cs2B−1=−13，
∴sin(2B+A)=sin(2B+π3)=sin2Bcsπ3+cs2Bsinπ3=2 2− 36，
(3)∵S=12bcsinA=12bc⋅ 32=4 33，
∴bc=163，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bccsA，
即9=(b+c)2−3×163，解得b+c=5，
∴ΔABC的周长为a+b+c=8．
18.解：(1)因为(b+c+a)(b+c−a)=3bc，
所以b2+c2−a2=bc，
由余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
因为0所以A=π3．
(2)设∠PCB=α，∠PBA=β，
因为A=π3，∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠PAC，
所以∠PAB=∠PBC=30°，
在△PBC和△PAB中分别应用正弦定理，得PBPC=sinαsin30∘，PAPB=sinβsin30∘，
因为PA=PC，
所以sinα⋅sinβ=14，
又因为α+β=π3，
所以sinαsin(π3−α)=sinα( 32csα−12sinα)=12( 32sin2α+12cs2α)−14=12sin(2α+π6)−14=14，可得sin(2α+π6)=1，
所以2α+π6=π2，
所以α=β=π6，
所以∠BPC=2π3．
19.解：(1)由题意得∠ADB=∠ADC−∠BDC=7π12−π4=π3，
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+CD2−2AB⋅CDcs∠ADB=7，得AB= 7，
由正弦定理BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，得sin∠BAD=BDsin∠ADBAB=3 2114，
故sin∠BCD=sin∠BAD=3 2114；
(2)在△ABD中，由余弦定理BD2=AD2+AB2−2AB⋅ADcsα，得AB2−4ABcsα=5①，
在△BCD中，由正弦定理BDsinα=BCsin∠BDC，得BC=BDsin∠BDCsinα=3 22sinα，
所以AB= 2BC=3sinα，代入①式得9sin2α−12csαsinα=5，得9−12sinαcsα=5sin2α，
则9−6sin2α=5×1−cs2α2，即12sin2α−5cs2α=13．
20.解：(1)由已知可得：f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)=85，
所以sin(x+π3)=45，
又x∈(−π3,π6)，所以x+π3∈(0,π2)，
所以cs(x+π3)=35，
所以sinx=sin[(x+π3)−π3]
=sin(x+π3)csπ3−cs(x+π3)sinπ3
=45×12−35× 32=4−3 310；
(2)g(x)= 3cs(x+π6)+cs(π3−x)
= 3cs(x+π6)+cs[π2−(x+π6)]
= 3cs(x+π6)+sin(x+π6)
=2sin(x+π6+π3)=2sin(x+π2)=2csx，
所以OM=(0,2)，|OM|=2，OM|OM|=(0,1)，
所以与OM共线的单位向量为(0,1)和(0,−1)；
(3)ℎ(x)=msin(x−π6)= 32msinx−m2csx，
因为OT=(− 3,1)为ℎ(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，
所以 32m=− 3−m2=1，解得m=−2，
所以ℎ(x)=−2sin(x−π6)，
所以φ(x)=−2sin[(x2−π3)−π6]，
=−2sin(x2−π2)=2csx2，
假设在y=φ(x)的图象上是否存在一点P(x,2csx2)，使得AP⊥BP，
由AP=(x+2,2csx2−3)，BP=(x−2,2csx2−6)，
可得(x+2,2csx2−3)⋅(x−2,2csx2−6)=0，
化简得x2=−4cs2x2+18csx2−14，
令y=−4cs2x2+18csx2−14，
令csx2=t,t∈[−1,1]，
所以y=−4t2+18t−14=−4(t−94)2+254，
当t=−1时，y=−36；当t=1时，y=0，
所以−36≤y≤0，因为x2≥0，
所以当且仅当t=1且x=0时，x2=−4cs2x2+18csx2−14成立，
此时，csx2=1，即x=0，即点P(0,2)，
所以y=φ(x)的图象上是存在一点P(0,2)，使得AP⊥BP．