福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知，若，则实数的值为， 下列求导运算正确的是， 下列正确的命题有等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值.
【详解】向量，
若，
则，
.
故选：C.
2. 在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝ ( )
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 等比数列{an}单调递减 选B.
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D.
【详解】因为所以A选项错误；
因为，所以B选项错误；
因为，所以C选项错误；
因为，所以D选项正确.
故选：D.
4. 已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是极大值点
C. 在区间内一定有个极值点
D. 的图像在点处的切线斜率等于
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，，
所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误；
对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数，
因为，所以不是函数的极值点，所以B错误；
对于C中，由函数的图象，当时，；
当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以C正确.
对于D中，由函数图象，可得，
所以函数的图象在点处的切线的斜率大于0，所以D不正确；
故选：C.
5. 若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，又切点在曲线和切线上，代入即可求解.
【详解】对曲线，在切点处切线的斜率，
所以切线方程为：，
对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
依题意，即，
又点切点在曲线和切线上，即，
所以，
故选：B.
6. 已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得.
【详解】
如图，分别取圆柱上下底面的圆心为
因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，
于是，
设平面的法向量为，
则，故可取，
故点到平面的距离为.
故选：B.
7. 在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求线面角的正弦值.
【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是，
设直线与平面所成角为，，
则，
所以时，，即的最大值是.
故选：B.
8. 设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，求出，利用条件知，所以单调递增，将转化为，利用函数单调性即可得到答案.
【详解】令，则，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
而可化为，又
即，解得，
所以不等式的解集是．
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则数列的前5项和最大
B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足
C. 已知等差数列的前n项和为，若，则
D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可.
【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确；
选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误；
选项C，，若，则，故C正确；
选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确.
故选：ACD
10. 下列正确的命题有（ ）
A. 已知函数，则
B. 若，，， 则
C. 函数是上的增函数，则
D. 点是曲线上任意一点，则到的距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】逐个分析选项的正确性，通过求导、比较数值、导数与单调性的关系、点到直线的距离公式等方法判断各命题是否成立.
【详解】对于A，函数，求导得，令，代入导函数，
可得，解得，可得，
再将代入，得，故A正确；
对于B，构造函数，所以，，，
求导得，可得当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以最大，
又，，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，函数，求导得，
因为函数是上的增函数，所以恒成立，令，
则，解得，故C错误；
对于D，因为点是曲线上任意一点，所以令，
则到的距离为，当时，计算可得到的距离为，故D错误.
故选：AB.
11. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ）
A.
B.
C. 是奇函数
D. 当与和共有3个交点时，
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，根据定义计算得到；B选项，利用求导法则计算出答案；C选项，根据函数的奇偶性进行判断；D选项，先根据导函数得到和的单调性和极值最值情况，从而数形结合得到答案.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，的定义域为R，且，
是奇函数，C正确；
D选项，的导数为，令，则，
又为增函数，故当时，，当时，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
故，
由于在上单调递增，且当时，，
当时，，
当与和共有3个交点时，，D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第天复习首古诗词，从第天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多首，每首古诗词只复习一天，则天后同学复习的古诗词总数量为______.
【答案】
【解析】
【分析】设第天同学复习的古诗词的数量为首，设数列的前项和为，分析可知，数列为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】记第天同学复习的古诗词的数量为首，设数列的前项和为，
由题意可知，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，天后同学复习的古诗词总数量为首.
故答案为：.
13. 已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是_____________
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：，因为 ，所以，所以h（x）在区间，因为，所以h（1）=0.令h（x）>0，因为x>0,所以，得x>1．等价于，因为函数是定义在上的奇函数，所以-1