福建省福清第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测（二） 数学试卷（含解析）

这是一份福建省福清第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测（二） 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.函数 的导数 ( )
A. B. C. D.
2. 年 月，第 届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了 金 银 铜的优异成绩，
彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 单位： 与
时间 单位： 之间的关系为 ，则当 时，该运动员的滑雪速度为( )
A. B. C. D.
3.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.函数 在区间 上有最大值，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数 ，若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.已知 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
9.把一个周长为 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A. B. C. D.
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10.若对任意正实数 ， 都有 ，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. ， D. ，
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知 ( )
A. 当 时， 是 的极大值点
B. 当 时， 的所有零点之和为
C. 直线 是 的切线
D. 存在 使 在 上单调递增
12.已知函数 仅在 处取得极值，则实数 的值可以是．
A. B. C. D.
13.已知函数 ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 有极小值，则
B. 若 在 上单调递增，则
C. 对任意的 ， 存在唯一零点
D. 若 恒成立，则
三、填空题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。
14.函数 的极大值点为 ．
15.已知函数 在 处有极值 ，则 __________．
16.已知函数 ，若 在定义域内有两个不同的极值点，则实数 的取值范
围为_____．
17.若函数 在区间 上的最小值为 ，则 的取值范围是 ．
18.曲线 与 的公切线方程为 ．
19.已知函数 ，若 且 ，则 的最小值是 ．
20.已知函数 ，下列说法正确的是_______________．
的值域是 ；
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当 时，方程 有两个不等实根；
若函数 有三个零点时，则 ；
经过 有三条直线与 相切．
四、解答题：本题共 4 小题，共 47 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21. 本小题 分、分别 6 分、9 分
已知函数 ．
当 时，求函数 的单调区间；
若函数 在 上的最小值是 ，求 的值．
22. 本小题 分
函数 ．
讨论 的单调区间；
若 ，求证： ．
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23. 本小题 分
已知函数 ， ，其中 在 处取得极值．
求 的值；
求函数 的单调区间；
若 恒成立，求实数 的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】
解：因为 ，
所以导数 ．故选： ．
2.【答案】
解：由 可得 ，
将 代入 中，可得 ，
所以当 时，该运动员的滑雪速度为 ．故选： ． 3.【答案】
【解答】
解：由题意， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令
是开口向上的抛物线 在对称轴右侧的一部分，
由抛物线性质，在此区间内函数 单调递增，
故 ，
所以 ．
故选： ． 4.【答案】 【解答】
解： ，
若 在区间 内存在单调递增区间，
则 在 有解，
故 ，
而 在 递增，
，
故 ，
故选 D．
5.【答案】
解：因为 ，
所以 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
因为在 上有最大值，
所以极大值点 ，
又 ，
当 时，即 ，
解得 或 ，
所以 ，
则 的取值范围是 ．
故选 D．
6.【答案】
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【解答】
解：由题意，显然 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
又 ， ，
根据函数零点存在定理可知，函数 在 上存在唯一 个零点．
又因为 在 上仅有一个零点，
所以函数 在 不存在零点．
即方程 在 上无解．
令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
故当 时， 取得极大值 ．
又 ，且 时， ．
故 的值域为 ，则 ．
故选 C．
7.【答案】 【解析】【分析】 本题考查导数中的存在性问题，属于中档题．
由题得 ，通过导数求得 ，即可得出．
【解答】
解：因为存在实数 ，使得 成立，
所以 ，
，
令 得 或 或 ．
列表
极小值
当 时， 有极小值也是 的最小值，
所以 ．
故 ．
故选： ． 8.【答案】 【解答】
解： ， ， ，
令 ，
则 ，
故 在 上单调递增，
故 ，
即 ，
即
令 ，
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则 ， ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
即 ，
即 ，
故 ．
故选： ． 9.【答案】 【解答】
解：设圆柱高为 ，即长方形的宽为 ，
则圆柱底面周长即长方形的长为 ，
圆柱底面半径： ，
圆柱的体积 ，
，
当 或 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
当 时，函数无实际意义，
时体积最大，
此时底面周长 ，
该圆柱底面周长与高的比： ： ： ．
故选： ． 10.【答案】 【解析】【分析】 本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题．
将式子整理变形可得 ，可令 ，即为 ，利用导数研究新函
数 的增减性即可解决．
【解答】
解： ， ， ，
可得 ，
可令 ，上式即为 ，
可设 ， ，
由 ，可得函数 为 上的减函数，
由 ，可得 ， ， 递增 时， ， 递减，
可得 在 处取得极大值，且为最大值 ，
由题意可得 ，即 ，
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解得
故实数 的取值范围为 ．
11.【答案】
【解析】解：对于 选项， ， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是 的极小值点，故错误
选项， ，
存在三个零点， ， ， 为方程 的两根，
故 ，故所有零点之和为 ，故正确
选项， 时， ， 过 ，
故 在点 处的切线为 ，故正确
选项， ，故错误．
答案选 BC． 12.【答案】
【解析】【解答】解：由函数 ，
可得 ，
仅在 处取得极值，
若 有唯一根 ，
与 的图象除在 处外无其他贯穿而过的交点，
可得 ，
由 得， 在 上递增，
由 得， 在 上递减，
，
，
即实数 的取值范围是 ．
13.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查了导数的综合运用，属于难题．
利用单调性即可判断 ，利用 ，再求导，即可判断 ，利用 ，令
，再求导判断 ，利用已知得 ，再利用单调性可得 ，即可判断 ．
【解答】
解：对于 ， ，当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 有极小值，故 A 错误．
对于 ，若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，所以
，即 令 ，则 ，所
以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，故 B 正确．
对于 ，令 ，则 令 ，则 ，
所以 在 上单调递增 因为 ，且当 时， ，当 时，
，所以 与曲线 只有一个交点，即 存在唯一零点，故 C 正确．
对于 ，由 ，得 ，即 令
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，则 因为 ，令 ，所以
，当 时， ，当 时， ，所以 在
上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以
在 上单调递增，因为 所以 ，所以 ，令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，所以 在
上递增，在 上递减，所以 ，所以 ，故 D 正确．
故选 BCD． 14.【答案】
解：因为 ，
则 ，
则
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故 是 的极大值点，
故答案为： ． 15.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了导数的应用，考查函数的极值问题，是一道基础题． 求出函数的导数得到关于 ， 的方程组，解出即可．
【解答】
解： ，
由题意有 ，解得 或
经验证知，当 时函数 无极值；
当 时，函数 有极值，
此时 ．
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值求参，属于中档题．
由题意可令 ，得 ，再构造函数 ，通过导数
求出函数 的最值，从而求解 的范围．
【解答】
解：令 ， ．
构造函数 ， ，
所以 在区间 上 单调递增，在区间 上 单调递减，
，
令 解得 当 时， ，所以 ．
故答案为 ．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的最值问题，属于基础题．
求导，判断函数的单调性，结合 即可得解．
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【解答】
解：对函数求导得： ，令 ，可得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增．
而 ，
，即 ，
则实数 的取值范围为 ．
18.【答案】 【解析】【分析】 本题考查求两条曲线的公切线方程，属于中档题．
设出两曲线的切点分别为 和 ，由导数的几何意义可得
，再由点斜式得出公切线方程为 ，把点 代入切线方程可得
，构造函数 ，求导分析单调性得到 ，进而
得出 ，最后得到切线方程．
【解答】
解：设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点为
．
因为 ，
所以公切线的斜率 ，所以 ．
所以公切线的方程为 ，即 ，
将 代入公切线方程得 ，
由 ，得 ．
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，
故公切线方程为 ，即 ．
故答案为： ． 19.【答案】 【解答】
解：函数 的图象如图所示．
令 ，则 ，所以 ．
令 ， ，
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当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ．
故答案为： ． 20.【答案】
【解答】
解：函数 的定义域为 ，
，
函数 是偶函数，
当 ，函数 ，
，
设 ， ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
，
在 上是单调递增，在 是单调递减，
，
所以 正确；
当 时，方程 ，
在 上，化简得 ，即 ，
设 ， ，
， ， ，又 ，
根据图像的性质有两个不等实根；
所以 正确；
在 上， ，化简得 ，
，
设经过 的切线的切点为 ，
，又 ，联立解得 ，
则得 ，
又 ，
根据偶函数的性质结合函数的图像我们可以得到 ，
所以 正确；
结合 我们知道在 上，函数 有一切线，斜率为
根据偶函数的性质，我们知道当 时与原函数 相切，所以共有两条，
所以 不正确，
故答案是 ．
21.【答案】解：函数 的定义域为 ， ，
， ，
故函数在其定义域 上单调递增．
所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
当 时，分如下情况讨论：
当 时， ，函数 在 上单调递增，其最小值为 ，这与函数在 上
的最小值是 相矛盾；
当 时， ，函数 在 上单调递增，其最小值为 ，同样与最小值是 相矛盾；
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当 时，函数 在 上有 ， 单调递减，在 上有 ， 单调
递增，所以，函数 的最小值为 ，由 ，得 ；
当 时，函数 在 上有 ， 单调递减，其最小值为 ，这与最小值是 相
矛盾；
当 时，函数 在 上有 ， 单调递减，其最小值为 ，仍与最
小值是 相矛盾．
综上所述， 的值为 ．
．
22.【答案】解：
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时，由 解得 ，由 解得 ．
即 在 上单调递减； 在 上单调递增；
综上， 时， 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间；
时， 的单调递减区间是 ， 的单调递增区间是 ．
由 知 在 上单调递减； 在 上单调递增，
则 ．
要证 ，即证 ，即 ，
构造函数 ，则 ，
由 解得 ，由 解得 ，
即 在 上单调递减； 在 上单调递增；
，
即 成立．
从而 成立．
23.【答案】解： 因为 ，
所以 ，其中 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，解得 ，经检验，符合题意．
所以 ．
由 可知， ，其中 ，
则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ．
，
当 时，由 ，可得 ，
令 ，其中 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递增，
因为 ， ，
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由零点存在定理可知，存在唯一的 ，
使得 ，即 ，即 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，
因为 ，则 ， ，
由 ，可得 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ，
所以 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 ．
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