福建省莆田市莆田第二中学2024−2025学年高一下学期3月单元自我检测 数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市莆田第二中学2024−2025学年高一下学期3月单元自我检测 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共7小题）
1．若是三个任意向量，则下列运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
3．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
5．已知，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（ ）个不同的正值．
A．B．C．D．
7．点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
二、多选题（本大题共4小题）
8．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）
A．满足的点P必为的中点B．满足的点P有两个
C．满足的点P有且只有一个D．的点P有两个
9．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A． B．
C．D．
10．设，则关于函数的性质中，下列说法正确的是（ ）
A．的周期是
B．的一个对称中心可以是
C．的一个单调递增区间可以是
D．的一条对称轴可以是
11．一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则存在实数使得B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为 海里.
13．已知的三个内角分别为、、，，求的值 ．
14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑，工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.
若点为弧上的一点，则的最小值为 ．
若点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．根据下列条件解三角形：
(1)，，；
(2)，，；
16．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)已知向量满足．求；
17．在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为.
(1)求的大小；
(2)求面积的最大值.
18．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知.
(1)求.
(2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积.
19．已知向量，，函数，其中．
(1)若，求的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【解析】对于A,利用向量的平方等于模的平方得出结论；对于B，利用平面向量数量积为实数得出结论；对于C，利用平面向量乘法分配律得出结论；对于D，利用向量的平方等于模的平方得出结论.
【详解】对A， 正确；
对B， 得出的是标量，故结果是与共线的向量，同理得出的是与共线的向量，故不一定正确；
对C，向量满足乘法分配律，正确；
对D， 向量满足基本的完全平方差公式，正确.
故选B.
2．【答案】C
【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；
由，由正弦定理得，所以；
则“”是“”的充要条件.
故选C.
3．【答案】B
【详解】设向量与的夹角为，则所求投影向量为．
因为，所以，又因为，，所以，
所以，
故选B.
4．【答案】C
【详解】因为，，所以，
故，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，则此三角形面积的最大值为12.
故选C.
5．【答案】C
【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选C．
法2：选项验证法！
观察选项，当时，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
故选C．
6．【答案】D
【详解】
如图，过作的垂线，
由正六边形的性质可得：过作直线的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，
其它垂足，如图所示，
当时，
当时，在上的投影向量可以是，
由数量积的几何意义可得，
，，
，，
所以共有5个不同的正值.
故选B.
7．【答案】A
【详解】由，得，
即，
则，
得
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，
故选A.
8．【答案】BCD
【详解】如图建系，取，∵，

∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；
选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确；
选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；
选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确；
故选BCD.
9．【答案】ACD
【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作为一组基底；
B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底；
C选项：，两向量共线，不能作为一组基底；
D选项：，两向量共线，不能作为一组基底.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】，
对于A，最小正周期为，A正确；
对于BD，，BD正确；
对于C，，，函数在上单调递减，
因此的一个单调递减区间可以是，C错误.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，依题意，不共面，因此不存在实数使得，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
因此，D正确．
故选BCD.
12．【答案】
【详解】，
设甲乙距离，由正弦定理得.
13．【答案】/
【详解】由余弦定理得：，
由正弦定理（r为外接圆的半径），
得，
则，
14．【答案】
【详解】设为的中点，为的中点，如图，
则
，
在正中，，，则，
又，则，
所以的最小值为；
当点落在上时，长度恒为半径2，设，，
其中，，又，则，
则当时，取得最小值，
当点落在圆弧上时，由对称性得的最小值为，
当点落在上时，长度恒为半径2，设，，
，由，得，
则当时，取得最小值，
而，因此的最小值.
15．【答案】(1)，，
(2)，，
【详解】（1）因为，，所以.
由正弦定理得：，
，.
（2）由余弦定理可得：，所以.
，所以，所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，
得，
，
所以，且有公共点，
所以三点共线.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
因为在中，所以，
由正弦定理可得，
因为，，所以，
所以，即，
又，所以，.
（2）设，，，根据题意，，
又，所以，化简得，
则，
所以，当且仅当时等号成立.
面积的最大值为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，，
所以，
根据正弦定理可变形为：，
移项可得：，
根据两角和的正弦公式可得：，
因为，所以，
因为，所以，即，
所以；
（2）设外接圆的半径为，的外接圆半径为，
所以，
根据外接圆半径公式，
在中，，，
则，，
在中，，
所以，，
在中，，则，
，解得或，
因为为锐角，所以，
因为点E为的内心，设的内切圆半径为，如图所示：
，
根据三角形面积公式，
又，
解得，
，
所以的面积为.
19．【答案】(1)，.
(2)
(3)
【详解】（1）因为.
由恒成立，可知：函数的周期满足：，
所以，由.
所以.
由，，，所以函数的对称中心为，.
（2）因为.
由
所以或，.
所以或，.
又，所以.
所以.所以.
函数的草图如下：

由函数在（且），上恰好有个零点，
所以.
即的最小值：.
（3）问题转化为，当时，函数的值域是的值域的子集.
对：因为，所以，所以，又，所以；
对：因为，所以，所以，所以.
由，.
即的取值范围是：