福建省福清第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测（一） 数学试卷（含解析）

这是一份福建省福清第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测（一） 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列 ，其前 项和为 ，若 ，则 ( ) A. B. C. D.
2.已知函数 在 处的导数为 ，则 ( )
A. B. C. D.
3.已知圆 ： 与圆 ： 有两条公切线，则实数 的取值范围
为( )
A. B.
C. D.
4.关于椭圆有如下结论：“过椭圆 上一点 作该椭圆的切线，切
线方程为 ”设椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，过 且
垂直于 轴的直线与 的一个交点为 ，过 作椭圆 的切线 ，若切线 与直线 的倾斜角互
补，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
且 ， ， ，则点 到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
6.记数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ，则
( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知 和 是双曲线 ： 的左、右焦点， 是 上一点，当
时， ，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
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8.已知数列 满足 ， ，等差数列 满足 ， ，记集合
，若集合 的子集个数为 ，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的有( )
A. B.
C. D.
10.已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线交于两点 ， ，则( )
A. 若 在双曲线右支上，则 的最短长度为
B. 若 ， 同在双曲线右支上，则 的斜率大于
C. 的最短长度为
D. 满足 的直线 有 条
11.已知数列 满足 ， ，若数列 的前 项和 为 ，则( )
A. B.
C. 是常数列
D. 是等差数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 的通项公式为 ．
13.已知 在点 处的切线也是 的一条切线，则 ．
14.已知曲线 ： 与直线 有 个公共点，点 、 是曲线 上关于 轴
对称的两动点 点 在第一象限 ，点 、 是 轴上关于原点对称的两定点 点 在 轴正半轴上
，若 为定值，则该定值为 ．
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四、解答题：本题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分 （两问分别 6、7 分）
设 是等差数列，其前 项和为 ； 是等比数列，公比大于 ，其前 项和为
已知 ， ， ， ．
Ⅰ 求 和 ；
Ⅱ 若 ，求正整数 的值．
16. 本小题 分 （两问分别 5、9 分）
已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点， 为抛物线上一点， 且
．
求抛物线 的方程
过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若点 在抛物线的准线上，且 为等边三
角形，求直线 的斜率．
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答案和解析
1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查等差数列的前 项和公式，等差数列的性质，是基础题．
利用等差数列的性质，结合前 项和公式计算即得．
【解答】
解：在等差数列 中， ，解得 ，
所以 ．
故选： ． 2.【答案】 【解析】【分析】 本题考查导数的定义，属于基础题．
根据题意，由极限的性质可得
，结合导数的定义计算可得答案．
【解答】
解：
根据题意，函数 在 处的导数为 ，
则
．
故选： ． 3.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了圆与圆位置关系的判断问题，结合公切线条数判断两圆相交是解题的关键，属于中档题． 根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距 满足 ，列不等式即可求出 的
取值范围．
【解答】
解： 圆 ： 与圆 恰有两条公切线，
两圆相交．
易得圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，
则 ，
若两圆相交，则满足 ，
即 ，
所以 ，
解得
故选： ． 4.【答案】
【解析】解：过椭圆 上一点 ，
作该椭圆的切线，切线方程为 ，
把 代入椭圆方程可得： ，不妨取 ，
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则过 作椭圆的切线 方程为 ，即 ，
可得切线 的斜率为 ，
再由 可得： ，
因为切线 与直线 的倾斜角互补，
所以 ，结合 ，整理可得： ，
所以椭圆 的离心率 ．
故选： ． 5.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查点面、线面、面面距离的向量求法，属于中档题． 由题意建立空间直角坐标系，求出点 坐标以及平面 的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即
可．
【解答】
解：如图所示建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 可取 ，
则点 到平面 的距离为 ．
故选： ． 6.【答案】
【解析】解：因为 ，所以 ，两式相除可得 ．
因为 ， ，所以 ，
所以当 为偶数时，
当 为奇数时， ，
故
．
．
当 为奇数时，由 可得
当 为偶数时，由 可得 ．
故选 D．
7.【答案】 【解析】【分析】
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本题考查了双曲线的定义，求双曲线的离心率，属于一般题．
由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得 ，进而即可求解．
【解答】
解：不妨设 ，
在 中，由余弦定理知， ，
因为 ，
则 ，
两式联立得 ，
因为 ，
，
整理得 ，化简得 ，
所以离心率 ．
故选： ．
8.【答案】 【解析】【分析】 本题考查等比数列的判定及通项公式，考查等差数列的通项公式，考查数列及其不等式，属于中档题．
结合条件可求出 ，作差可知 的单调性，根据集合 的子集个数为 ，可直接得
到 的取值范围．
【解答】
解： ，
所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，故 ，
因为等差数列 满足 ， ，所以数列 的公差为 ，
，
因为集合 的子集个数为 ，所以集合 中有 个元素，
又 ，
所以 ， ，
故满足条件时 ．
9.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查导数的基本运算，属于基础题． 根据导数的计算公式即可得到结论．
【解答】
解： ， A 错误，
， B 正确，
， C 正确，
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D 正确，
故选： ． 10.【答案】 【解答】
解：双曲线 ，所以 ， ， ，右焦点为 ，
对于 ：当 垂直于 轴时，可令 ，可得 ，即 ，
当 为实轴时， ， ，故 A 正确；
对于 ：若 ， 同在双曲线的右支，且直线 垂直于 轴，可得直线 的斜率不存在，故 B 错误； 对于 ：当直线 的斜率 时， ， 则 ，故 C 错误； 对于 ：若 ， 同在双曲线的右支，当 垂直于 轴时，令 ，可得 ，
即 ，根据对称性可知，满足的直线 有两条；
当 、 在左右两支时，当直线 斜率为 时， ，
根据对称性可知，满足的直线 有两条；
所以，满足 的直线 有 条，故 D 正确． 故选 AD． 11.【答案】 【解答】
解： ， ，
两式相减得 ，
又 ， ，
两式相加得 ，
对 ：由题意可得：
，
解得 ，A 错误；
对 ：由 ，令 ，得 ，解得 ，
由 ，令 ，得 ，解得 ，B 正确； 对 ： ，
故 ，
则 是常数列，C 正确；
对 ： ，则 ，
故 是以公差为 的等差数列，D 正确． 故选： ．
12.【答案】
【解答】
解：当 时， ， ，
，
即 ，
数列 从第二项起是首项 ，公比为 的等比数列，
， ，
当 时， ，
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数列 的通项公式 ．
故答案为： ．
13.【答案】 【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于中档题．
首先利用导数的几何意义得到切线为 ，设 的切点为 ，
从而得到 ，代入切线得到切点为 ，再结合 即可得到答案．
【解答】
解：因为 ，
所以 ，
故切点 ．
又 ，
所以 ，
故 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
设 与 相切于 ，
因为 ，
所以 ，
故 ．
从而切点为 ，
将 点代入切线 得： ，
又因为 ，
所以
解得： ． 14.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查曲线与方程，抛物线定义的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出 ，然后结合抛物线的定义即可求解．
【解答】
解：曲线 表示抛物线 与 ，
联立 ，消去 整理得 ，
因为 ，所以 ，
可得抛物线 与直线 有两个交点，
已知曲线 与直线 有 个公共点，
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则直线 与抛物线 相切，
联立 ，消去 整理得 ，
则 ，解得 ，
由对称性可知 ，设 与 轴的交点为 ，
则 ，
若 为定值，则 为定值，
则点 ， 分别为抛物线 与 的焦点，
此时 为抛物线 上一点到 轴距离与其焦点距离差的 倍，
由抛物线的定义可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
15.【答案】解： Ⅰ 设等比数列 的公比为 ，
由 ， ，可得 ，
，可得 ，----2 分
故 ， ，------3 分
设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
，-------5 分
故 ， ；--------------6 分
Ⅱ 由 Ⅰ 可得
，---------9 分
由 ，
可得 ，
整理得： ，解得 舍 或 ．
的值为 ． ------------12 分 16.【答案】解： 不妨设点 在第一象限，因为 ，
所以 ，
则 ， ，-------2 分
因为 ，--------4 分
所以 ，即抛物线 的方程为 ；------------5 分
当直线 的斜率不存在时， ， ，
要使得 为等边三角形，则 ，
但是 ， ，
为等腰直角三角形，不符合题意，---------------6 分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，化简得 ，-------------7 分
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则 ， ，-------------8 分
故 ，-----------------9 分
线段 的中点为 ，
设 ，
因为 ，所以 ，即 ，----------11 分
则 ，---------------12 分
因为 为等边三角形，
所以 ，
即 ，
则 ，解得 ． -----------------14 分
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