专题02 高一上期末真题精选（压轴56题 18类考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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压轴01：集合及其运算中的新定义题
压轴02：一元二次不等式中的恒成立问题
压轴03：一元二次不等式中的能成立问题
压轴04：二次函数的最值问题（动轴定范围）
压轴05：二次函数的最值问题（定轴动范围）
压轴06：根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）
压轴07：根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）
压轴08：根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）
压轴09：双变量函数值相等问题
压轴10：双变量函数值不等问题
压轴11：指数（对数）型复合函数中的零点问题
压轴12：指数（对数）型复合函数中的恒成立问题
压轴13：指数（对数）型复合函数中的能成立问题
压轴14：指数（对数）型复合函数中的恒成立问题
压轴15：三角函数中的零点问题
压轴16：三角函数中的恒成立问题
压轴17：三角函数中的存在性问题
压轴18：三角函数中的新定义问题
压轴01 集合及其运算中的新定义题（共5小题）
1．（22-23高一上·北京昌平·期末）已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：
①对于任意，若，则；
②对于任意，若，则.
若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（多选）（23-24高一上·山东济南·期末）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ）
A．族为集合上的一个拓扑
B．族为集合上的一个拓扑
C．族为集合上的一个拓扑
D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑
3．（23-24高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ．
4．（24-25高一上·山东德州·期中）把一个集合分成若干个非空子集，，，，如果满足：①，②，那么这些子集的全体称为集合的一个划分，记为.若集合，则集合的一个划分为 ；利用余数构造集合的划分是解决子集中元素整除问题的常用手段.设为集合的子集，并且中任意两个元素之和不能被3整除，则中元素个数的最大值为 .
5．（22-23高一上·北京东城·期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
(1)若，求；
(2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；
(3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.
压轴02一元二次不等式中的恒成立问题（共4小题）
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数．
(1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，解关于x的不等式．
4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
压轴03一元二次不等式中的能成立问题（共3小题）
1．（23-24高二上·河南焦作·期末）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ．
3．（23-24高一上·四川内江·期末）已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．
压轴04二次函数的最值问题（动轴定范围）（共3小题）
1．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的最小值.
2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为.
(1)求；
(2)当时，求函数的最大值.
3．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知二次函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)求在上的最小值.
压轴05二次函数的最值问题（定轴动范围）（共2小题）
1．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的最小值.
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知二次函数满足且.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求在上最小值的表达式.
压轴06根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）（共5小题）
1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
压轴07根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）（共3小题）
1．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数是奇函数．
(1)求a的值，判断的单调性并说明理由；
(2)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．
2．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数且.
(1)判断的奇偶性并给出证明；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
3．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有．
(1)求使得成立的x的取值集合；
(2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
压轴08根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）（共3小题）
1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数的图象关于直线对称，且．
(1)求的单调区间；
(2)求不等式的解集．
2．（23-24高一·江苏南通·期末）定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：在上为增函数；
(3)当时，解不等式．
3．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数满足对一切有，且；当时，有.
(1)求的值;
(2)判断并证明在R上的单调性；
(3)解不等式
压轴09双变量函数值相等问题（共3小题）
1．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若，使得成立，求实数的取值范围.
2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数fx,gx分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
(1)求函数fx,gx的解析式；
(2)设，对，使得，求实数的取值范围.
．
3．（23-24高一上·四川泸州·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”，已知函数．
(1)证明：函数的图象关于点对称；
(2)若函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
压轴10双变量函数值不等问题（共4小题）
1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ．
2．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知函数.
(1)若为偶函数，求函数的定义域；
(2)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
3．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为关于的奇函数，给定函数，关于中心对称．
(1)求的值
(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）．
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
压轴11指数（对数）型复合函数中的零点问题（共3小题）
1．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，．
(1)若，求的值；
(2)令，且在区间上有零点，求实数n的取值范围．
2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，函数与互为反函数.
(1)若函数的值域为，求实数的取值范围；
(2)求证：函数仅有1个零点，且.
3．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，.
(1)若函数，，求的最值；
(2)设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且.
压轴12指数（对数）型复合函数中的恒成立问题（共3小题）
1．（23-24高一上·福建·期末）已知函数在上为奇函数，.
(1)求实数m的值；
(2)存在，使成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若恒成立，求n的取值范围.
2．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知，.
(1)求函数在区间上的最小值.
(2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
3．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函数，．
(1)若的最小值为，求实数的值；
(2)当时，若，，都有成立，求实数的取值范围．
压轴13指数（对数）型复合函数中的能成立问题（共3小题）
1．（23-24高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数，且为偶函数．
(1)解不等式；
(2)设函数，命题，使成立．是否存在实数，使命题为真命题？如果存在，求出实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．
2．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)，有成立，求实数m的取值范围．
3．（22-23高一上·陕西渭南·期末）已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若，对使不等式成立，求实数的取值范围．
压轴14指数（对数）型复合函数中的新定义问题（共3小题）
1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
(1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；
②.
(2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示）
2．（23-24高一上·云南大理·期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.
(1)求函数的次不动点；
(2)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围.
3．（22-23高二下·山东青岛·期末）定义一种新的运算“”：，都有.
(1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；
(2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
压轴15三角函数中的零点问题（共2小题）
1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且，．
(1)若，求A与；
(2)证明：函数是偶函数；
(3)证明函数是周期函数；
(4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且．
2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数.
(1)某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图象，列表如下：
请填写上表的空格处，并写出函数的解析式；
(2)若函数，将图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点的个数.
压轴16三角函数中的恒成立问题（共3小题）
1．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的对称中心；
(2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
3．（23-24高一上·天津·期末）已知．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为，求实数的值；
(3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围．
压轴17三角函数中的存在性问题（共2小题）
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数．
(1)求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间；
(2)当时，求的最值．
(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
压轴18三角函数中的新定义问题（共2小题）
1．（22-23高一上·上海杨浦·期末）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.
(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；
(2)求证：当时，是“3级周天函数”；
(3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.
4．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，且称是函数的“跃点”.
(1)求证：函数是“1跃点”函数；
(2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；
(3)是否同时存在实数和正整数，使得函数在上有2023个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和，若不存在，请说明理由.x
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