高中数学苏教版 (2019)必修 第二册向量运算第2课时同步练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册向量运算第2课时同步练习题，共6页。
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则下列式子成立的是( )
A． eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(OF,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→)) B． eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→))
C． eq \(EF,\s\up6(→))＝－ eq \(OF,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))D． eq \(EF,\s\up6(→))＝－ eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→))
2．如图，在△ABC中，D是BC上一点，则 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A． eq \(BD,\s\up6(→))B． eq \(DB,\s\up6(→))
C． eq \(CD,\s\up6(→))D． eq \(DC,\s\up6(→))
3．如图，在四边形ABCD中，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(DC,\s\up6(→))＝( )
A．a－b＋cB．b－(a＋c)
C．a＋b＋cD．b－a＋c
4．已知O是平面上一点， eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c， eq \(OD,\s\up6(→))＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0D．a－b＋c－d＝0
5．(多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，下列命题正确的是( )
A．| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|
B．| eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))|
C．| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|
D．| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|2＝| eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|2＋| eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))|2
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．
7．如图，在正六边形ABCDEF中，与 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))相等的向量有__________. (填序号)
① eq \(CF,\s\up6(→))；② eq \(AD,\s\up6(→))；③ eq \(DA,\s\up6(→))；④ eq \(BE,\s\up6(→))；⑤ eq \(CE,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))；⑥ eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))；⑦ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→)).
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))＝4， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AM,\s\up6(→))))＝________．
9.如图，已知 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c， eq \(OD,\s\up6(→))＝d， eq \(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1) eq \(AC,\s\up6(→))；(2) eq \(AD,\s\up6(→))；
(3) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))；(4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))；
(5) eq \(BF,\s\up6(→))－ eq \(BD,\s\up6(→)).
10．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝ eq \(BA,\s\up6(→))，c－d＝ eq \(DC,\s\up6(→))，并画出b－c和a＋d.
[B 能力提升]
11．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))
B．若向量 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))反向共线，则| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|＝AB＋BC
12．下列说法错误的是( )
A．若 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，则 eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))
B．若 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，则 eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(OE,\s\up6(→))
C．若 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，则 eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(EO,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))
D．若 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，则 eq \(DO,\s\up6(→))＋ eq \(EO,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))
13．在平面上有A，B，C三个不同的点，设m＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))，n＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
14．若a≠0，b≠0，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))，则a与a＋b所在直线的夹角是__________．
[C 拓展探究]
15.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点， eq \(CM,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
参考答案
[A 基础达标]
1．解析：选B． eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(EO,\s\up6(→))＋ eq \(OF,\s\up6(→))＝ eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(EO,\s\up6(→))－ eq \(FO,\s\up6(→))＝－ eq \(OE,\s\up6(→))－ eq \(FO,\s\up6(→)).故选B．
2．解析：选D． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→)).故选D．
3．解析：选A． eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.
4．解析：选D．易知 eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，而在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，所以 eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))，即b－a＝c－d，所以a－b＋c－d＝0，故选D．
5．解析：选ABCD．以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，由题意知其为正方形．
因为| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))|，| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|，所以A正确；
因为| eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|，| eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，所以B正确；
因为| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|，| eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，所以C正确；
因为| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|2＝| eq \(CB,\s\up6(→))|2，| eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|2＋| eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))|2＝| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))|2＋| eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))|2＝| eq \(BA,\s\up6(→))|2＋| eq \(CA,\s\up6(→))|2＝| eq \(CB,\s\up6(→))|2，即| eq \(CB,\s\up6(→))|2＝| eq \(CB,\s\up6(→))|2，所以D正确，故选ABCD．
6．解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0.又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1.因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
7．解析：化简 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CF,\s\up6(→))，①符合题意；由正六边形的性质，结合图可得向量 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))与向量 eq \(CF,\s\up6(→))方向不同，根据向量相等的定义可得向量 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))与向量 eq \(CF,\s\up6(→))不相等，②③④不符合题意；因为 eq \(CE,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))≠ eq \(CF,\s\up6(→))，⑤不符合题意； eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))≠ eq \(CF,\s\up6(→))，⑥不符合题意； eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))≠ eq \(CF,\s\up6(→))，⑦不符合题意，故答案为①.
答案：①
8．解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，如图所示，
由向量加减法的几何意义，可知 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))，
因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→))))，
又由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))＝4，且M为线段BC的中点，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AM,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))＝2.
答案：2
9.解：(1) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝c－a.
(2) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AO,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝d－a.
(3) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝d－b.
(4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＝b－a＋f－c.
(5) eq \(BF,\s\up6(→))－ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))－( eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→)))＝ eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＝f－d.
10．解：因为a＋b＝ eq \(BA,\s\up6(→))，c－d＝ eq \(DC,\s\up6(→))，所以a＝ eq \(OA,\s\up6(→))，b＝ eq \(BO,\s\up6(→))，c＝ eq \(OC,\s\up6(→))，d＝ eq \(OD,\s\up6(→)).如图所示，作平行四边形OBEC和平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得，b－c＝ eq \(EO,\s\up6(→))，a＋d＝ eq \(OF,\s\up6(→)).
[B 能力提升]
11．解析：选AD．由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))，A正确．
三角形内 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))，但AC≠AB＋BC，B错误．
eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))反向共线时，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))|≠| eq \(AB,\s\up6(→))|＋| eq \(BC,\s\up6(→))|，也即AC≠AB＋BC，C错误．
eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))反向共线时，| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))＋(－ eq \(BC,\s\up6(→)))|＝AB＋BC，D正确．
12．解析：选D．由向量的减法就是向量加法的逆运算可知A，B正确；
由相反向量的定义可知 eq \(OE,\s\up6(→))＝－ eq \(EO,\s\up6(→))，
所以若 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，则 eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(EO,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，C正确；
若 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，由相反向量定义知，
eq \(DO,\s\up6(→))＋ eq \(EO,\s\up6(→))＝－ eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→))＝－( eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→)))＝－ eq \(OM,\s\up6(→))，故D错误，故选D．
13．解析：选C．以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD，则m＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，n＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))，由m，n的长度相等，可知| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(BD,\s\up6(→))|，因此平行四边形ABCD是矩形，故选C．
14．解析：设 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝ eq \(OC,\s\up6(→))，a－b＝ eq \(BA,\s\up6(→))，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OB,\s\up6(→))|＝| eq \(BA,\s\up6(→))|，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝60°，
在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
答案：30°
[C 拓展探究]
15.证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点，
所以CM＝AM＝BM.
(1)因为 eq \(CM,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AM,\s\up6(→))，
又| eq \(AM,\s\up6(→))|＝| eq \(CM,\s\up6(→))|，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→))，
所以a＋(a－b)＝ eq \(CM,\s\up6(→))＋( eq \(CM,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \(CM,\s\up6(→))＋ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(CM,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))，
因为| eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|，
所以|a＋(a－b)|＝|b|.