2025年中考数学三轮冲刺：尖子生专用思维拓展 强化练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学三轮冲刺：尖子生专用思维拓展 强化练习题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了【发现问题】等内容，欢迎下载使用。
（1）求证：AHCH=BHEH；
（2）当CE∥AB时，求CE的长；
（3）当△CFH是等腰三角形时，求CH的长．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1＝ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．
（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2，已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数y1的图象上时，求OP的长．
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°＝1，∴asinA=bsinB=csinC．
拓展探究：
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？请说明理由．
解决问题：
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．
4．综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．
实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表：
任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式．
解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是ℎ=ℎ0−12gt2，其中g为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同．
任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）．
任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）．
5．【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
6．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4a+1图象的一部分，已知图象过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC1；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°，求幼苗叶片的长度PD．
7．（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，若BE＝3，则DE＝ ．
（2）如图2，在锐角△ABC中（AB＜AC），∠C＝45°，AB＝4，AD为BC边上的高，若S△ABD=94，求BC的长．
（3）如图3，⊙O为△ABD的外接圆，已知⊙O的半径为5，弦AC⊥BD于点H．且AC＝BD，DE为⊙O的一条直径．M、N分别为BD、DE上一点，连MN、ME．若∠DMN＝∠BAD，S△ABH=72，求△EMN面积的最大值．
8．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是 ．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝5+53，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，△ABC中，AC=23，csA=32，BC＝m，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的m的取值范围是 ．
9．射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度y（单位：cm）与向前运动的水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表示为y＝﹣0.1x2+4x．
（1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是 ，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是 ；
（2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20cm，高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？
（3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？
答案解析
1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，垂足为D，点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E，AE与BC交于点H，联结CE．
（1）求证：AHCH=BHEH；
（2）当CE∥AB时，求CE的长；
（3）当△CFH是等腰三角形时，求CH的长．
【分析】（1）根据题意∠AEB＝∠ACB，∠AHC＝∠BHE，证明△ACH∽△BEH即可求证；
（2）根据题意可得△CHE∽△AHB，则有∠CEH＝∠ABH，由CE∥AB，得到AH＝BH，如图所示，作HG⊥AB，垂足是G，由勾股定理、三角函数的计算得到AB=10，cs∠ABC=45，在Rt△BHG中，cs∠ABC=BGBH，则有5BH=45，得到BH=254，再根据CEAB=CHBH，即可求解；
（3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当∠CFH＝∠CHF时，可证AH平分∠CAB，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得HG；第二种情况：当∠CHF＝∠HCF时，可得tan∠CHF＝tan∠CAB，则ACCH=BCAC，即6CH=86，即可求解；第三种情况：当∠HCF＝∠HFC时，结合（2）的计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AF，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴△ACH∽△BEH，
∴AHBH=CHEH即AHCH=BHEH；
（2）解：∵AHCH=BHEH，∠CHE＝∠AHB，
∴△CHE∽△AHB，
∴∠CEH＝∠ABH，
∵CE∥AB，
∴∠CEH＝∠HAB，
∴∠ABH＝∠HAB，
∴AH＝BH，
如图所示，作HG⊥AB，垂足是G，
∵HG⊥AB，
∴BG=12AB，
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，cs∠ABC=45，
∴BG＝5，
在Rt△BHG中，cs∠ABC=BGBH，
∴5BH=45，
∴BH=254，
∴CH=BC−BH=74，
∵CE∥AB，
∴CEAB=CHBH，即CE10=74254，
∴CE=145；
（3）解：①当∠CFH＝∠CHF时，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠CHF＝∠AFD，
∵∠CHF+∠CAH＝∠AFD+∠FAD＝90°，
∴∠CAH＝∠FAD，
∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，HG⊥AB，
∴CH＝HG，
∵AH＝AH，CH＝GH，
∴△ACH≌△AGH（HL），
∴AG＝AC＝6，
∴BG＝AB﹣AG＝4，
在Rt△BHG中，tan∠ABC=HGBG，
∴HG=4×34=3，即CH＝3；
②当∠FHC＝∠FCH时，
∵∠HCF＝∠CAB，
∴∠CHF＝∠CAB，
∴tan∠CHF＝tan∠CAB，
∴ACCH=BCAC，即6CH=86，
∴CH=92；
③当∠HCF＝∠HFC时，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠HCF＝∠AFD，
∵∠HCF+∠ABC＝∠AFD+∠FAD＝90°，
∴∠ABC＝∠FAD，
∵∠ABC＝∠CEA，
∴∠FAD＝∠CEA，
∴CE∥AB，
由（2）可知，在Rt△BHG中，cs∠ABC=BGBH，
∴5BH=45，
∴BH=254，
∴CH=BC−BH=74，即CH=74；
综上所述，CH＝3或92或74．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1＝ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．
（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2，已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数y1的图象上时，求OP的长．
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值．
【分析】（1）利用二次函数y1＝ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），分别代入求出a，c的值即可；
（2）①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；
②分别利用当点F、点N重合时，当点F、点Q重合时，当点P、点N重合时，当点P、点Q重合时，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），
∴将（0，0），代入得出：
c＝0，
将（1，2）代入得出：
a+3＝2，
解得：a＝﹣1，
故二次函数解析式为：y1＝﹣x2+3x，
∵图象与x轴相交于另一点B，
∴0＝﹣x2+3x，
解得：x＝0或3，
则B（3，0）；
（2）①由已知可得C（6，0）
如图：过A点作AH⊥x轴于H点，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴OPPD=OHAH，
即aPD=12，
∴PD＝2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函数y1＝﹣x2+3x的图象上，
∴a=79；
即OP=79．
②如图1：
当点F、点N重合时，有OF+CN＝6，
∵直线AO过点（1，2），
故直线解析式为：y＝2x，
当OP＝t，
则AP＝2t，
∵直线AC过点（1，2），（6，0），
代入y＝ax+b，
a+b=26a+b=0，
解得：a=−25b=125，
故直线AC的解析式为：y=−25x+125，
∵当OP＝t，QC＝2t，
∴QO＝6﹣2t，
∴GQ=−25（6﹣2t）+125=45t，
即NQ=45t，
∴OP+PN+NQ+QC＝6，
则有3t+2t+45t＝6，
解得：t=3029；
如图2：
当点F、点Q重合时，有OF+CQ＝6，则有3t+2t＝6，
解得：t=65；
如图3：
当点P、点N重合时，有OP+CN＝6，则有t+2t+45t＝6，
解得：t=3019，
如图4：
当点P、点Q重合时，有OP+CQ＝6，则有t+2t＝6，
解得：t＝2．
故此刻t的值为：t1=3029，t2=65，t3=3019，t4＝2．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°＝1，∴asinA=bsinB=csinC．
拓展探究：
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？请说明理由．
解决问题：
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．
【分析】拓展研究：仍然成立，理由：过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，先根据正弦的定义可得sinB=CDBC=CDa，sin∠BAC=CDAC=CDb，从而可得asin∠BAC=bsinB，同样的方法可得bsinB=csin∠BCA，由此即可得；
解决问题：先根据三角形的内角和定理可得∠CBA＝45°，再根据拓展研究的结论求解即可得．
【解答】解：拓展探究：结论asinA=bsinB=csinC仍然成立．
理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB=AEAB=AEc，
在Rt△BCD中，sinB=CDBC=CDa，
在Rt△ACD中，sin∠BAC=CDAC=CDb，
∴CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴asinB＝bsin∠BAC，
∴asin∠BAC=bsinB，
同理可得：bsinB=csin∠BCA，
∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA．
解决问题：在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵ABsinC=ACsin∠CBA，AC＝40m，
∴ABsin60°=40sin45°，
∴AB＝40sin60°×sin45°＝206（m），
答：点A到点B的距离为206m．
4．综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．
实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表：
任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式．
解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是ℎ=ℎ0−12gt2，其中g为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同．
任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）．
任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）．
【分析】任务1：由表格数据知，对应的函数表达式为一次函数；
任务2：令ℎ=ℎ0−12gt2=0，则t=2ℎ0g，反弹时，y＝0.5x，则此时高度为12h0，同理可得：t=ℎ0g，即可求解；
任务3：y=12x，100×（12）6=2516＜2，故反弹的次数为6次，参考任务2，即可求解．
【解答】解：任务1：设下落的高度为x cm，反弹的高度为y cm，
设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（80，40）、（90，45）代入上式得：
40=80k+b45=90k+b，解得：k=0.5b=0，
故函数的表达式为：y＝0.5x；
任务2：令ℎ=ℎ0−12gt2=0，则t=2ℎ0g，
反弹时，y＝0.5x，则此时高度为12h0，
同理可得：t=ℎ0g，
则总时间为：t=2ℎ0g+ℎ0g；
任务3：100cm＝1m，
∵y=12x，100×（12）6=2516＜2，
故反弹的次数为6次，
由（2）知，开始的时间t=2ℎ0g=2×110=55，
第一次反弹t=ℎ0g=55×22，
则第n次反弹t=ℎ0g=55×（22）n，
第（n+1）次反弹t=ℎ0g=55×（22）n+1，
则从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间=55×（22）n+55×（22）n+1=25+1010（22）n．
5．【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（−2n−1，n﹣1）或（2n−1，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y=12x2−12的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为（±2n−1，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±52−42=±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±n2−(n−1)2=±2n−1，
∴该点的坐标为（−2n−1，n﹣1）或（2n−1，n﹣1）．
∵（±2n−1）2＝2n﹣1，n﹣1=2n−1−12，
∴该点在二次函数y=12（x2﹣1）=12x2−12的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±2n−1，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，12m），
∴(±2n−1−0)2+(n−1−12m)2=12m，
∴m=n2n−1=(n−1+1)2n−1=(n−1)2+2(n−1)+1n−1=n﹣1+2+1n−1．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．
6．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4a+1图象的一部分，已知图象过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC1；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°，求幼苗叶片的长度PD．
【分析】（1）把原点（0，0）代入解析式y＝ax2﹣4ax﹣4a+1，求得a值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先求出点C的坐标为（4，0），再求出CC1的解析式为：y＝﹣x+4．然后求出点G的坐标为(32，52)，最后求出结果即可；
（3）作PF⊥抛物线的对称轴于点F，则∠PFD＝90°，设点P的横坐标为x，得出PF＝FD＝2﹣x，根据点P在抛物线上，列出方程1−x=14x2−x，得出点P的坐标为（﹣2，3），最后求出PD即可．
【解答】解：（1）心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4a+1图象的一部分，且图象过原点，将（0，0）代入得：
﹣4a+1＝0．
解得：a=14．
∴抛物线的解析式为y=14x2−x=14(x−2)2−1，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）；
（2）∵抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，
当y＝0时得：0=14x2−x，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴设CC1的解析式为y＝﹣x+b．将点C的坐标代入得：
﹣4+b＝0．
解得：b＝4．
∴CC1的解析式为y＝﹣x+4．
联立得：y=−x+4y=x+1，
解得：x=32y=52，
∴点G的坐标为(32，52)，
∴CG=(4−32)2+(0−52)2=522，
∴CC′=2CG=52；
（3）作PF⊥抛物线的对称轴于点F，则∠PFD＝90°，
∵直线PD与水平线的夹角为45°，
∴PF＝FD．
设点P的横坐标为x，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴PF＝FD＝2﹣x．
∵顶点D的坐标为（2，﹣1），
∴点P的纵坐标为﹣1+2﹣x＝1﹣x．
∵点P在抛物线上，
∴1−x=14x2−x，
解得：x＝±2，
∴点P的坐标为（﹣2，3），
∴PD=(−2−2)2+(−1−3)2=42．
7．（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，若BE＝3，则DE＝ 94 ．
（2）如图2，在锐角△ABC中（AB＜AC），∠C＝45°，AB＝4，AD为BC边上的高，若S△ABD=94，求BC的长．
（3）如图3，⊙O为△ABD的外接圆，已知⊙O的半径为5，弦AC⊥BD于点H．且AC＝BD，DE为⊙O的一条直径．M、N分别为BD、DE上一点，连MN、ME．若∠DMN＝∠BAD，S△ABH=72，求△EMN面积的最大值．
【分析】（1）根据同角的正切即可解答；
（2）先根据勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，由S△ABD=94得：12•BD•AD=94，两式结合变形后即可解答；
（3）如图3，连接EB，根据四边形内角和定理证明∠ENM＝90°，过点O作OP⊥AC于P，作OQ⊥BD于Q，证明四边形OPHQ是正方形，设HQ＝a，BH＝x，利用勾股定理列方程a2+（a+x）2＝52，结合S△ABH=72和二次函数的最值即可解答．
【解答】解：（1）如图1，∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴tanB=DEBE=ACBC，
∵AC＝3，BC＝4，BE＝3，
∴DE3=34，
∴DE=94；
故答案为：94；
（2）如图2，∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
∵AB＝4，
∴AD2+BD2＝16，
∵∠C＝45°，
∴AD＝CD，
∵S△ABD=94，
∴12•BD•AD=94，
∴AD•BD=92，
∴（AD+BD）2﹣2AD•BD＝16，
∴BC2﹣9＝16，
∴BC2＝25，
∴BC＝5（负值舍）；
（3）如图3，连接EB，
∵∠BED＝∠BAD，∠BAD＝∠DMN，
∴∠DMN＝∠BED，
∵∠DMN+∠BMN＝180°，
∴∠BED+∠BMN＝180°，
∴∠EBD+∠ENM＝180°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠ENM＝90°，
过点O作OP⊥AC于P，作OQ⊥BD于Q，
∴BQ＝DQ，CP＝AP，
∵AC＝BD，
∴OP＝OQ，AP＝CP＝BQ＝DQ，
∵∠OPH＝∠OQH＝∠PHQ＝90°，
∴四边形OPHQ是正方形，
∴PH＝HQ，
设HQ＝a，BH＝x，
∴DQ＝BQ＝AP＝a+x，
∵⊙O的半径为5，
∴a2+（a+x）2＝52，
∴2a2+2ax+x2＝25，
∵S△ABH=72，
∴12•BH•AH=72，即12•x•（2a+x）=72，
∴2ax+x2＝7，
∴2a2+7＝25，
∴a＝3（负值舍），
∴OQ＝3，
∵OD＝5，
∴DQ＝4，
∴tan∠QDO=OQDQ=MNDN=34，
∴设MN＝3m，DN＝4m，则EN＝10﹣4m，
∴△EMN面积=12•MN•EN=12•3m•（10﹣4m）＝﹣6m2+15m＝﹣6（m−54）2+758，
∴△EMN面积的最大值是758．
8．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是 ③ ．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝5+53，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，△ABC中，AC=23，csA=32，BC＝m，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的m的取值范围是 3＜m＜23 ．
【分析】（1）根据解直角三角形的定义得到结论；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，根据三角函数的定义得到AD=3x，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD＝x，求得x＝5，于是得到∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°，AC＝2CD＝2×5＝10，BC=2CD＝52；
（3）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，根据直角三角形的性质得到CD=12AC=3．当BC＝CD＝m或BC≥AC时，BC有唯一解，当CD＜BC＜AC时，即3＜m＜23时，BC有两个解，于是得到结论．
【解答】解：（1）解直角三角形中，在已知的两个元素中，至少含有一条边，故答案为：③；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，
设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA=CDAD，
∴xAD=33，
∴AD=3x，
在Rt△ACD中，∠B＝45°，
∴∠BCD＝45°＝∠B，
∴BD＝CD＝x，
∵AB＝5+53，
∴x+3x＝5+53，
∴x＝5，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°，AC＝2CD＝2×5＝10，BC=2CD＝52；
（3）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
△RtABC中，AC＝23，csA=32，BC＝m，
∴∠A＝30°，
∴CD=12AC=3．
当BC＝CD＝m或BC≥AC时，BC有唯一解，
当CD＜BC＜AC时，即3＜m＜23时，BC有两个解，
故答案为：3＜m＜23．
9．射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度y（单位：cm）与向前运动的水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表示为y＝﹣0.1x2+4x．
（1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是 0＜x＜20 ，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是 20＜x＜40 ；
（2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20cm，高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？
（3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？
【分析】（1）求得抛物线y＝﹣0.1x2+4x的对称轴为直线x=−42×(−0.1)=20，于是得到结论；
（2）把x＝20代入函数解析式得到y＝﹣0.1×202+4×20＝40＜50，于是得到这次射出的水流不能击中这只昆虫；
（3）把y＝30代入函数解析式得到0＝﹣0.1x2+4x，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣0.1x2+4x的对称轴为直线x=−42×(−0.1)=20，
∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是0＜x＜20，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是20＜x＜40，
故答案为：0＜x＜20，20＜x＜40；
（2）当x＝20时，y＝﹣0.1×202+4×20＝40＜50，
∴这次射出的水流不能击中这只昆虫；
（3）当y＝30时，0＝﹣0.1x2+4x，
解得x1＝10，x2＝30，
∴这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方10m或30m处．试次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度/cm
80
90
100
110
120
反弹高度/cm
40
45
50
56
60
试次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度/cm
80
90
100
110
120
反弹高度/cm
40
45
50
56
60