2025年中考数学考前冲刺：反比例函数与几何综合 压轴练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：反比例函数与几何综合 压轴练习题（含答案解析），共36页。试卷主要包含了如图，反比例函数等内容，欢迎下载使用。
1．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，连结AO．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
2．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与相交于点，且点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)求四边形的面积；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式．
3．如图，反比例函数（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图像与反比例函数y=（k2≠0）的图像相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．
5．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．
(1)___________，___________．
(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
(1)与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线交于点．
(1)求k的值，并在平面立角坐标系xOy中描点，画出反比例函数图象G和直线l；
(2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与图象G交于点B，与直线l交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AC、BC围成的区域（不含边界）为W．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整数点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
8．如图1，在平面直角坐标系中，在中，，，，顶点A在第一象限，点B，C在x轴的正半轴上，（C在B的右侧），可沿x轴左右移动，与关于AC所在直线对称．
(1)当时，直接写出点A和点D坐标．
(2)判断（1）中的A，D是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB多长时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，求的值．
(3)如图2，当点A，D在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与BA的延长线交于点P，当是以为底边的等腰三角形，求的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
(1)求k，b的值.
(2)当的面积为3时，求点P的坐标.
(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)当时，求k的值；
(2)点B关于y轴的对称点为C，连接；
①判断的形状，并说明理由；
②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接、，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作，交反比例函数（其中）的图像于点，连接交于点．
①求的长；
②求的值．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图象直接写出时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标 ．
13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点．
(1)求一次函数的表达式：
(2)求的面积；
(3)在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．
①求证：；
②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值．
15．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．

(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．
(2)设点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，请根据图象直接写出m的取值范围．
《2025年中考数学重难点专项训练：反比例函数与几何综合》参考答案
1．（1）反比例函数关系式为y=−，一次函数关系式为y=−3x−2；（2）C(0,)或（0，）或（0，1）或（0，2）.
【分析】（1）将点A（-1，a）、B（，-3）代入反比例函数y=中得：-3×=（-1）×a=k1，可求k1、a；再将点A（-1，a）、B（，-3）代入y2=k2x+m中，列方程组求k2、m即可；
（2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标．
【详解】(1)∵反比例函数y=的图象经过B(,−3)，
∴k1=3××(−3)=−3，
∵反比例函数y=的图象经过点A(−1,a)，
∴a=1.
由直线y2=k2x+m过点A，B得：
，
解得
∴反比例函数关系式为y=−，一次函数关系式为y=−3x−2；
(2)点C在y轴上,且与点A. O构成等腰三角形,点C的坐标为：(0,−)或(0, )或(0,2)或(0,1).

如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个；
以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个；
以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个.
以上四个点为所求.
2．(1)
(2)
(3)解析式为
【分析】（1）先根据点为对角线的中点求出点坐标，代入反比例函数即可得出结论；
（2）根据（1）中反比例函数的解析式求出点坐标，根据即可得出结论；
（3）连接，先求出点的坐标，再由图形翻折变换的性质得出，根据勾股定理求出的长，进而得出点坐标，根据相似三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可．
【详解】（1），点为对角线的中点，
，
点在反比例函数上，
，
反比例函数的关系式为：；
（2）反比例函数的关系式为，四边形是矩形，，
，
，
，
；
（3）设点，，
反比例函数的图象与矩形的边交于点，
过点作于点，连接，
则，
，
，
，
故，
，
解得，
，
连接，设，则，，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
即，解得，
，．
设直线的解析式为，
，，．
，解得，
直线的解析式为．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、勾股定理等知识，难度适中．
3．（1）反比例函数的解析式是（2）直线AB的解析式为y＝－x＋4
【详解】解：(1)∵反比例函数(k为常数， k≠0)的图象经过点A(1，3)，
∴，
解得k＝3．
∴反比例函数的解析式为．
(2)设B(a，0)，则OB＝a．
∵△AOB的面积为6，
∴，
解得a＝4．
∴B(4，0)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∵直线AB经过点A(1，3)，点B(4，0)，
∴
解得
∴直线AB的解析式y＝－x＋4．
4．(1)y＝x+1；
(2)△AOD的面积为10
【分析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求出值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
(2)利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）∵反比例函数图像与一次函数图像相交于点A（3，4），B（﹣4，m），
，
解得k2＝12，
∴反比例函数解析式为，
，
解得m＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）∵A（3，4），
，
∴OA＝OD，
∴OD＝5，
△的面积×5×4=10．
【点睛】本题是反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
5．(1)1，
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即．
∵一次函数的图像过点，
∴，解得．
故答案为：1，；
（2）解：存在．理由如下：
若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，
如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
②当点B为直角顶点时，
如图，过点B作，且，连接，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
（3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），
∴设点，
则点，
则，
解得，（舍去），
故点C的坐标为．
【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键．
6．(1)A
(2)①，；②8
(3)存在，，
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．
（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，证得，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；
②借助割补法求面积，将的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．
（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．
【详解】（1）将点，分别代入，
得，
故选A．
（2）①由（1）得：，，设
过点A作轴于点，过点B作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴，
∴反比例函数的表达式为
②如图，作轴，轴，轴，
由①知，，
则
综上所述，的面积为8．
故答案为：8．
（3），
图解：①为边
即：
②为对角线
即：
【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．
7．(1)；图象见详解；
(2)①当时，区域W内的整点有3个；②或；
【分析】（1）将A点坐标代入函数求出a的值，再将A点坐标代入函数，求出k的值即可；（2）①根据题目要求画出过P点平行与x轴的图象，根据图象可看出W内的整点有3个；②根据题目要求画图图像，根据图象分析可看出，如果区域W内的整数点恰好为3个，n的取值范围为：或．
【详解】（1）解：将A点坐标代入函数中得：，
∴A点坐标为（3,2），
将（3,2）代入函数中得：，
解得：，
故k的值为6，
反比例函数图象G和直线l的图象如下图所示：
（2）①解：当n=5时，
将y=5代入得：，
解得：，
故B点坐标为 ，
同理将y=5代入中，
解得：，
C点坐标为 ，
∴如图1所示W区域内的整数点有三个，分别为： ，，．
②解：由图1，可知当P点在A点上方时，当 时区域W内的整数点恰好为3个，
由图2可知当在A点下方时，当 时区域W内的整数点恰好为3个，
综上所述，若区域W内的整数点恰好为3个，n的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及用待定系数法求函数解析式，数形结合思想是解题的关键．
8．(1)，
(2)不在，理由见解析，
(3)
【分析】（1）过点D作轴与点E，由，，，可得点A的坐标，由勾股定理求得，再求得，，，即可得到点D的坐标；
（2）由得到点在反比例函数上，由点，得到点在反比例函数上，得到A，D不在同一个反比例函数图象上，由，，求得，即可得到答案；
（3）由平移到，点在反比例函数的图象上，得，求得，由是以为底边的等腰三角形得，由两点间距离公式即可求得m的值，进而求得的值．
【详解】（1）解：过点D作轴与点E，
∵，，，
∴点A的坐标是，
∴，，，
∴，
∴
∵与关于AC所在直线对称，
∴，，
∴，
∴,
∴，，
∴，
∴；
（2）∵点，,
∴点在反比例函数上，
∵点，,
∴点在反比例函数上，
∴A，D不在同一个反比例函数图象上，
∵，，，
解得，
此时，
∴当时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，
即；
（3）设四边形ABCD向右平移m个单位长度，
由（2）知点，
∴平移到，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵点，
∴点P的横坐标为3，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
由两点间距离公式可得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
即的值是．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，图形的平移，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)或，
【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；
（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；
（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【详解】（1）∵直线过点，
∴，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∵过点，
∴；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）如图1，
∵，，
∴
当是边，点D在x轴正半轴上，
作于F，作于G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：，
∴，
∴，
当是对角线时，
当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：，
∴，
∴，
∴，
如图4，
，
∴，
∴，（舍去），
当时，，
∴，
综上所述： 或，.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
10．(1)；
(2)①为直角三角形，理由见解析；②点P的坐标为或或或．
【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解；
（2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解．
【详解】（1）解∶设点B的坐标为，则点，则：
，
解得（负值已舍去），
故点B的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，
解得∶；
（2）解：①为直角三角形，理由∶
设点，则点，
∵点A、C的横坐标相同，
∴轴，
∴点B关于y轴的对称点为C，
∴轴，
∴，
∴为直角三角形；
②由①得∶，
则的面积，
解得（负值已舍去），
∴点B的坐标为，C的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得，
∴反比例函数表达式为①；
过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，
同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求．
∵，
∴设直线m的表达式为，
将点C的坐标代入，解得，
故直线m的表达式为②，
根据图形的对称性，则直线n的表达式为③，
联立①②并解得∶
或，
联立①③并解得∶
或，
∴点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强．
11．（1）；（2）①；②4
【分析】（1）要求的值，只需要求出的坐标即可，所以过作轴于，由于，所以，利用勾股定理求出的长，得到的坐标，代入到反比例函数解析式中即可解决；
（2）①因为轴，所以的横坐标为10，由于在反比例函数图象上，所以可以求出的纵坐标，在直角三角形中，利用勾股定理可以求出的长度；②要求的值，由的长度已知，所以只需要求出或者的长度即可，因为是直线和直线的交点，所以求出直线和直线的解析式，联立两个函数解析式，求得的坐标，进而求出线段的长度，即可解决，此题也可以平行线构造相似来解决．
【详解】解：（1）过作于，如图1，
，
，
，
的坐标为，
为反比例函数（其中图象上的一点，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）①，
的坐标为，
轴交反比例函数图象于点，
的横坐标为10，
令，则，
，
，
；
②设直线为，代入点的坐标得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，代入点的坐标得，
直线的解析式为，
联立，
解得，
的坐标为，
，
，
．
【点睛】本题是一道反比例函数综合题，注意等腰三角形的性质和勾股定理在求线段时的作用，求线段比可以用直接解析法和相似来转化．
12．(1)，；
(2)
(3)或
(4)或，或或
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据两三角形面积和可得结论；
（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值；
（4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标．
【详解】（1）解：点坐标为
把点的坐标代入中得：
反比例函数的解析式是：
把点的坐标为代入中，得：，
把、两点的坐标代入中得：，解得：
一次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，当时，，，
，
；
（3）解：由图象得：时的取值范围是：或；
（4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当时，如图2，
，
，
，或，；
②当时，如图3，
；
③当时，如图4，过作轴于，
设，则，，
，
，
，
，；
综上，的坐标为或，或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．
13．(1)
(2)3
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）将△AOB的面积转化为的面积即可；
（3）设，结合，，列出方程，求出y值，进而即可确定点P坐标．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为，
又∵点B也在反比例函数上，
∴，
解得．
∴点B的坐标为，
又∵点A、B在的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）直线与x轴的交点为N，
当时，，
∴点N的坐标为，
∴；
（3）设，由（2）知，则，
∵，
∴，
∴，
则或，
将代入中，得，
解得，
将代入中，得，
解得，
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
14．（1）；（2）①见解析；②8．
【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；
（2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由AAS即可证明；
②由“ZJ距离”的定义可知为MN两点的水平距离与垂直距离之和，故，即只需求出B点坐标即可，设点，由可得，进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
【详解】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC=5，
∴,即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE=1，
∴，
∴．
（2）①在为等腰直角三角形中，，，
∴，
又∵BF⊥y轴，
∴，
∴
在和中
，
∴，
②解：设点坐标为，
∵
∴，，
∴，
设直线AB解析式为：，将AB两点代入得：
则．
解得，．
当时，，，，符合；
∴
，
当时，，，，不符，舍去；
综上所述：．
【点睛】此题属于代几综合题，涉及的知识有：反比例函数、一次函数的性质及求法、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形性质等，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．
15．(1)，
(2)或
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
（1）把B的坐标代入一次函数解析式求出b的值，再把A的坐标代入一次函数解析式求出a的值，最后把A的坐标代入反比例函数解析式求解即可；
（2）确定n的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，
∴，
∴或，
当时，；当时，，
由图象可知，若点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，则m的取值范围为或．