2025年中考数学考前冲刺：二次函数与几何综合题 压轴练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：二次函数与几何综合题 压轴练习题（含答案解析），共97页。试卷主要包含了抛物线与x轴交于A等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
(1)直接写出A，两点的坐标；
(2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
(3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．
2．已知，二次函数 和平面直角坐标系xy中的点A（5，0）、点B（0，5）

(1)若二次函数图象 经过A、B两点，
①求二次函数的解析式；
②如图1，D在抛物线上，且在第一象限，OD与AB交于点E，求 的最大值；
(2)当 时，若二次函数图象经过点且顶点在△AOB的内部，试比较 的大小
3．抛物线与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2）．
(1)求B点坐标；
(2)如图1，点E在第一象限的抛物线上，连接BE，交OB于点D，连接DE，△DBE的面积为4．
①连接CE，直接写出四边形COBE的面积；
②求E点坐标．
(3)如图2，将直线AC绕点P（m，n）顺时针旋转90°后，得到的对应直线FG与抛物线有唯一公共点，求m与n的数量关系．
4．如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；
(3)过点的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
5．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
(1)直接写出点B的坐标（_____，_____）和直线BC的解析式_______；
(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；
(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值．
6．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值和直线对应的函数表达式；
(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
8．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，求m值．
(3)点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q坐标．
9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．
（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．
10．已知，如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；
（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x﹣，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点．①求证：MN的长度为定值；
②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值
11．抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．
12．如图1，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于C，且满足OA＝OB＝OC＝2．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，D为y轴负半轴上一点，过D作直线l垂直于直线BC，直线l交抛物线于E，F两点（点E在点F右侧），若DF＝3DE，求D点坐标；
(3)如图3，点M为抛物线第二象限部分上一点，点M，N关于y轴对称，连接MB，P为线段MB上一点（不与M、B重合），过P点做直线x＝t（t为常数）交x轴于S，交直线NB于Q，求QS－PS的值（用含t的代数式表示）．
13．如图1，已知抛物线经过点，且交轴于，两点，交轴于点，已知点，是抛物线在第一象限内的一个动点，于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的值；
(3)是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的解析式 ；
(2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标；
(3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为 ．
15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线x＝m（0＜m＜4）交抛物线于M点，交BC于N点，且CM//ON，求m的值；
（3）如图2，若点P为抛物线x轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且OM•ON＝，求P点坐标．
16．二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标．
（2）如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标．
（3）如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标
18．如图1，抛物线与轴，轴分别交于点，点，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，连接，．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
19．如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标；
（3）如图2，直线交轴于点，过直线上的一动点作轴交抛物线于点，直线交抛物线于另一点，直线交轴于点，试求的值．
20．抛物线C：y＝﹣x2+2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）写出AB的长；
（2）如图1，已知C（0，2），点E是x轴正半轴上的点，OE的垂直平分线MN，交OE于点F．交CE于点M，交抛物线C于点N，若MN＝2，求点E的坐标；
（3）如图2．将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到抛物线C1，点D是抛物线C1的顶点，点P是抛物线C1在第一象限上的动点，PP'⊥y轴，交抛物线C1于点P'，直线PO交抛物线C1于点Q，直线QP'交y轴于H，求证：HD＝OD．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点．点的坐标是，连接，．
（1）求过，，三点的抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）抛物线上是否存在着一点，使的面积为25？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线上，是否存在着一点，使为以为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线与轴相交于， 两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在轴上，且在点左侧、，求点 的坐标．
（3）若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点 ，与交于点．
①求线段长度的最大值．
②在①的条件下，若为轴上一动点，求的最小值．
23．如图，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）求证：．
（3）若，在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及的最大面积；若不存在，请说明理由．
24．如图１，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧)，与y轴交于点C．
（1）若A（-1，0），B （3，0），C（ 0，-3）
①求抛物线的解析式；
②若点P为轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）如图2，若直线与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）．直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．
25．抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．
(1) 直接写出点E的坐标为__________
(2) 如图，直线y＝x与抛物线交于点M、N，求OM·ON的值．
(3) 如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK，求证：HE∥GK．
26．如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点（在左边），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一动点，，求点的坐标；
（3）如图2，交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．
27．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
28．如图1，已知抛物线y＝a（x－1）2与y轴交于点B(0，)，点C为抛物线的顶点．
（1）直接写出该抛物线的解析式．
（2）点A在抛物线上，且AC⊥BC，求点A的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，作线段AC的垂直平分线交抛物线于点D，交AC于点M，点F在直线DM上，求△FBC的最小周长，直接写出当△FBC周长最小时点F的坐标．
29．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点（A在B左侧），与y轴交于C（0，3）．已知对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P为抛物线上的点，P点到直线BC的距离为，求点P的坐标．
（3）将抛物线向左平移至对称轴为y轴（如图2）．交x轴于M，N．D为顶点，E是线段ON上一动点，EF∥y轴交抛物线于F，DE交抛物线于Q，求直线QF与y轴的交点H的坐标．
30．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P(1，9)，与x轴的交点为A(﹣2，0)，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO，求点M的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为y＝ax2+bx+h，E，F新抛物线在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若始终存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．
31．如图1，已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为轴上方抛物线上的一点，与抛物线的对称轴交于点，若，求点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为，，是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，轴，轴，垂足分别为，，若始终存在这样的点，，满足，求的取值范围．
32．已知抛物线：（m＞0）的顶点为M，交y轴于点G．
（1）如图，若点G坐标为(0，)
①直接写出抛物线解析式；
②点Q在y轴上，将线段QM绕点Q逆时针旋转90°得线段QN，若点N恰好落在抛物线上，求点Q的坐标．
（2） 探究： 将抛物线沿唯一的定直线x=a对称得抛物线，记抛物线交y轴于点P (0，－2m)，求a的值．
33．抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点.
（1）如图1，当时.
①直接写出点，，的坐标；
②若抛物线上有一点，使，求点的坐标.
（2）如图2，平移直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值.
34．已知抛物线过点（3，1），D为抛物线的顶点．直线l：经过定点A．
（1）直接写出抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图，直线l与抛物线交于P，Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值.
35．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)，；
(2)0，或；
(3)．
（1）解：令，解得：，，
∴，．
（2）解：∵，
∴，
∴直线的解析式为．
①若点在下方时，
过点作的平行线与抛物线的交点即为．
∵，，
∴的解析式为．
联立，
解得，，（舍）．
∴点的横坐标为0．
②若点在上方时，点关于点的对称点为．
过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点．
直线的解析式为．
联立，得，
解得，，．
∴点，的横坐标分别为，．
∴符合条件的点的横坐标为：0，或．
（3）
解：设点的横坐标为．过点的直线解析式为．
联立，得．
设，是方程两根，则．（*）
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
同（*）得，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
2．(1)
(2)b=12时，； ，；，
(1)解：①把点A、B的坐标代入函数解析式得：
，
解这个方程组得：，
∴所求二次函数的解析式为：；
②过D作DP⊥x轴于点P，交AB于点F，如图所示：
设点P的横坐标为p，则点D的坐标为（p，，
设直线AB的解析式为，把点A、B的坐标代入此解析式得：，
∴，
∴直线AB的解析式为：，
∴点F的坐标为（p，-p+5），
∴OB=5，DF=-（-p+5）=，
∵，
∵，
∴有最大值，最大值为．
(2)
∵a=-1，
∴=，
∴顶点坐标为（b，4b+1），
∴x=b，y=4b+1，
∴y与x之间的函数关系式为：，
设直线与y轴交于点M，与直线AB交于点N，则点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（，），
∵抛物线的开口向下，顶点在△AOB的内部，
∴顶点只能在线段MN上（不含M、N）
∴；
①如图1，当轴时，抛物线的对称轴垂直平分CD，，
此时抛物线的对称轴x=b=，即：b=时，；
②如图2，当点C离对称轴较近时，，此时；
③如图3，当点C离对称轴较远时，，此时．

3．(1)点B的坐标为（4，0）
(2)①8；②点E的坐标为（2，3）
(3)
（1）解：把A（－1，0），C（0，2）两点的坐标分别代入到中，得：，解得，∴抛物线的解析式为，令y＝0，即，解得，，∴点B的坐标为（4，0）；
（2）①连接BC，， ，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，=4四边形COBE的面积+=4+4=8则四边形COBE的面积；8，②连接OE，BC，如图：∵，，∴，设点E的坐标为，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，∴，，解得，当m＝2时，，∴点E的坐标为（2，3）；
（3）过P作FP⊥AP且FP＝AP，作轴，交x轴于N，过F作FM⊥MP于M，，∴AN＝MP＝m＋1，NP＝FM＝n，∴F点坐标为（m－n，m＋n＋1）∵设旋转后得△FGQ，则，∴FQ＝AO＝1，GQ＝CO＝2，∴G点坐标为设直线FG解析式为则解得∴直线FG解析式为∴由得∵直线FG与抛物线有唯一公共点，∴∴．
4．(1)
(2)或
(3)存在，
(1)解：（1）将点代入，
得－16－4n＋4＝0，解得n＝－3，
∴；
(2)
令y＝0，则，
解得x＝－4或x＝1，
∴B（1，0），
令x＝0，则y＝4，
∴N（0，4），
∴ON＝4，OB＝1，
∴，
如图1，当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点，
∵A（－4，0），N（0，4），
∴OA＝ON，，
∴∠ANO＝45°，
∵∠HNA＝90°，
∴∠HNK＝45°，
∴HK＝KN，
∵∠HAN＝∠ONB，
∴，
∴，
∴KN＝HK＝1，
∴H（－1，5），
设直线AM的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴，
联立方程组，
解得或x＝－4（舍），
∴；
如图2，当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W，
∵∠ANO＝45°，∠ANG＝90°，
∴∠WNG＝45°，
∴NW＝WG，
∵，
∴，
∴WG＝WN＝1，
∴G（1，3），
则直线AM的解析式为，
联立方程组，解得或x＝－4（舍），
∴；
综上所述：点M的坐标为或；
(3)
存在t的值使得OP与OQ的积为定值，理由如下：
设，，
设直线BE的解析式为y＝k（x－1），
将点E代入y＝k（x－1），得k＝－e－4，
∴，
令x＝0，则y＝e＋4，
∴P（0，e＋4），
∴OP＝e＋4，
设直线BF的解析式为y＝m（x－1），
点F代入，得，
∴，
令x＝0，则，
∴，
∴，
∴，
设直线EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，，
∴，
当t＋4＝0时，为定值，
∴，．
5．(1)4，0，
(2)或或；
(3)证明见解析
(1)解：对抛物线与来说，
当y＝0时，，
解得，
由图像可知，点B的横坐标大于0，
∴点B的坐标是（4，0），点A的坐标是（﹣1，0）
当x＝0时，得y＝﹣2，即点C的坐标是（0，﹣2），
设直线BC的表达式是y＝kx＋b，将B、C两点坐标代入，得

解得
∴直线BC的解析式为
故答案为：4，0；
(2)
解：由题意和（1）可知，抛物线的对称轴为，设点D的坐标为（，），
当四边形CBED是平行四边形时，
CBDE且CB＝DE，
则点C（0，﹣2）向右平移4个单位，向上平移2个单位到点B（4，0），
∴点D向右平移4个单位，向上平移2个单位到点E，
∴点E坐标是（+4，+2）即（，+2）
∵点E在抛物线上，
∴+2＝
∴＝
∴点E坐标是（，），即点E的横坐标是；
当四边形CBDE是平行四边形时，
CBED且CB＝ED，
则点B（4，0）向左平移4个单位，向下平移2个单位到点C（0，﹣2），
∴点D向左平移4个单位，向下平移2个单位到点E，
∴点E坐标是（－4，－2）即（﹣，－2）
∵点E在抛物线上，
∴－2＝
∴＝
∴点E坐标是（﹣，），即点E的横坐标是﹣；
当四边形CEBD是平行四边形时，BC是对角线时，
DBCE且DB＝CE，
则点D（，）向左平移个单位到，向下平移（+2）个单位，到点C（0，﹣2），
∴点B（4，0）向左平移个单位到，向下平移（+2）个单位，到点E（， ），
∴点E的横坐标是
∵点E在抛物线上，
∴＝
∴点E的坐标是（，﹣）即点E的横坐标是；
综上所述，点E的横坐标是或或；
(3)
解：由（1）知，直线BC的解析式为，点A的坐标是（﹣1，0）
设直线l 的表达式为
联立得方程组得
设点M的坐标是（，），点N的坐标是（，）
由一元二次方程根与系数关系得＋＝4，＝﹣4，
∵点M、N在直线l上
∴，
设直线AM的解析式为，
把点A、点M坐标坐标代入，并联立得
解得
即直线AM的表达式y＝x+
令x＝0，得y＝，即＝
同理，设直线AN的解析式为，把点A、点N坐标坐标代入，并联立得
得
即直线即直线AN的表达式y＝x+
令x＝0，得y＝，即＝
故＋＝＋
＝
∵＋＝4，＝﹣4，
∴＋＝
即＋＝-2
∴＋为定值．
6．(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）
存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．
当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
7．(1)，；
(2)，，；
(3)
（1）解：将代入，化简得，则（舍）或，∴，得：，则．设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为．
（2）解：如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，，∴直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，∴，由直线AG的表达式可得，∴，，∴直线的表达式为，联立，解得：，，∴，，∴，，．
（3）解：如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，则，．设，∵，，∴．由，则，即，解之得，．所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，，，又，则．所以．
8．(1)；
(2)的值为或；
(3)点的坐标为，或，或或，．
（1）解：由题意得：，解得：，抛物线的函数表达式为：；
（2）解：当点在直线上方时，过点作交的延长线交于，垂足为，作轴交于，点的坐标为，对称轴为直线．点的坐标为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，联立得（舍去）或，；当点在直线下方时的位置），延长交于，过作轴于，，，，，，，，，，，直线的解析式为，联立得（舍去）或，；综上，的值为或；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，点坐标为，，直线为，设，，，①当是菱形的边时，如图， 时，，解得或，，或，，点的坐标为，点的坐标为，，或，，时，，解得（舍去）或，，点的坐标为，点的坐标为，，综上，当是菱形的边时，点的坐标为，或，或；②当是菱形的对角线时，如图， ，，解得，，，点的坐标为，点的坐标为，，，综上所述，点的坐标为，或，或或，．
9．（1）；（2），，2,0；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，设
将代入，即
解得
抛物线的解析式
（2）由y＝﹣x+4
令，则，令，则
设与轴交于点,则
是等腰直角三角形
则
①当，
则,
设，则，
则，在线段上，
即
又点在上，即
解得（舍）
此时点与点重合，点与点重合，如图，
则,
②当
同理,
设，则，其中
又点在上，即
解得（舍）
则此时点与点重合，点与点重合，如图，
则
③当时，如图，
由
解得
，是等腰直角三角形
,
轴
设，则，其中
又点在上，即
解得
的横坐标为，
综上所述的横坐标为，，2,0
（3）设直线PC： y＝mx+n，则，直线，则，直线的解析式为
由y＝ax2+bx+c，令，则，即
即
，即
联立抛物线y＝ax2+bx+c，
即：
则，
同理可得：，
+=
同理可得：，
即

10．（1）；（2）P点坐标为(6，2)；（3）①，②．
【详解】解：（1）在y＝x﹣2中，令y=0，x=2；令x=0，y=-2；
∴A(2，0)，C(0，-2)，
代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，∵OA=OC=2，
∴∠OCA=45°，
∵点P关于直线AC的对称点Q在y轴上，
∴∠OCA=∠PCA=45°，
∴PC⊥y轴，
∴P的纵坐标为-2，
由；
解得，(舍去)，
∴P点坐标为(6，2)；
（3）①设顶点为(m，m﹣)，平移后抛物线解析式为，
则=x-2，
，
设，
则，
∴MN=，
∴MN的长度为定值；
②如图，作KQ⊥MN，连接MK，MP，由题知P(6，2)，Q(0，4)，KQ=MN=2，则只需求QM+QN的最小值即可，
∵
∴KM=QN即求KM+MP的最小值，即KP的长，
∵Q(0，4)，KQ=2，
∴K(-2，2)，
∴KP=，
∴△QMN的周长的最小值为．
11．（1）；（2）4；（3）
【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到
抛物线的对称轴为，即，解得
∴抛物线的方程为
（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵轴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
设，则，
∴
又∵
∴
解得或
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
综上所述：．
（3）设，在抛物线上，则
将代入上式，得

当时，，∴时，最小，即最小
=
当时，，∴时，最小，即最小
，
综上所述
12．(1)
(2)或
(3)
（1）解：∵OA＝OB＝OC＝2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），
把A、B、C三个点的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴，
∵EF⊥BC，
∴∠BKF=90°，
∴，
∴，
∴，
∴OG=OD，
设D点坐标为（0，n）（n＜0），则G点坐标为（n，0），设直线l的关系式为：，把D、G点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线l的解析式为：，
联立，
即，
解得：，，
∵点E在F的右边，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
当点E在y轴的右侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示：
轴，轴，
∴，
，
即：，
解得：，
∴点D的坐标为；
当点E在y轴的左侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示：
轴，轴，
∴，
，
即：，
解得：，
∴点D的坐标为；
综上分析可知：点D的坐标为或．
（3）
设点M的坐标为，则点N的坐标为，直线BN的解析式为：，把点B和点N的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BN的解析式为：，
把代入得：，
设直线BM的解析式为：，把点B和点M的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：，
把代入得：，
，
，
∴
13．(1)
(2)1或5
(3)存在；P（，）
(1)解：将D（1，5），A（－1，0）代入抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋3得，
，
解得，
∴抛物线的解析式；
(2)连接PB、PC，如图所示：
当x=0时，y=3，即C（0，3），
当y=0时，解得，
∴B（6，0），
设直线BC的解析式为，把B、C两点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PR⊥x轴交BC于点R，
则PR＝yP－yR＝＝，
在△OBC中，OC＝3，OB＝6，
由勾股定理得，BC＝，
则S△PBC＝，
又S△PBC＝，
∴ ，
解得，m＝1或5；
(3)
存在，P（，）.
∵∠PQB＝∠COB＝90°，
∴要△BPQ与△BOC相似，必有∠PBC＝∠BCO，或∠PBC＝∠CBO，
但当∠PBC＝∠BCO，PB∥OC，
此时，P，Q，B重合，不成立，舍去；
当∠PBC＝∠CBO时，
延长BP交y轴于点H，作CG⊥BP于点G，
则CG＝CO＝3，
设H（y，0），
∵∠HGC＝∠HOB＝90°，
∠GHC＝∠OHB，
∴△HGC∽△HOB，
∴，
∴，
∴CO=CG=3，
∵在和中，
，
∴，
∴GB＝OB＝6，
∴HB＝HG＋GB＝HO＋OB＝2CH，
即y＋6＝2（y－3），
解得，x＝8，
∴H（8，0），
设直线BH的解析式为y＝kx＋8，
则0＝6k＋8，得，
∴直线BH的解析式为y＝x＋8，
由
解得或（舍去），
∴P（，）．
14．(1)；
(2)；
(3)
(1)由已知可知，抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线，
抛物线，
故答案为：；
(2)，
令，，
解得或，
，，
点，在抛物线上，
，解得，
，，
设，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
，
或，
点在第二象限，
，
，；
(3)
点与在上，
，
轴，
，
设的解析式为，
，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
△，
，
直线的解析式为，
，设点D的坐标为(x，y)
∴，
∴
，
∵点D在直线MD上
，
整理得，，
，
故答案为：．
15．（1）；（2）m＝2；（3）P（，﹣）．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（2）在中，令x＝0，则y＝﹣2．
∴C（0，﹣2）．
∴OC＝2．
∵直线x＝m平行于y轴，CM//ON，
∴四边形OCMN为平行四边形．
∴MN＝OC＝2．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，则：，
解得：．
∴直线BC的解析式为：．
∴N（m，m﹣2）．
∵M（m，），0＜m＜4，
∴MN＝（m﹣2）﹣（﹣2）＝﹣+2m．
∴﹣+2m＝2．
解得：m1＝m2＝2．
∴m＝2．
（3）设P（t，），
∵点P为抛物线x轴下方一点，
∴﹣1＜t＜4．
设直线AP的解析式为，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为．
∴M（0，）．
∴OM＝﹣．
同理可得：ON＝．
∵OM•ON＝，
∴．
整理得：．
解得：．
∴P（，﹣）．
16．（1）二次函数的解析式为y=x2−2x+3，顶点坐标E（4，-1）；（2）点D的坐标为(4，3+)或(4，3−)；（3）点P的坐标为（10，8）或（-6，24）．
【详解】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x+3，
∵y=x2−2x+3= (x−4)2−1，
∴顶点坐标E（4，-1）；
（2）连接CB，CD，如图：
在二次函数y=x2−2x+3中令x=0得y=3，
∴C（0，3），
∵二次函数y=x2−2x+3的对称轴为x=4，
∴设D（4，m），而B（6，0），
∵点C在线段BD的垂直平分线CN上有CD=BC，故CD2=BC2，
∴42+（m-3）2=62+32，
解得m=3±，
∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3−)；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，如图：
设P（n，n2-2n+3），直线CP的解析式为y=kx+3，
将P坐标代入得n2−2n+3=kn+3，
∴k=n−2，
∴直线CP的关系式y= (n−2)x+3，
当x=4时，y=4(n−2)+3=n−5，
∴M（4，n-5），ME=n-5-（-1）=n-4，
∴S△CPE=S△CEM+S△PEM=（xP-xC）•ME=n•（n-4），
∴n（n-4）=30，
∴n2-4n-60=0，解得n=10或n=-6，
当n=10时，P（10，8），
当n=-6时，P（-6，24）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（-6，24）．
17．（1）；（2），；（3），；，；，；，； ，；，．
【详解】解：（1）将和代入
得
又∵顶点的坐标为
∴
∴解得
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵和
∴直线的解析式为：
∵抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，
则C点坐标为，B点坐标为．
①过点作，交抛物线于点，
则直线的解析式为，
结合抛物线可知，
解得：（舍），，
故．
②过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，
由可知四边形为正方形，
∵直线的解析式为
∴与轴交于点，
在下方作交于点，交抛物线于
∴
又∵OC=CG，
∴≌，
∴，，
又由可得
直线的解析式为，
结合抛物线可知，
解得（舍），，
故．
综上所述，符合条件的点坐标为：，．
（3）∵，
∴直线的解析式为
设M的坐标为，则N的坐标为
∴
∵，
∴直线的解析式为
∵为等腰直角三角形
∴①当时，如下图所示
则Q点的坐标为
∴
∴
解得：（舍去），，
∴此时，；，；
②当时，如下图所示
则Q点的坐标为
∴
∴
解得：（舍去），，
∴此时，；，；
③当时，如图所示
则Q点纵坐标为
∴Q点的坐标为
∴Q点到MN的距离=
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
解得：（舍去），，
∴此时，；，．
综上所述，点及其对应点的坐标为：，；，；，；，； ，；，．
18．（1）；（2）存在，点的坐标为；（3）点的坐标为或或
【详解】解：（1）将A(−1，0)， C(0，3)代入中，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在．理由如下：
将点D(m，3)代入得，
解得，m=0舍去，
∴D(2，3)，
令，则，
解得：．
∴B(3，0)，
∴，
∵，，
∴，
当时，与相交于点，
又∵，
∴，
∴，
∴G(0，1)．
设直线解析式为，
把G(0，1)，B(3，0)代入，得，，
∴直线的解析式为．
联立方程组，
解得，或（舍去），
所以点的坐标为；

（3）抛物线的对称轴为，
设点N（1，n），M（d，），
当BC、MN为平行四边形对角线时，
由BC、MN互相平分，
∴，
解得：，
∴M（2，3）；
当BM、NC为平行四边形对角线时，
由BM、NC互相平分，
∴，
解得：，
∴M（-2，-5）；
当MC、BN为平行四边形对角线时，
由MC、BN互相平分，
∴，
解得：，
∴M（4，-5）；
综上所述，点M的坐标为：（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）．
19．（1）；（2）；（3）8
【详解】解：（1）对于抛物线，当时，，
∴点的坐标为，即，
∵，
∴，即点的坐标为，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）延长、交于点，
设点点的坐标为，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解方程得，，，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
解得，，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
，
解得，，
∴点点的坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
解得，，
则直线的解析式为：，
解方程组，得，，
∴点的坐标为；
（3）设点的坐标为，，
∴直线的解析式为，
联立，得，
∴，
∴，
设直线，
联立，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
20．（1）AB＝；（2）点E的坐标为或；（3）见解析．
【详解】解：（1）令，即
解得：或，
令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为，．
则．
（2）如下图，设点E的坐标为，则点，点，
由中点公式得，点M的坐标为，
则，
解得：（舍），（舍）．
故点E的坐标为或；
（3）将改变为顶点式为：，
∴将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到抛物线C1，则平移后的抛物线表达式为，即①，
则点D，
设点P的坐标为，点Q的坐标为，则点P′的坐标为，
设直线PQ的表达式为②，直线的表达式为③，
联立①②并整理得：，则④，
联立①③并整理得：，则⑤，
由④和⑤得：，
解得，
故点H的坐标为，
则．
21．（1），为以为直角顶点的直角三角形；（2）存在，的坐标为或或或；（3），，．
【详解】解：（1）∵与轴，轴相交于，两点，
当时，即，
解得，
∴，
当时，，
∴．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为．
∵过，，
则，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
∵，，，
∴；
；
；
∴．
∴为以为直角顶点的直角三角形
（2）存在．理由如下：
作轴交直线于点，
设，则，
∴，
∴，∴
即
即
即或
解得：，，，；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
∴综上所述：当的坐标为或或或时，的面积为25．
（3）由抛物线的轴对称性可知：抛物线的对称轴为直线，
若在抛物线找一点使为以为斜边的直角三角形，即为直角顶点；
由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则必须在以为直径的圆上，
而又在抛物线上，
∴在以为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意，如图所示：
圆与抛物线共有四个交点，分别为，，，
由（1）可知，当与或重合的时候均符合题意，与重合，，三点不能组成三角形，
∴，
而的中点即圆心在抛物线的对称轴上，所以抛物线与圆具备了公共的对称轴，直线，
∴圆与抛物线的四个交点是关于直线对称，
∴与关于直线对称，
∴
解得，
∴
综上可知：，，．
22．（1）；（2）；（3）①；②
【详解】解：（1）把，点代入抛物线中得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）
顶点，
当时，，
，
或，
；
如图1，连接，
设所在直线的解析式为：，将点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
故所在直线的解析式为：，
，
，
设所在直线的解析式为：，将点坐标代入函数解析式，得，
故所在直线的解析式为：，
当时，．
综上所述，点的坐标是；
（3）①如图2，
，，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
当时，有最大值为；
②当有最大值，，，
在轴的负半轴了取一点，使，过作于，
，
当、、三点共线时，最小，即的值最小，
中，，
，
，
，
中，，
，
，
的最小值是．
23．（1）；（2）见解析；（3）存在，最大值为，此时点坐标为．
【详解】（1）把点（-2，2），（4，5）代入得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为；
（2）设B(，)，已知F（0，2），
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
（3）作轴交于点．
经过点F（0，2），且时，
∴一次函数解析式为，
解方程组，
得或，
则，
设，则，
∴，
∴
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为．
24．（1）①②（-5，0）或（0，0）或（，0）或（，0）；（2）见解析；
【详解】（1）①将A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）代入解析式可得
；
∴抛物线的解析式为：
②如图，∵B（3，0）C（0，-3），
∴OB=OC，
∴当点P与点O重合，点B与点D重合时，PC=PQ，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴点P的坐标为（0，0）；
如图，过点P作直线EF∥y轴，过点C，Q分别作x轴的平行线交EF于F点，E点，易证
△QEP△PFC，
∴QE=PF，EP=CF
设点P（m，0），点Q（n，），
∴点E，F的坐标分别为（m，），（m，-3），
当m0时，
∴QE=m-n，PF=3，EP=，CF=m，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）
当m0时，如图，QE=n-m，PF=3，EP=，CF=-m，
，
解得 ，
∴点P的坐标为（0，0）或（-5，0）
综上所述，点P的坐标为（-5，0）或（0，0）或（，0）或（，0）；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），如图2
联立方程得
则有x1+x2=2+b，x1x2=-3-t，
设直线AM的解析式为y=kx+m，
分别将M点坐标和A点坐标代入直线AM解析式，
可求出直线AM的解析式为
点E是直线AM与y轴的交点，则E（0，）
同理可求D（0，）
则
=
=b-4=-6
=2yc
∴点C是线段DE的中点．
25．(1) （1，0）；(2) 6；(3) 见解析.
【详解】解：（1）对于抛物线y＝ax2－2ax－3a，对称轴x= =1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）∵M、N在直线y=x上，
∴设M（m,m）、N（n,n）,
∵M、N是直线y＝x与抛物线y= ax2－2ax－3a的交点，
∴m、n是方程ax2－2ax－3a=x即ax2－（2a+1）x－3a=0的两个根，
∴mn=-3，
∵OM=，ON=，
∴OM·ON====6；
（3）证明：如图，

由题意可得A（-1，0），C（0，-3a），D（2，-3a），E（1，0），
∴直线DE的解析式为y=-3ax+3a，
∴F（0，3a），
∴直线AF的解析式为y=3ax+3a，
∴H（-2，-3a），
∴直线HE的解析式为y=ax-a，
由，
解得或，
∴K（6，21a），
由，
解得或，
∴G（-3，12a），
∴直线GK的解析式为y=ax+15a，
∵直线HE的解析式为y=ax-a，
∴HE∥GK．
26．（1）；（2）不存在点D；（3）是，7
【详解】（1）将代入，
得
（2）取作轴于，
，
在和中
∴
∴，
，
∴，
∴，
而，
∴，∴
∵
∴重合，
∴此时不存在，
∴无解；
（3），设
∴：
同理：：
∴
27．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
28．（1）y＝x2－x＋；（2）(5，8)；（3）＋；(，)
【详解】（1）把B(0，)点代入y＝a（x－1）2
得=a
∴抛物线的解析式为：y＝（x－1）2=x2－x＋
（2）∵y＝（x－1）2
∴C(1，0)
延长AC交y轴于点G，已知B(0，)，C(1，0)
∴OB＝，OC＝1
∴在Rt△BOC中，tan∠BCO＝
AC⊥BC，∴ ∠BCO＋∠OCG＝90°，
在Rt△BOC中，∠OGC＋∠OCG＝90°，
∴∠BCO＝∠OGC
∴tan∠OGC＝tan∠BCO＝，又已知OC＝1，
可求得：OG＝2，点G的坐标为（0，－2）
设GC的直线解析式为y=kx+b（k≠0）
把C(1，0)，G（0，－2）代入得
解得
∴GC的直线解析式为：y＝2x－2，
已知抛物线的解析式为：y＝x2－x＋
联立方程组得到x2－x＋=2x－2
解得x1=5,x2=1
∴点A的坐标为(5，8)
（3）解：连结BA交DM于点K，
∵DM是AC的垂直平分线，则CK＝AK
当点F与点K重合时，△FBC的周长最小，△FBC的最小周长＝BC＋AB
当点F与K不重合时，
∵DM是AC的垂直平分线，则CF＝AF
∴ △FBC的周长＝BC＋BF＋CF＝BC＋BF＋AF
当点F不与K重合时，△FBC的周长＝BC＋BF＋AF＞BC＋AB
因此，点F与点K重合时，△FBC的周长最小．
在Rt△OBC中，已知BO＝，OC＝1，BC2＝，
∴BC=
过点A(5，8)作x轴的垂线，垂足为N，
则在Rt△ACN中，已知AN＝8，NC＝4，AC2＝80
∴AB＝，故△FBC的最小周长＝＋
设直线AB的解析式为y=mx+n
把A(5,8),B(0, )代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+
设直线AC的解析式为y=px+q
把A(5,8),C(1, 0)代入得
解得
∴直线AC的解析式为y=2x-2
∵DE垂直平分线段AC
∴M点是AC的中点
∴M（3,4）
故设直线DE的解析式为y=-x+d
把M（3,4）代入得4=-×3+d
解得d=
∴直线DE的解析式为y=-x+
联立直线DE，AB得
解得
∴点F的坐标为(，) ．
29．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（，）或（，）；（3）H（0，8）．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点（A在B左侧），对称轴为x＝1．
∴A（﹣1，0），
设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入，得3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，作PN⊥x轴，交直线BC于M，连接PC、PB，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC为y＝﹣x+3，BC＝，
∴S△PBC＝，
设N（t，0），则M（t，﹣t+3），P（t，﹣t2+2t+3），
∴S△PBC＝S△PCM+S△PBM＝，
当P在直线BC上方时，，
整理得，t2﹣3t+2＝0，解得：t＝1或2，
∴此时P（1，4）或（2，3）；
当P在直线BC下方时，，
整理得，t2﹣3t﹣2＝0，解得：t＝或，
∴此时点P（，）或（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（，）或（，）；
（3）由题意得：平移后抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4，则点D（0，4），
设点E（m，0），则点F（m，4﹣m2），
设直线DE的表达式为y＝tx+s，则，解得：，
故直线DE的表达式为：y＝+4，
解方程组得：，，故点Q（，）；
设直线FQ的表达式为：y=kx+n，则，解得：，
直线FQ的表达式为：y＝﹣（m+）x+8，
令x＝0，则y＝8，故点H（0，8）．
30．（1）；（2）−2+33,23−13；（3）．
【详解】解：（1）抛物线的顶点为，
设该抛物线解析式为，
把代入抛物线解析式得，，
；
（2）令得，，或，
，
抛物线对称轴直线与轴交点为，
如图1，作原点关于直线的对称点，连接，
则，
，
，
．
．
．
设直线的解析式为，
则，
解得，．
直线解析式为，
与抛物线联立得．
，．
，
故点坐标为；
（3）如图2，设，，，，
，
，，
，
设新抛物线解析式为，
把点，的坐标代入抛物线的解析式得：，，
即，，
，，，
，
，，
，，，
且
把代入，得．
且．
．
故的取值范围为：．
31．（1）；（2）点坐标为；（3）
【详解】解：（1）抛物线的顶点为，
，
把代入抛物线解析式得，，
解得，，
；
（2）令得，，
或，
，
，
设抛物线对称轴直线与轴交点为，作原点关于直线的对称点，连接，则，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，，
解得，，
直线解析式为，
与抛物线联立得，
，即，
∴，
，
故点坐标为；
（3）设，
，
，，
，
设新抛物线解析式为，
把点、的坐标代入抛物线的解析式得：，，
即，，
建立与或与的函数关系式，从而求的取值范围，
先找到与的关系式，，
，，
，
，，
，，，
且，
把代入得，
且，
，
故的取值范围．
32．（1）①；②Q1(0，)，Q2(0，－)；（2）1
【详解】解：（1）①将点G(0，)代入解析式中，得
解得：m=1或-1（不符合条件，舍去）
将m=1代入解析式中，得
；
②设点Q（0，t），过点N作NA⊥y轴于点A，过点M作NB⊥y轴于点B，
∴∠NAQ=∠MBQ=90°，
又QM=QN，∠MQN=90°，
∴∠ANQ＋∠AQN=90°，∠BQM＋∠AQN=90°
∴∠ANQ=∠BQM
∴△ANQ≌△BQM，
∴AN=BQ，AQ=BM，
由点M得M（1，），即B（0，），
∴BM=AQ=1，BQ=AN=t+，
∴A（0，t+1)，即N（t+，t+1），
则有（t+）2－2（t+）－=t+1，
解得t1=，t2=－，
∴Q1=（0，），Q2（0，－）
（2）解：：可化为
，
∴顶点M，
又∵抛物线与抛物线关于直线x=a对称，由对称性知：
抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为：，
又∵抛物线交y轴于点 P (0，－2m)，
则有 ，
∴
而直线x=a唯一，
∴，
解得，
所以有，
解得，
33．（1）①，，；②；（2）
【详解】（1）①当m=3时，y=-x2+2x+3，
当x=0时，y=3，则点C（0，3），
当y=0时，0=-x2+2x+3，
∴x1=3，x2=-1，
∴，，；
②如图1，延长交轴于点，设，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
∴，
∴（舍），
∵在抛物线上，
∴；
（2）如图2，
令，，，
∴，，，
设解析式为：，
联立 ，即 ，
∴，
同理：设解析式为：，
∴，
∵，
∴的解析式为，
∴设解析式为：，
联立，
∴，
∴，
∴即，
联立，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
34．（1）抛物线解析式为；A（1,4）（2）①证明见解析；②当时，取得最小值16．
【详解】解：（1）将点代入解析式，得：，
解得：，
所以抛物线解析式为；
∵直线l：经过定点A．
∴=中当x=1时，y=4，
∴定点A为（1,4）.
（2）①证明：设点的坐标为，，点为，，（其中，，，
由，得：，
，
，
如图2，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
则，，
、，
，
，
又，
，
，
而，
，即；
②过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，
所以，
，
当时，取得最小值16．
35．(1)① M（1，），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.
【详解】解：（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点M的坐标为（1，），
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，
∴点N的坐标为（1，3）；
②不存在．理由如下：
MN＝﹣3＝，
设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），
PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵PD∥MN．
∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形，
即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，
则PD＝2xP＝4，
∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），
把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．