2025年中考数学三轮冲刺：规律探究 （35题） 强化练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学三轮冲刺：规律探究 （35题） 强化练习题（含答案），共31页。试卷主要包含了花窗映蛇岁，新春共欢颜，观察以下等式，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•白银区开学）如图是用★摆出一组有规律的“人”字图形，第1个“人”字图形中有4颗★，第2个“人”字图形中有7颗★，第3个“人”字图形中有10颗★，…，按照这样的规律摆下去．
（1）第5个“人”字图形中有 16 颗★；
（2）用含n的代数式表示第n个“人”字图形中★的颗数，并求第100个“人”字图形中★的数量；
（3）若第n个“人”字图形中有2026颗★，求n的值．
2.【规律探索】观察以下等式：
第1个等式：222−1=11−13，
第2个等式：242−1=13−15，
第3个等式：262−1=15−17，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ，由此可计算222−1+242−1+⋯+2122−1的结果为 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
3．【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5的自然数n5可用代数式10n+5来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】
第1个等式：152＝（1×2）×100+25；
第2个等式：252＝（2×3）×100+25；
第3个等式：352＝（3×4）×100+25；
…
【规律应用】
（1）写出第4个等式： ；写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示）；
（2）根据以上的规律直接写出结果：2024×2025×100+25＝ 2；
（3）若n52与100n的差为4925，求n的值．
4．（2024秋•江北区期末）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第①个图形共有8个小平行四边形；第②个图形共有15个小平行四边形；第③个图形共有22个小平行四边形；……
（1）第⑤个图形共有 36 个小平行四边形．
（2）第ⓝ个图形共有 （7n+1） 个小平行四边形（用n的代数式表示）．
（3）循此规律，是否存在由2025个小平行四边形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．
5．观察以下等式．
第1个等式：1×32=21−11×2；
第2个等式：12×83=32−12×3；
第3个等式：13×154=43−13×4；
第4个等式：14×245=54−14×5；
…
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明．
6．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：（1）多项式（a+b）5展开式共有 6 项，第二项的系数为 5 ，各项系数和为 32 ；
（2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，请完成下列问题：
①计算a6；
②计算1a1+1a2+⋯+1a7．
7．先观察下列等式，再回答问题：
①1+112+122=1+11−12；
②1+122+132=1+12−13；
③1+132+142=1+13−14；
…
（1）请你利用上述规律计算3736+149（仿照上式写出过程）；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式 1+1n2+1(n+1)2= ；
（3）请你利用发现的规律，计算：
1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120242+120252−2026 .
8．观察以下等式：
第1个等式：(12+1)×(4−1)=92，
第2个等式：(12+12)×(9−1)=8，
第3个等式：(12+13)×(16−1)=252，
第4个等式：(12+14)×(25−1)=18，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
9．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
10．观察下列等式：
第1个等式：＝1；
第2个等式：＝3；
第3个等式：＝5；
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （n是正整数，用含n的等式表示），并证明．
11.观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）各等式都成立时，______；
（2）在（1）的条件下，写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
12．观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
13．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）图中第6行的第4个数是 10 ；
（2）若（a+b）4＝am+4a3b+6a2bn+4ab3+b4（m，n是常数）．则m＝ 4 ，n＝ 2 ；
（3）已知（x+y）3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，则y＝ ﹣2 ；
（4）若（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+⋯+a2024+a2025的值．
14．观察以下等式：
第1个等式：32−124=1+1；
第2个等式：42−224=1+2；
第3个等式：52−324=1+3；
第4个等式：62−424=1+4；
第5个等式：72−524=1+5；
……
按照以上规律，解答下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明．
15．观察下列算式，第一个式子1x(x+1)=(1x−1x+1)×1；
第二个式子1x(x+2)=(1x−1x+2)×12；
第三个式子1x(x+3)=(1x−1x+3)×13；
第四个式子1x(x+4)=(1x−1x+4)×14；
…
根据你发现的规律解决下列问题：
（1）写出第n个算式： （n为正整数）；
（2）1(x+m)(x+n)= （n，m为正整数且m≠n）；
（3）若|b﹣2|+（a﹣1）2＝0，试求1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2025)(b+2025)的值．
16.观察以下等式：
第1个等式：2×1+2＝22+1×1﹣1；
第2个等式：4×2+6＝32+2×3﹣1；
第3个等式：6×3+12＝42+3×5﹣1；
第4个等式：8×4+20＝52+4×7﹣1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明．
17．类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设x2+px+q＝0的两个根为x1和x2，那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2
比较系数，可得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
类比推广，回答问题：设x3+px2+qx+r＝0的三个根为x1，x2，x3，那么x3+px2+qx+r＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝x3+（ ）x2+（ ）x+（ ）
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
x1+x2+x3＝ ， ＝q，x1x2x3＝ ．
18．观察以下等式：
第1个等式：23﹣3×1×2＝13+1
第2个等式：33﹣3×2×3＝23+1
第3个等式：43﹣3×3×4＝33+1
第4个等式：53﹣3×4×5＝43+1
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
19．观察下列等式：
a1=11×2×3+12=21×3；
a2=12×3×4+13=32×4；
a3=13×4×5+14=43×5；
…
（1）猜想并写出第6个等式a6＝ 16×7×8+17=76×8． ；
（2）猜想并写出第n个等式an＝ 1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2) ；
（3）证明（2）中你猜想的正确性．
20．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：13+23+33+⋯+n3＝？
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：
13＝12，13+23＝32，13+23+33＝ ；
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出13+23+33+⋯+n3＝ （用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：23+43+63+⋯+（2n）3．
21．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，拼如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：
图1 图2 图3
（1）在图2中用了 块白色正方形，在图3中用了 块白色正方形；
（2）按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用 块白色正方形；
（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2024块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
22．【观察思考】欲求1+2+22+23+24+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+22+23+24+…+230①，等式两边同时乘2，得2S＝2+22+23+4+25+…+231②；由①得2+22+23+24+…+230＝S﹣1，代入②中得2S＝S﹣1+231，解得S＝231﹣1．所以1+2+22+23+24+…+230＝231﹣1．
【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题：
（1）计算：①1+3+32+33+34+…+3100．
②1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025．
【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数0.5151515151…写成分数形式（写出解答过程）．
23.【观察思考】
【规律总结】
（1）每增加一个图案，则正八边形的顶点上“★”增加 个，“▲”增加 个；
（2）第n个图案中“★”有 个，“▲”有 个；
【规律应用】
（2）在第2025个图案中，求“★”的数量比“▲”的数量多多少个？
24．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第5个图案中“△”的个数为 ；
（2）第n（n为正整数）个图案中“〇”的个数为 ，“△”的个数为 ；（用含n的式子表示）
【规律应用】
（3）结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，求正整数n，使得“〇”比“△”的个数多28．
25．阅读：
第1个等式：1−34=14=(12)2=12；
第2个等式：1−59=49=(23)2=23；
第3个等式：1−716=916=(34)2=34；
…
（1）1−925= 1625=(45)2=45 ，1−1564= 4964=(78)2=78 ．
（2）根据你的观察、猜想，写一个第n（n为正整数）个等式表示该规律，不用证明．
（3）利用这一规律计算：(1−34)(1−59)(1−716)⋯(1−19910000).（写出计算过程）
26．合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】
（1）图（4）的分子中含 个C原子；
（2）图（n）的分子中含 个C原子；
【规律运用】
（3）若图（m）和图（m+1）的分子中共含有242个C原子，求m的值．
27.【观察思考】
如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推…
【规律发现】
请用含的式子填空：
（1）第n个图案中含有长为1的线段条数是 ；
（2）第1个图案中含有三角形个数可表示为10×1﹣2；第2个图案中含有三角形个数可表10×2﹣2；第3个图案中含有三角形个数可表示为28＝30﹣2＝10×3﹣2；…第n个图案中含有三角形个数可表示为 ；
【规律应用】
（3）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．
28.高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
（1）图1的彩色正方形有：1+1＝1+1×(1+1)2；
图2的彩色正方形有：1+1+2＝1+2×(1+2)2；
图3的彩色正方形有：1+1+2+3＝1+3×(1+3)2；
图4的彩色正方形有：1+1+2+3+4＝1+4×(1+4)2；…，
图n的彩色正方形有： ；
（2）图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个；图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；…；图n的白色正方形有 个．
（3）若图n中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n中白色正方形的个数．
29. 某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；….
（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块；
（2）若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；
（3）当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．
30．已知：一列数S1＝1，S2＝1+2，S3＝1+2+3，⋯，Sn＝1+2+⋯+n，则S1+S2可以用图1表示，S2+S3可以用图2表示，S3+S4可以用图3表示，⋯，依此规律．那么：
（1）S5﹣S4＝ 5 ，S5+S4＝ 25 ；
（2）Sn﹣Sn﹣1＝ n ，Sn+Sn﹣1＝ n2 （用含有n的式子表示）；
（3）由（2）的结论求S，及S20252026的值．
31．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空
（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（ ）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝ ．
32．观察与思考：我们知道1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？
请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：​
（1）尝试：第5个图形可以表示的等式是 ；
（2）概括：13+23+33+…+n3＝ ；
（3）拓展应用：求13+23+⋯+202331+2+3+⋯+2023的值．
33.用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．
铺第6个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷
砖 块；
（2）铺第n个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷
砖 块；
（3）若黑、白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路，求此时是第多少个图形？
34．图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．
将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．
我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．
（1）按照图1的规则摆放到第12层时，共用了 个圆圈；
（1）按照图2的规则摆放到第n层时，共用了 个圆圈；
（3）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是 多少？
35．《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
请观察以下等式：
第1个等式：11×21+1×(1+12)=2；
第2个等式：12×22+1×(2+22)=2；
第3个等式：13×23+1×(3+32)=2；
第4个等式：14×24+1×(4+42)=2；
第5个等式：15×25+1×(5+52)=2；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式： 17×27+1×(7+72)=2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明；
（3）应用运算规律，计算：14050×22025+1×(2025+20252)= 1 ．
规律探究 专项 参考答案
1.解：（1）由所给图形可知，
第1个“人”字图形中★的颗数为：4＝1×3+1；
第2个“人”字图形中★的颗数为：7＝2×3+1；
第3个“人”字图形中★的颗数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n个“人”字图形中★的颗数为（3n+1）颗．
当n＝5时，
3n＝1＝3×5+1＝16（颗），
即第5个“人”字图形中★的颗数为16颗．
故答案为：16．
（2）由（1）知，
第n个“人”字图形中★的颗数为（3n+1）颗．
当n＝100时，
3n＝1＝3×100+1＝301（颗），
即第100个“人”字图形中★的颗数为301颗．
（3）令3n+1＝2026，
解得n＝675，
所以n的值为675．
2.解：（1）2122−1=111−113，2122−1=111−113，1213.
（2）猜想：2(2n)2−1=12n−1−12n+1，
证明：右边=2n+1(2n−1)(2n+1)−2n−1(2n−1)(2n+1)
=2n+1−2n+1(2n−1)(2n+1)
=2(2n)2−1
＝左边，
故猜想成立．
3.解：（1）452＝（4×5）×100+25，（10n+5）2＝100n（n+1）+25．
（2）20245．
（3）由n52与100n的差为4925得，
100n（n+1）+25﹣100n＝4925，
解得n＝7（舍负），
故n的值为7．
4.解：（1）由所给图形可知，
第①个图形中小平四边形的个数为：8＝1×7+1；
第②个图形中小平四边形的个数为：15＝2×7+1；
第③个图形中小平四边形的个数为：22＝3×7+1；
…，
所以第ⓝ个图形中小平四边形的个数为（7n+1）个．
当n＝5时，
7n+1＝36（个），
即第⑤个图形中小平四边形的个数为36个．
故答案为：36．
（2）由（1）知，
第ⓝ个图形中小平四边形的个数为（7n+1）个．
故答案为：（7n+1）．
（3）不存在，理由如下：
令7n+1＝2025，
解得n=20247，
因为20247不是整数，
所以不存在由2025个小平行四边形组成的图形．
5.解：（1）15×356=65−15×6.
（2）1n×(n+1)2−1n+1=n+1n−1n×(n+1)，
证明：等式左边=1n×(n+1)2−1n+1
=1n×n2+2n+1−1n+1=1n×n2+2nn+1=1n×n(n+2)n+1=n+2n+1，
等式右边n+1n−1n×(n+1)=(n+1)2n(n+1)−1n×(n+1)
=(n+1)2−1n×(n+1)=n2+2n+1−1n×(n+1)
=n2+2nn×(n+1)=n×(n+2)n×(n+1)=n+2n+1，
∴等式左边＝等式右边，
∴猜想成立．
6.解：（1）根据“杨辉三角”可知：
第2行，（a+b）1展开后，各项的系数和为21，
第3行，（a+b）2展开后，各项的系数依次为：1、2、1，各项的系数和为：1+2+1＝4＝22，
第4行，（a+b）3展开后，各项的系数依次为：1、3、3、1，各项的系数和为：1+3+3+1＝8＝23，
第5行，（a+b）4展开后，各项的系数依次为：1、4、6、4、1，各项的系数和为：1+4+6+4+1＝16＝24，
第6行，（a+b）5展开后，各项的系数依次为1、5、10、10、5、1，各项的系数和和为1+5+10+10+5+1＝32＝25，
故答案为：6，5，32；
（2）①根据题意可知：a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，
∴an＝1+2+3+4...+n=n(n+1)2，
当n＝6时，a6=6×72=21；
②由①知：an=n(n+1)2，
∴1a1+1a2+⋯+1a7
=21×2+22×3+...+27×8
＝2×（11×2+12×3+...+17×8）
＝2×（1−12+12−13+...+17−18）
＝2×（1−18）
＝2×78
=74．
7.解：（1）由题意得，3736+149=1+136+149=1+162+172=1+16−17=1142；
（2）由题意得，1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1；
（3）1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120242+120252−2026
=1+11−12+1+12−13+1+13−14+⋯+1+12024−12025−2026
＝2025−12025−2026
=−1−12025
=−20262025．
8.解：（1）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第5个等式为：(12+15)×(62−1)=492，
故答案为：(12+15)×(62−1)=492；
（2）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第n个等式为：(12+1n)×[(n+1)2−1]=(n+2)22，
证明：左边=n+22n×(n2+2n+1−1)
=n+22n×(n2+2n)
=n+22n⋅n(n+2)
=(n+2)22=右边，
∴(12+1n)×[(n+1)2−1]=(n+2)22．
9.解：（1）；
（2），
证明：左边＝＝＝＝＝3﹣＝右边，
故猜想成立．
10.解：（1）＝﹣＝9；
（2）﹣＝2n﹣1（n是正整数）；
证明：﹣＝﹣＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，
即﹣＝2n﹣1（n是正整数）.
11.解：（1） .
（2）猜想的第n个等式为：，
证明：左边
右边
，
∴左边右边．
12.解：（1）
（2）
证明：＝
∴等式成立.
13.解：（1）第6行的数字依次为1，5，10，10，5，1，
第6行的第4个数是10，
故答案为：10；
（2）根据“杨辉三角”得到系数，以及a，b的指数变化规律，
得到（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∵（a+b）4＝am+4a3b+6a2bn+4ab3+b4（m，n是常数），
∴m＝4，n＝2，
故答案为：4，2；
（3）根据杨辉三角，得到（x+y）3＝x3+3x2y+3xy2+y3，
∵（x+y）3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，
∴y3＝﹣8，
∴y＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（4）（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2024x2+a2025x+a2026，
∵当x＝1时，左边＝（2x﹣1）2025＝1，右边＝a1+a2+……+a2024+a2025+a2026，
∴a1+a2+……+a2024+a2025+a2026＝1，
∵当x＝0时，左边＝（﹣1）2025＝﹣1，右边＝a2026，
∴a2026＝﹣1，
∴a1+a2+⋯+a2024+a2025
＝（a1+a2+……+a2024+a2025+a2026）﹣a2026
＝1﹣（﹣1）
＝2．
14.解：（1）82−624=1+6.
（2）(n+2)2−n24=1+n，
证明：左边=(n+2)2−n24
=n2+4n+4−n24
=4n+44
＝n+1＝右边，
∴左边＝右边，
∴等式成立．
15.解：（1）1x(x+n)=(1x−1x+n)×1n．
（2）(1x+m−1x+n)×1n−m．
（3）因为|b﹣2|+（a﹣1）2＝0，
所以a＝1，b＝2.
则原式=12×3+13×4+⋯+12026×2027
=12−13+13−14+⋯+12026−12027
=12−12027
=20254054．
16.解：（1） 10×5+30＝62+5×9﹣1.
（2）2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1，
证明：等式左边＝2n2+n2+n＝3n2+n，
等式右边＝n2+2n+1+2n2﹣n﹣1＝3n2+n，
∴等式左边＝等式右边，即2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1．
17.解：∵（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）
＝[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]（x﹣x3）
＝x3+（﹣x1﹣x2﹣x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x+（﹣x1x2x3），
∴x3+px2+qx+r＝x3+（﹣x1﹣x2﹣x3）x2]+（x1x2+x2x3+x3x1）x+（﹣x1x2x3），
比较系数得：x1+x2+x3＝﹣p，x1x2+x2x3+x3x1＝q，x1x2x3＝﹣r，
故答案为：﹣x1﹣x2﹣x3；x1x2+x2x3+x3x1；x1x2x3；﹣p；x1x2+x2x3+x3x1；﹣r．
18.解：（1）∵第1个等式：23﹣3×1×2＝13+1，
第2个等式：33﹣3×2×3＝23+1，
第3个等式：43﹣3×3×4＝33+1，
第4个等式：53﹣3×4×5＝43+1，
∴第5个等式：63﹣3×5×6＝53+1，
故答案为：63﹣3×5×6＝53+1；
（2）猜想的第n个等式为：（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1＝n3；证明如下：
（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1
＝n3+3n2+3n+1﹣3n2﹣3n﹣1
＝n3．
19.解：（1）由题意得：第6个等式a6=16×7×8+17=76×8．
故答案为：16×7×8+17=76×8；
（2）由题意得：第n个等式an=1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)．
故答案为：1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)；
（3）（2）中的等式左边=1n(n+1)(n+2)+n(n+2)n(n+1)(n+2)
=1+n2+2nn(n+1)(n+2)
=(n+1)2n(n+1)(n+2)
=n+1n(n+2)
＝右边．
故猜想成立．
20.解：【规律探究】62．
【解决问题】14n2（n+1）2．
【拓展应用】23+43+63+⋯+（2n）3
＝23×（13+23+33+⋯+n3）
＝8×14n2（n+1）2
＝2n2（n+1）2．
21.解：（1）8，11.
（2）（3n+2）.
（3）能恰好用完2024块白色正方形，理由如下：
假设第n个图形恰好能用完2021块白色正方形，则3n+2＝2024，
解得：n＝674，
即第674个图形中恰好用完2024块白色正方形．
22.解：（1）①令S＝1+3+32+33+34+…+3100①，
则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101②，
②﹣①得，
2S＝3101﹣1，
解得S=3101−12，
所以1+3+32+33+34+…+3100=3101−12．
②令S＝1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025①，
则12S=12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025+(12)2026②
①﹣②得，
12S=1−(12)2026，
解得S=2−(12)2025，
所以1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025=2−(12)2025．
（2）令x＝0.5151515151…，
则100x＝51.51515151…，
所以100x﹣51＝x，
解得x=1733，
所以0.5151515151⋯=1733．
23.解：（1）4，3.
（2）4n，1+3n．
（3）第2025个图案中，“★”的数量为：4×2025＝8100（个），
“▲”的数量为：1+3×2025＝6076（个），
8100﹣6076＝2024（个），
答：在第2025个图案中，“★”的数量比“▲”的数量多2024个．
24.解：（1）26.
（2）n2+2，4n+6．
（3）由题意知，
n2+2﹣（4n+6）＝28，
解得，n1＝8，n2＝﹣4．
∵n为正整数，
∴n＝8．
故正整数n的值为8．
25.解：（1）1−925=1625=(45)2=45，
1−1564=4964=(78)2=78，
故答案为：1625=(45)2=45；4964=(78)2=78；
（2）由已知等式可得第n（n为正整数）个等式为1−2n+1(n+1)2=n2(n+1)2=(nn+1)2=nn+1；
（3）原式=1−34•1−59•1−716•…•1−19910000
=12×23×34×⋯×99100
=1100．
26.解：（1）由所给分子结构图及结构简式可知，
图（1）的分子中含C原子的个数为：10＝1×6+4；
图（2）的分子中含C原子的个数为：16＝2×6+4；
图（3）的分子中含C原子的个数为：22＝3×6+4；
…，
所以图（n）的分子中含C原子的个数为（6n+4）个．
当n＝4时，
6n+4＝28（个），
即图（4）的分子中含C原子的个数为28个．
故答案为：28．
（2）由（1）知，
图（n）的分子中含C原子的个数为（6n+4）个．
故答案为：（6n+4）．
（3）由题知，
6m+4+6（m+1）+4＝242，
解得m＝19，
所以m的值为19．
27.解：（1）4n+1.
（2）10n﹣2．
（3）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
理由：第n个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为10 n﹣2﹣（4 n+1）＝6 n﹣3．
∵n为正整数，
∴6n﹣3＞0，
∴每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
28.解：（1）1+1+2+3+…+n＝1+n(n+1)2．
（2）[1+n+n(n+1)2]．
（3）由所给图形可知，
图1中，等边三角形的个数为2；
图2中，等边三角形的个数为3；
图3中，等边三角形的个数为4；…，
∴图n中，等边三角形的个数为（n+1）个．
∵图n中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，
∴1+n(n+1)2−（n+1）＝45，
解得n＝10（舍负），
则1+n+n(n+1)2=1+10+10×112=66（个），
即白色正方形的个数为66个．
化的规律是解题的关键．
29.解：（1），.
（2）根据第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块，
∴用去块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；
（3）当时，正方形地砖有：（块），三角形地砖有：（块），
∴（块），
∴正方形地砖和三角形地砖的总数量为块．
30.解：（1）由条件可知S4＝1+2+3+4，S5＝1+2+3+4+5，
∴S5﹣S4＝1+2+3+4+5﹣（1+2+3+4）＝5，S5+S4＝1+2+3+4+5+（1+2+3+4）＝25，
故答案为：5，25；
（2）由（1）得：Sn﹣Sn﹣1＝1+2+3+4+5+⋯+n﹣1+n﹣（1+2+3+4+⋯+n﹣1）＝n，Sn+Sn−1=1+2+3+4+5+⋯+n−1+n+(1+2+3+4+⋯+n−1)=n2，
故答案为：n，n2；
（3）由（2）得Sn﹣Sn﹣1＝n①，Sn+Sn−1=n2②，
①+②得：2Sn=n2+n，
∴Sn=n2+n2，
当n＝2025时，Sn=20252+20252=2025×1013，
∴S20252026=2025×10132026=20252．
31.解：（1）42；n2．
（2）2n+1；2n2+2n+1．
【解法提示】观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，即1+3+5+…+（2n﹣1）+（2（n+1）﹣1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝an﹣1+（2n+1）+an﹣1，
＝n2+2n+1+n2，
＝2n2+2n+1．
32.解：（1）13+23+33+43+53＝152；
（2）n2(n+1)24；
（3）13+23+⋯+202331+2+3+⋯+2023
=(1+2+3+⋯+2023)21+2+3+⋯+2023
＝1+2+3+…+2023
=2023×20242
＝2047276．
33.解：（1）25，14；
（2）（1+4n）,2（n+1）;
（3）第n个图形中有（1+4n）+2（n+1）＝（6n+3）个正方形瓷砖，
∴（6n+3）×（0.5×0.5）＝24.75，
解得n＝16，
∴此时是第16个图形．
34.解：（1）78；
（2）n(n+1);
（3）图3中，第18层最右边的数字是：18×(18+1)2=171（个），
则图3中第19层从左边数第二个圆圈中的数字是：171+2＝173（个）.
35.解：（1）由题知，
因为第1个等式：11×21+1×(1+12)=2；
第2个等式：12×22+1×(2+22)=2；
第3个等式：13×23+1×(3+32)=2；
第4个等式：14×24+1×(4+42)=2；
第5个等式：15×25+1×(5+52)=2；
…，
所以第n个等式可表示为：1n×2n+1×(n+n2)=2．
当n＝7时，
第7个等式为：17×27+1×(7+72)=2．
故答案为：17×27+1×(7+72)=2．
（2）由（1）知，
第n个等式可表示为：1n×2n+1×(n+n2)=2．
证明如下：
左边=1n×2n+1×n×(n+1)=2＝右边，
所以此等式成立．
（3）由（2）知，
当n＝2025时，
12025×22025+1×(2025+20252)=2，
所以22025+1×(2025+20252)=4050，
则原式=14050×4050=1．
故答案为：1．
第一行
1
（a+b）0＝1
第二行
1 1
（a+b）1＝a+b
各项系数和为1+1＝2
第三行
1 2 1
（a+b）2＝a2+2ab+b2
各项系数和为1+2+1＝4
第四行
1 3 3 1
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
各项系数和为1+3+3+1＝8
…
…
…
…