2025年中考数学考前冲刺：二次函数与特殊的三角形综合 压轴练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：二次函数与特殊的三角形综合 压轴练习题（含答案解析），共62页。

(1)求抛物线的关系式；
(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的周长最小，并求此时点P的坐标．
(3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动（到点B停止），过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（）秒．△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
2．抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且，，与y轴交于点C．连接BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC．点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
3．已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．
(3)如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（－4＜t＜0）．
①求出四边形PAOC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
②当△PEC为等腰三角形时，求所有满足条件的t的值．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方抛物线上一动点，过点A作交抛物线于点D，连接，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段沿直线平移，平移过程中的线段记为（线段始终在直线l的左侧），是否能使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足要求的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．
(1)求a、b、c的值．
(2)点E在抛物线上，过点E作轴，交直线AC于点F，若点E由点A运动到点D的过程中，求线段EF的最大值．
(3)点P、Q分别在线段AB、AD上，连接PQ、BQ，若点P由点A运动到点B的过程中，是否存在和中一个是等腰三角形另一个是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求抛物线的解析式；
(3)绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标．
9．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，连接、，其中，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)如图2，设点是原抛物线的顶点，轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，点为的对称轴上任意一点，连接，当是等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A的坐标；
(2)如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
12．抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交抛物线于C，D两点，若，求的面积；
(3)如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，连接BC，AC，设AC关系式为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是直线AC下方抛物线上一点，于点E，轴于点F，DF与AC交于点G．
①当时，求点D的横坐标；
②当△CDG是等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
14．如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线y＝kx+b 交于A，B两点，且点A坐标为（4，﹣），点B在y轴上．
(1)求直线和抛物线解析式；
(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值；
(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．抛物线过点A（－3，0），点B（1，0）与y轴交于点C，顶点为D，点E在y轴负半轴上．
(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)若△ADE是直角三角形，求点E的坐标；
(3)点P是抛物线在第一象限内的点，连接AP交y轴于点H，连接AE交抛物线于点F，点G在线段OA上，且AG＝CE，连接GH，若∠EAO＝2∠OGH，，求点F的坐标．
16．如图，若抛物线与直线的两个交点A，B关于原点对称，则称线段AB为抛物线的“对称弦”，该直线为抛物线的“对称弦直线”．已知抛物线交y轴于点，与其“对称弦直线”交于点A，B．
(1)若该抛物线的“对称弦直线”为，求抛物线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，点P为抛物线上A点右侧一点，连接CP交AB于点E，连接BP，BC，当时，求P点坐标；
(3)当该抛物线对称轴在y轴左侧时，抛物线上是否存在点H，使得是以“对称弦”AB为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出此时抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)直线l过点A与抛物线交于点P，当时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
(1)求顶点D的坐标；
(2)点E是斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E、F的坐标；
(3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
《2025年3月7日初中数学作业》参考答案
1．(1)
(2)
(3)能；秒或秒
【分析】（1）先根据已知条件求出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴于P，点P就是使△ACP的周长最小的点，求出BC的解析式，然后将，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）分三种情况进行讨论，OQ＝BQ，BO＝BQ，OQ＝OB，然后分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵点A、B关于直线对称，AB＝4，
∴，，
代入中，得：，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴于P，点P就是使△ACP的周长最小的点，
设直线BC的解析式为，则有：，解得，
∴直线BC的解析式为，当时，．
∴．
（3）如下图，
∵，MN⊥x轴，
∴，
∵△BOQ为等腰三角形，
∴分三种情况讨论，
第一种，当OQ＝BQ时，
∵QM＝OB，
∴OM＝MB，
∴，
∴；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中，
∵∠OBQ＝45°，
∴，
∴，
即，
∴；
第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时，
而，故不符合题意，
综上述，当秒或秒时，△BOQ为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数解析式，注意进行分类讨论是解决第（3）问的关键．
2．(1)
(2)存在，点P的坐标为（0，0）或或或（－4，0）
(3)当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，故抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），即-4a=-4，得出a的值，即可求解；
（2）分PB=PC、PB=BC、PC=BC三种情况，分别求解即可；
（3）直线BD的解析式为y=-x+4，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，则，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点，
∴设抛物线的表达式为：
即－4a＝－4，解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设点P的坐标为（m，0），
则，，，
①当PB＝PC时，，解得：m＝0；
②当PB＝BC时，，解得：；
③当PC＝BC时，，解得：m＝±4（舍去4），
故点P的坐标为：（0，0）或或或（－4，0）；
（3）∵C（0，－4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4），
设直线BD的解析式为，又B（4，0）
解得：k＝－1，
∴直线BD的解析式为y＝－x＋4；
则点M的坐标为（m，－m＋4），点Q的坐标为，
如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形
∴，
解得：（不合题意舍去），，
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质、一次函数性质、待定系数法、两点间距离公式、平行四边形性质、等腰三角形的性质等，解决此题的关键是注意分类讨论．
3．(1)
(2)或2
(3)存在；或
【分析】运用待定系数法即可求得答案．
由题意得：，，，分两种情况：当时，，即，可求得；当时，，即，可求得．
运用待定系数法求得直线的解析式为，可得出：，，如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可；过点作交直线于点，过点作于点，设，如图，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和，
，
解得：，
该二次函数的表达式为．
（2）抛物线与轴交于点，
，
由题意得：，，
，
，，
，，
，
，
为直角三角形，，如图，
或，
当时，，
，
，
解得：；
当时，，
，
，
解得：；
综上所述，当为直角三角形时，的值为或．
（3）存在，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线，设直线与轴交于点，与直线交于点，
则，，
如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设，
平分，，，
，，
，，，
，
，
，
，
解得：，
；
过点作交直线于点，过点作于点，设，如图，
则，，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、动点问题，直角三角形的性质、角平分线性质、三角函数定义等知识点，运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键．
4．(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线：
(2)P（1，1）或（1，2）
(3)存在，N（1，-4）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．
（3）根据题意以及菱形的性质，分为对角线和边两种情形讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x1．
（2）解：如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．
∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），
∴D（2，3），
∵B（3，0），
∴T（，），BD，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，
∴PTBD，
∴（1）2+（m）2＝（）2，
解得m＝1或2，
∴P（1，1）或（1，2）．
（3）解：存在，理由如下，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为
对称轴为
①当为对角线时，，设交于点，如图，
则，
四边形是菱形，
，
②当为边时，如图，
四边形是菱形，
，
设，，，
在抛物线上，则
解得，
或
解得
是菱形
即
解得
与矛盾，故不存在此情形
综上所述，当A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
5．(1)
(2)①，的最大值为；②或或
【分析】（1）利用直线的表达式求出、两点坐标，设抛物线的交点式方程，利用待定系数法求解；
（2）①根据题意，用表示的坐标，将四边形的面积转化为与梯形的面积进行求解；②用表示各线段的长，对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，分别在三种情况下计算的值．
【详解】（1）解：直线与x轴、y轴的交点坐标分别为、．
抛物线与x轴的另一交点为，
设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，解得．
所求抛物线的函数表达式为，即．
（2）解：①点的坐标为．
,
即，
整理得．
当时，最大，最大值为．
②点的坐标为，点的坐标为，点．
，，
分三种情况讨论：
（Ⅰ）如图1，当时，，
解得，（舍去）．
（Ⅱ）如图2，当时，过点作于点，则为的中点．
，
解得，（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当时，过点作于点，则为的中点．
，
．
，，
，
即，
，即，
，解得，（舍去）．
综上，满足条件的的值为或或．
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与四边形面积的应用，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角函数的应用，解决本题的关键是掌握相关性质定理．
6．(1)抛物线的解析式为
(2)点P的坐标为，S1-S2的最大值为
(3)存在点，使得△A1C1G是等腰直角三角形
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分别求出直线BC、AD、CD的解析式，设CD交x轴于点N，过点P作PM⊥AB交BC于点M，设，则可得到点M的坐标，求得PM，由S1=S△ABC+S△PCM+S△PBM及S2=S△BNC+S△BND，可得关于a的二次函数，即可求得此时的最大值及点P的坐标；
（3）设点，则由平移可得，分三种情况讨论：以C1为直角顶点；以A1为直角顶点；以G为直角顶点；作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的判定与性质可求得点G的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，当x=0时，y=2，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把点C（0，2），B（3，0）代入得：，
解得：．
∴直线BC的解析式为：．
设AD的解析式为，，
把点A（-1，0）代入得：，
解得：，
∴AD的解析式为：，
由解得：，，
∴，
设直线CD的解析式为,
把点D的坐标代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为：，
当y=0时，，
解得：，
记直线CD与x轴交于点N，则：
，，
过点P作PM⊥AB交BC于点M，设，
∴，
∴，
∴S1=S△ABC+S△PCM+S△PBM
=-a2+3a+4，
S2=S△BNC+S△BND
，
∴，
∴当时，S1-S2的最大值为，
此时，点P的坐标为；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，
∴直线l为：x=2，
（i）当等腰三角形以∠A1C1G1=90°，A1C1=C1G1时，如图1所示，过点C1作C1H⊥l于点H，过点A1作A1Q⊥C1H于点Q，
∵∠HC1G1+∠QC1A1=90°，∠QC1A1+∠QA1C1=90°，
∴∠HC1G1=∠QA1C1，
又∵∠A1QC1=∠C1HG1=90°，A1C1=C1G1，
∴（AAS），
∴QA1=C1H，HG1=QC1，
设点
由题意，把点A向右平移1个单位长度再向上平移2个单位长度得到点C，则把点A1向右平移1个单位长度再向上平移2个单位长度得到点C1，
∵AC∥A1C1，且AC=A1C1，
∴
∴，，，
∴2-（a+1）=2，
解得：a=-1，
∴C1（0，2），H（2，2），
∴G1（2，1），
（ii）当等腰三角形以∠C1A1G2=90°，A1C1=A1G2时，如图2所示，过点A1作A1F⊥l于点F，过点C1作C1E⊥A1F于点E，
同（i）理可证：，
设点，则，
∴G2F=A1E=1，FA1=2-a=C1E=2，
∴a=0，
∴，
∴，
∴，
（iii）当等腰三角形以∠C1G3A1=90°，C1G3=A1G3时，如图3所示，过点A1作A1Q⊥l于点Q，过点C1作C1P⊥l于点P，
同（i）理可证：，
设点，则，
∴A1Q=G3P=2-a，，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
综上所述：存在点，使得△A1C1G是等腰直角三角形．

【点睛】本题是二次函数与图形面积、特殊三角形的综合，综合性较强，考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平移的性质等知识，涉及到割补思想、分类讨论思想、方程思想等数学思想，构造全等三角形是本题的难点．
7．(1)
(2)
(3)P或P（2，0）或P
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D点坐标，最后再用待定系数法求出a、b、c；
（2）设E，则F，则EF=，根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）分①AP=PQ，∠PQB=90°，②PB=PQ，∠APQ=90°，③PQ=BP，∠PQA=90°，设PQ=a，分别表示出AP和BP，再根据AB=AP+BP=6，求出a的值，进而求出P点坐标．
【详解】（1）解：设直线AC为y=kx+b，则
，
解得
∴直线AC的解析式为：
∴ ，
解得
∴D ．
∵抛物线为经过点A、B、D三点，
∴ ，
解得 ．
（2）解：设E，则F，
∴EF= ，
∵a= ，
∴EF有最大值，
当x=时，
EF的最大值为．
（3）解：①当AP=PQ，∠PQB=90°时，作QH⊥AB于H，如图，
设QH=a，则AH=2a，
设AP=PQ=x，则PH=2a-x，
∵，
∴，
∴，
∴PH=．
∵QH⊥AB，PQ⊥BQ，
∴∠QBP=∠PQH，
∴tan∠QBP=tan∠PQH，
∴，即
∴BH=．
∵AH+BH=AB=6，
∴，
∴，
∵OP=AP-OA=
∴P ；
②当PB=PQ，∠APQ=90°时，如图，
设QP=a，则AP=2a，PB=a，
∴AB=AP+PB=3a=6，
∴a=2，
∴P（2，0）；
③当PQ=BP，∠PQA=90°时，如图，
设PQ=a，则PB=a，
∵tan∠QAP=，
∴AQ=2a，，
∴AB=，
∴，
∴OP=AP-OA=，
∴P
综上所述，P或P（2，0）或P．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是准确理解二次函数的性质，能根据题意正确画出图形，找到线段之间的关系，列出方程求解．
8．(1)平行四边形是矩形
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据，，，可得CD//y轴，AD//x轴，得出四边形AOCD是平行四边形，根据∠AOC= 90°，可得四边形AOCD是矩形；.
（2）设抛物线的解析式为，把，，代入得函数解析式；
（3）分三种情况讨论：①当点A1，C1落在抛物线上时；②当点D1落在抛物线上时；③当点C1，D1落在抛物线上时，分别求出点A1的坐标．
【详解】（1）证明四边形AOCD是矩形，理由如下：
∵，，，
∴CD//y轴，AD//x轴，
∴CD∥OA，AD∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
又∵点A在y轴上，点C在x轴上，
∴∠AOC= 90°，
∴四边形AOCD是矩形；.
（2）解：设抛物线的解析式为，
把，，代入得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（3）∵，，，
∴AD = 1，CD =，
由（1）得，四边形AOCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，由旋转可知：，
∴，，
∴ΔA1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，
∴分三种情况讨论：
①当点A1，C1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，如图2，
设
则，
∴，即，
∴
，
即
∵
∴
整理得：，
①+②得：，
解得：，
当时，
，
∴；
②当点D1落在抛物线上时，点A1不可能落在抛物线上，
如图3，
③当点C1，D1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，
如图4，
此时C1、D1关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设则：，
∴，
，
又∵，
∴，
解得：，
∵A1D1 = 1，
∴，
把代入得：
，
解得：，
∴，
综上所述，若△A1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，此时A1的坐标为或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
9．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2） 先求解再求解抛物线的对称轴为： 证明 可得 再求解 从而可得答案；
（3）先分三种情况求解为直角三角形时，的坐标，结合图像可得为锐角三角形时的纵坐标的取值范围．
【详解】（1）解： 抛物线过点，点，
解得：
所以抛物线为：
（2）存在，理由如下：
令
解得：
而
而抛物线的对称轴为：







设为
解得
所以为



解得：或
如图，过作轴，交轴于K，

或
解得：或
同理：直线的解析式为
或
或
（3）如图，设

当时，

解得： 即
当时，

解得： 即
当时，

解得：
所以以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，点Q纵坐标n的取值范围为：
或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与直角三角形，理解题意，作出适当的辅助线进行转换是解本题的关键．
10．(1)
(2)当时，取最大值，此时
(3)，，，
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解．
（2）过点作交于点，令，得点坐标为，即直线的解析式为，由题设：，，求得，根据，可得，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质求得，分别利用勾股定理求得的长，根据等腰三角形的性质，建立方程即可求解，最后求得直线，检验时，是否有点在直线上，从而取舍点的坐标．
【详解】（1）在中，，
∴，
∴.
将，代入得：
解得：
∴该抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作交于点
令，
解得
则点坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
即直线的解析式为，
由题设：，，
∴，
，
当时，取最大值，此时；
（3）
轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，
则的对称轴为，
设，，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
，
，
当时， ，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得，，
直线的解析式为，当时，，
即在直线上，
不能构成三角形，
，，，，
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，二次函数最值问题，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
11．(1)
(2)最大值为，此时点D的坐标为
(3)N点坐标为或或或
【分析】（1）令，解一元二次方程，结合点A在点B的左侧，即可得出A点坐标；
（2）延长DE交x轴于点K，先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，其中，则可表示出点E的坐标和DE的长，再求出S1和S2的含t表达式，从而得出S1-S2的表达式，然后根据二次函数的性质求最大值，并求出此时D点坐标即可；
（3）根据C、B两点的坐标得出，则可推出抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，根据平移的规律得出新的抛物线，从而求出M点的坐标，设，分两种情况讨论，即①当时，②当时，分别根据腰相等建立关于n的方程求解，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线，与x轴交于A、B两点，
令，得，
解得
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为；
（2）解：如图1，
延长DE交x轴于点K，
抛物线与y轴交于点C，
∴，
设直线AC的函数表达式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线AC的函数表达式为，
设，其中，
∴，
，
，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时点D的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∵原抛物线的对称轴为直线，设，
①当时，，
∴，
∴或；
②当时，，
∴或
∴或；
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，二次函数图像的平移，两点间距离公式的等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据△=0即可求出m的值，故可求解；
（2）分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点，得到，根据相似三角形对应线段成比例求出CE，DE的长，设，表示出 ，代入二次函数求出t，得到C，D的坐标，故可求出直线CD的解析式，求出F点坐标，进而求出△COD的面积；
（3）过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点，根据三角函数的特点与平行的性质求出，得到，表示出Q点坐标，故可求出n的值，再求出PC的解析式，联立求出交点即可求出P点坐标．
【详解】（1）由题知，
∴，
∴；
（2）分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点，
则，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
得，
∴，
∴．
当时，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
又∵D为抛物线上，
解得，
∴，，
设直线，代入C、D得，
∴，
∴，
令x=0，y=3，
则,
∴；
（3）过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
设直线为，代入得，
∴，
令得：（舍），
∴．
【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键熟知二次函数的图象与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的方法．
13．(1)；
(2)①点D的横坐标为；②（3，）；（8－2，5－5）；（4，－6）
【分析】（1）求出B、C坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）①先求出A点坐标，根据△DEG≌△AFG证明得到△BOC∽△COA，再求出AG＝AF，求出AC解析式，设点D的坐标为（m，），点G的坐标为（m，），点F的坐标为（m，0），表示出DG=AG＝（8－m），得到方程故可求解；
②根据等腰三角形的性质分3种情况，分别解方程即可求解．
【详解】（1）∵tan∠OBC＝2，
∴，
∵OB＝2，
∴OC＝4，
∴B（－2，0），C（0，－4），
把B（－2，0），C（0，－4）代入得，解得，
∴；
（2）①当=0时，x1=-2，x2=8，
∴A（8，0），
∴OA=8，
∵△DEG≌△AFG，
∴DG＝AG，∠DEG＝∠AFG=90°，∠DGE＝∠AGF，
∵，∠BOC＝∠COA＝90°，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCA＝∠OBC，
∵DF⊥x轴于点F，
∴∠AGF＝∠OBC，
∴tan∠AGF＝2，
在Rt△AOC中，AO=8，OC=4，
∴AC=，
∵DFOC，
∴sin∠ACO＝ =＝= sin∠AGF，
即AG＝AF，
把A（8，0）和C（0，－4）代入，得，
解得，k＝，b＝－4，
∴，
设点D的坐标为（m，），
则点G的坐标为（m，），点F的坐标为（m，0），
∴DG＝（）－（）＝，AF＝8－m，
∴AG＝（8－m），
∵DG＝AG=（8－m），
∴解方程＝（8－m）得，，
由题意，0＜m＜8，
∴点D的横坐标为；
②设点D的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，），
∵C（0，-4），
∴DG2==，
DC2==，
GC2==，
当△CDG是等腰三角形时，①DG=DC，故DG2=DC2，
∴=，
解得m1=0（舍去），m2=3，
∴（3，）；
②DG=GC，故DG2=GC2，
∴=，
解得m1=0（舍去），m2=8+2（舍去），m3=8－2，
∴（8－2，5－5）；
③DC=GC，故DC2=GC2，
∴=，
解得m1=0（舍去），m2=8（舍去），m3=4，
∴（4，－6）；
综上，D的坐标为（3，）；（8－2，5－5）；（4，－6）．
【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、解三角形的方法、全等三角形与相似三角形的判定与性质．
14．(1)，
(2)2
(3)或
【分析】（1）抛物线解析式设为顶点式，然后代入A点即可求得二次函数解析式，继而得到点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）设D的坐标，表示出F的坐标，从而表示出DF的函数解析式，配方求得；
（3）分为∠APM = 90°和∠APM = 90°，当∠APM= 90°时，点P的纵坐标和A点纵坐标相
同，当∠APM = 90°时，作于Q，由，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）点M（1，4）为抛物线顶点，
设抛物线解析式为，
将点A（4，﹣）代入得，
解得，
抛物线解析式为；
，
将A、B代入直线y＝kx+b得，
解得，
直线的解析式为；
（2）设，
，
，
当时，DF有最大值为2；
（3）如图，当时，
，
；
当时，
，
作于Q，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象及其性质，相似三角形的判定和性质应用等知识，解决问题的关键是熟练掌握基础知识和基本题型．
15．(1)，D（-1，-4）；
(2)E（0，-1），（0，-3）或（0，）
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，化为顶点式即可得到点D的坐标；
（2）△ADE是直角三角形，所以需要分类讨论，利用E在y轴的负半轴，得到∠DAE为锐角，得到∠AED=90°或∠ADE=90°分别求出，利用勾股定理求出Ｅ点坐标．
（3）作HG的垂直平分线交y轴于点N，连接NG，求出，再求出，设AG=CE=a＞0，利用等量关系求出OH=CE=a，利用，求出，得到，即，得到，再求出，利用∠GON=90°，得到，所以求出a，得到E的坐标，再得到直线AE的解析式，求出抛物线与直线AE的交点 F的坐标即可．
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入解析式，得
，解得，
∴，
∴顶点D的坐标为（-1，-4）；
（2）∵E在y轴负半轴上，∠DAO＞∠DAE，且∠DAO为锐角，
∴∠DAE为锐角．
∵△ADE是直角三角形，则∠AED=90°或∠ADE=90°，
设点E（0，y），y＜0，
则，
，
当∠AED=90°时
即
整理得
解得y=-1或y=-3，
∴，
当∠ADE=90°时，
即
解得
∴
综上所述：E点坐标为（0，-1），（0，-3）或（0，）．
（3）作HG的垂直平分线交y轴于点N，连接NG，
∴GN=HN
∴
设则
∴
在中，令x=0，则y=-3，
∴，又∵A(-3，0)
∴OA=OC=3
设AG=CE=a＞0
∴OE=OC+CE=a+3
OG=OA-AG=3-a，
又∵OH+OA=OE
∴OC+CE=OH+OA
又∵OA=OC
∴OH=CE=a，
∵
∴
∴
即
∴，
∴OH+ON=
∴
又∵∠GON=90°，
∴
∴
化简得
即
解得a=1或a=-3＜0（舍）
∴OE=3+1=4
∴E(0，-4)
设直线AE表达式为
∴解得∶
∴
联立
∴
化简得：
解得（舍）
∴当x=时，y=
∴
∴点F的坐标为.
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定即性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】(1)把点C坐标代入解析式确定a值，利用解析式联立构造一元二次方程，运用根与系数关系定理计算即可．
(2)利用中点坐标公式，结合解析式计算即可．
(3)利用等腰直角三角形的性质，运用三角形全等，结合解析式，勾股定理证明即可．
【详解】（1）∵ 抛物线交y轴于点，与其“对称弦直线”交于点A，B，且y=2x，
∴-4a=-4, ，
∵A，B关于原点对称，
∴a=1, b=2，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵ 抛物线的解析式为，
设点P的坐标为(m，)，点C的坐标为(0，-4)，
∵ ，
∴PE=EC，
∴点E的坐标为(，)，
∵ 点E在直线y=2x上，
∴，
解得m=或m=-(舍去)，
当m=时，==，
故点P的坐标为．
（3）存在，理由如下：
过点H作HF∥x轴，过点A作AF⊥HF，垂足为F，过点B作BD⊥HF，垂足为D，
∴∠AFH=∠BDH=90°，
∵△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=HB，∠AHB=90°，
∴∠AHF+∠DHB=∠DBH+∠DHB=90°，
∴∠AHF=∠HBD，
∴ △AHF≌△HBD，
∴ AF=HD，HF=BD，
设H的横坐标为t，
根据题意，得，
∵A，B关于原点对称，
∴ b=k，x=±2，
∴ A(2，2k)，B(-2，-2k)，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∴ b=k＞0，
∴ AF=DH= -2-t，HF=DB= 2-t，
∴-2-t+2-t=4k，
解得t=-2k，
∴ H(-2k，)，
∵△ABH是等腰直角三角形，
∴OA=OB=OH，
∴，
解得k=1或k=-1或k=或k= -，
∵ b=k＞0，
∴k=1或k=，
当k=1时，H与B点重合，不成立，舍去，
故k==b，
故抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，三角形全等的判定和性质，中点坐标公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握抛物线的性质，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式是解题的关键．
17．(1)抛物线的解析式为：
(2)P(6，7)或P(4，-5)
(3)存在，(2，3)，(2，-7)，(2，1)，(2，-6)
【分析】（1）根据待定系数法直接求二次函数解析式即可；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，则，由得：AM=PM ，用含m的代数式分别表示AM和PM，据此得到关于m的方程，求解即可；
（3）根据二次函数的解析式得出，设设点，分类讨论当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）设，把代入得：
，
解得：
∴
∴抛物线的解析式为：．
（2）设P（m，），
过点P作PM⊥x轴于点M，则，由得：AM=PM ，
∴ ，
即或 ，
解得：（不合题意，舍去），
（不合题意，舍去），
∴P（6， 7）或 P（4， -5）；
（3）存在；
抛物线的解析式为：，，对称轴为直线，
设点
，
当时，由勾股定理可得，
即，整理得，
解得或，
或；
当时，由勾股定理可得，
即，整理得，
解得 ，
；
当时，由勾股定理可得，
即，整理得，
解得 ，
；
综上，（2，3）， （2，-7）， （2，1）， （2，-6）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图形和性质、勾股定理及直角三角形的存在性，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．(1)(1，4)
(2)E(，)，F(，)
(3)存在，P点的坐标为(，)或(，)或(，)．
【分析】（1）根据题意可得出A点坐标和B点坐标，再利用待定系数法求出其解析式，最后化为顶点式即可得出其顶点坐标；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+t，将A与B坐标代入求出k与t的值，确定出直线AB解析式，结合抛物线解析式，设出E与F坐标，两纵坐标相减表示出EF，再利用二次函数的性质即可确定出此时E和F的坐标；
（3）分类讨论①当中时和②当中时，根据P点纵坐标与E点纵坐标或F点纵坐标相等，即可求出答案．
【详解】（1）∵，，
∴，A(-1，0)，
∴，
∴B(4，-5)．
∵抛物线经过A，B两点，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为(1，4)；
（2）设直线AB的解析式为，
则，解得：
∴直线AB的解析式为．
∵点E是斜边上一动点（点A、B除外），
∴可设E(x，-x-1)(-1