2025年中考数学考前冲刺：特殊三角形问题（二次函数综合） 压轴练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：特殊三角形问题（二次函数综合） 压轴练习题（含答案解析），共37页。试卷主要包含了我们定义等内容，欢迎下载使用。
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
4．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
9．如图，已知二次函数的图象与轴相交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点在二次函数的图像上，且∥轴．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．
（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；
（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；
（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为， (点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
11．抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．
12．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
14．抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴正半轴交于点，且点的坐标为，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在此二次函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
《2025年中考数学高频压轴题训练——特殊三角形问题（二次函数综合）》参考答案
1．（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）
【分析】（1）根据题意得出点B和点C的坐标，将两点坐标代入即可得出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式得出点M的坐标，根据OD＝m设出点P的坐标，从而得出PD的长度，再根据得出S关于m的函数解析式；再根据点P在线段MB上得出m的取值范围；
（3）分别讨论∠PDC、∠DPC和∠DCP分别是直角的情况是否存在，如果存在，根据实际情况，利用数形结合的思想得出点P的坐标.
【详解】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）由（1）可得函数解析式为：，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，将点M（1，4），点B（3，0）代入可得：
则有，
解得：，
∴直线MB的解析式为；
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，）
∴；
又∵点P为线段MB上的一个动点，且当点P与点B重合时，点P和点D重合，PCD不能构成三角形，
∴；
∴；
（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
如图，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CPAB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入，
得：，此时．
∴线段BM上存在点使△PCD为直角三角形．
如图，当时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO•P′D′，
即，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴P′
综上所述：P点坐标为：（，3），．

【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，其中第一问求函数解析式注意检验，确保正确；第二问求坐标系中三角形的面积，需注意先观察三角形中是否有平行于坐标轴的边，如果有的话就以这条边为底，设出动点坐标，用坐标将线段长度表示出来后计算，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；第三问是直角三角形的问题，可以用勾股定理，也可以利用两直线垂直的性质进行计算，注意动点所在的位置，计算出的结果要舍去不符合条件的量.
2．（1）；
（2）存在，点的坐标为或或或；
拓展设问：存在，点的坐标为或或
【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式列方程求解即可得到答案；
（2）求出及对称轴，设，由两点之间距离公式得到，，，根据题意，由等腰三角形性质分三种情况：当时；当时；当时；分类讨论求解即可得到答案；
拓展设问：设点的坐标为，根据坐标两点的距离公式，得到，，，根据题意，分三种情况：当为菱形的对角线时；当为菱形对角线时；当为对角线时，由菱形性质列方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于点和点，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）存在，点的坐标为或或或，理由如下：
由（1）知，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
设点，其中，
点、、，
，，，
当时，则，解得，则点或；
当时，则，解得或（负值舍去），则点；
当时，则，解得，则点；
综上，点的坐标为或或或；
拓展设问：存在，点F的坐标为或或，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为,
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴设点的坐标为，此时，
∵，，
∴，，
，
①当为菱形的对角线时，如图所示：
此时，
∴，解得，
∴；
②当为菱形对角线时，如图所示：
此时，
∴，解得或（不合题意，舍去），
∴；
③当为对角线时，如图所示：
此时，
∴，解得或（不合题意，舍去），
∴；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、等腰三角形性质、菱形性质、两点之间距离公式、解二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，等腰三角形性质及菱形性质是解决问题的关键．
3．（1）A（-1，0），B（2，3），；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，理由见解析；（3）
【分析】（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线平移以后的顶点可得平移后的解析式为，由抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，则，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可．
【详解】（1）∵点A是直线与轴的交点，
∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，
∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，
∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3，
∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，
∴M点为（0，-1）
∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点
∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法，直角三角形的判定，一元二次方程根的判别式，熟记基本的性质与运算公式是解题关键．
4．(1)；
(2)存在，满足要求的N点坐标有，，．
【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解；
（2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴．
令，则，
解得，，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
∵，，，
∴，，则，
∴，
∴．
①如图所示，，交轴于，
则，，，
∴，
∴轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，，
则，，
∴，
∴；
③如图所示，，
则，，，
∴，
作轴于，则，
∴，，
∴，
作轴，于点，则，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴，，
∴．
综上所述，满足要求的N点坐标有，，．
【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
5．（1）yx2x+3；（2），P(，)；（3）存在，Q1(，3)，Q2(﹣1，2)
【分析】（1）将已知点B（2，0）代入，抛物线对称轴为直线x，即，联立方程组，求出a，b，即可确定二次函数的解析式；
（2）首先根据△PQG是等腰直角三角形，设P（m，m2m+3）得到F（m，m+3），进而得到PQm2m+3﹣m﹣3m2m，从而得到△PQG周长m2m（m2m）＝（1）（m2m），配方后即可确定其最大值；
（3）利用两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13 ，根据等腰三角形的性质分3类讨论，联立方程组即可求得Q．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x，
∴，解得，
∴yx2x+3．
（2）令y＝0，即x2x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
设P（m，m2m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQm2m+3﹣m﹣3m2m，
∴当m时，PQmax，此时P（，），
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周长m2m（m2m），
＝（1）（m2m），
＝（1）PQ，
∴△PFG周长的最大值为：（1）．
（3）∵B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），
由两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，
①当CQ＝CB时，
∴2m2＝13，
∴m1（舍去），m2，
∴Q1（，3）；
②当BQ＝CB时，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴Q2（﹣1，2）；
③当CQ＝BQ时，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m，
∴Q3（，）（不合题意舍去），
综上所述，当Q1（，3），Q2（﹣1，2）时，以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．
6．(1)见解析
(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．
【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形；
（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：令x=0，则y=c，
∴点C(0，c)，
令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0，
∴(2x-1)(x-c)=0，
∴x1=，x2=c，
∵点B在点A右侧，
∴点B(c，0)，点A(，0)，
∴OB=OC=c，
∵∠COB=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形；
（2）解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-，
∴点D(，-)，
设DM交x轴于点M，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∵点A，B关于DE对称，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵EM⊥AB，
∴EM=AB，
当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，
∵DM⊥AB，
∴AB=2DM，
∵点B(c，0)，点A(，0)，
∴AB=c-，
∵点D(，-)，
∴DM=，
∴c-=，
整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，
∴c1=，c2=，
∵c>，
∴c=，
∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
7．（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
【详解】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
8．（1）；（2）M点坐标为（0，0）或
【分析】（1）首先将抛物线的解析式设成顶点式，然后将A、C两点坐标代入进行计算；（2）首先求出点B的坐标，然后分三种情况进行计算.
【详解】（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a+k，
由A(2，0)，C(0，3)得：
解得
∴抛物线的解析式为y=.
（2）当y=0时，有=0.
解得x1=2，x2=-3.
∴B(-3,0).
∵△MBC为等腰三角形，则
当BC=CM时，M在线段BA的延长线上，不符合题意.即此时点M不存在；
当CM=BM时，∵M在线段AB上，∴M点在原点O上.即M点坐标为(0,0)；
当BC=BM时，在Rt△BOC中，BO=CO=3，由勾股定理得BC==3，
∴BM=3.
∴M点坐标为(3-3,0).
综上所述，M点的坐标为(0,0)或(3-3,0).
【点睛】考点：二次函数的综合应用.
9．存在，点或或．
【分析】由抛物线解析式可得出C、B坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当时，点P在OC的垂直平分线上，根据O、C坐标可得OC中点坐标，把OC中点的横坐标代入BC解析式即可得P点坐标；当时，设P（x，-x-3），利用两点间距离公式即可得P点坐标；当时，利用利用两点间距离公式即可得P点坐标．
【详解】当时，，
解得：，
∵点在点的左边，
∴
当x=0时，y=-3，
∴B（0，-3），
设直线BC的函数解析式为
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x-3，
①当时，点P在OC的垂直平分线上，
∵点C（-3，0），O（0，0），
∴OC中点坐标为（，0），
把x=代入y=-x-3得：y=-3=，
∴点
②当时，设P（x，-x-3），
∴=3，
解得：x1=0，x2=-3（舍去），
∴-x-3=-3，
∴点，
③当时，设点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）
∴
∴存在，点或或．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
10．（1）①；②
（2）见解析
（3），．
【分析】（1）根据题意直接可得出结论；
（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；
（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论．
【详解】（1）由题意可知：，
（2），，
和互为旋补比例三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
与互为旋补比例三角形．
（3），，
，过作轴于点，
，，
，
经过与，
，对称轴为直线，
与互为旋补比例三角形，
，，
，，
如图，过点作于点，
，，即点与点重合，
，即为等腰直角三角形，
为以点为顶点的等腰三角形，
，
，
①在轴上方，如图：
易证：，
，，
，，
②在轴下方，如图：
易证：
，，
，，
综上，，．
【点睛】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．
11．（1）；（2）4；（3）
【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可．
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积．
（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值．
【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到
抛物线的对称轴为，即，解得
∴抛物线的方程为
（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵轴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
设，则，
∴
又∵
∴
解得或
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
综上所述：．
（3）设，在抛物线上，则
将代入上式，得

当时，，∴时，最小，即最小
=
当时，，∴时，最小，即最小
，
综上所述
【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．
12．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．
【详解】解：（1）设y＝ax（x﹣5），
把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+5x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（2，0）时，PCmax＝4，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，
①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，
解得：m＝4+或m＝0（舍去），
∴P（4+，2﹣3）；
②当OC＝OP时，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m1＝6，m2＝4，
∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的待定系数法、二次函数的图象性质以及等腰三角形的性质和判定．解答关键是，根据等腰三角形的腰与底边进行分类讨论，构造方程求解．
13．(1)
(2)点M坐标（1，2）
(3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，）
【分析】（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M坐标即可；
（3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如图，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4；
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+m，
则，解得，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴M（1，2）．
（3）解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∴D（1，0）．
设点P的坐标为（1，t），
∵C（0，3），
∴CD2=12+32=10．
分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：
①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6，
所以点P的坐标为（1，6）；
②若PD=CD，则t2=10，解得t=±，
所以点P的坐标为（1，）或（1，-）；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD，
则1+（t-3）2=t2，解得：t=，
所以点P的坐标为（1，）；
综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，））或（1，-）或（1，）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．
14．(1)；
(2)存在，符合题意的点E的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况：，，讨论即可．
【详解】（1）解：∵经过、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在y轴上存在点E，使为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为，
∴，
设E点坐标为，
∴，，，
当时，有，
∴，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，
，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，
，
解得或，
∴此时点E的坐标为或．
综上所述，符合题意的点E的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数与特殊三角形，掌握待定系数法，勾股定理等知识是解题的关键．
15．(1)；
(2)存在，或．
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式以及二次函数与坐标轴的交点：
（1）先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出点的坐标，根据求出，把，代入求得，即可得出函数关系式；
（2）设点，连接，取的中点，则点的坐标为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半列方程求解即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵二次函数的图象与轴交于点、，且点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴
∵
∴，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴．
（2）解：设点，连接，取的中点，则点的坐标为，
要使，则点在以为直径的圆上，
∴，即，
整理得，
即，
解得(舍)或(舍)或或．
∴点的坐标为或．