2024年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（特殊三角形问题）

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1．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．
①求点P的坐标；
②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点．连接，将 沿轴向右平移 个单位长度，得到 ．
(1)求抛物线的函数表达式与顶点的坐标．
(2)如图，连接，当 周长最短时，求的值．
(3)如图，设边与边交于点，连接，是否存在，使得与 的一边相等?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．

(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值．
5．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点A，抛物线的顶点为D．
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接、、，求证：是直角三角形；
(3)在x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线的顶点为，请问在平移过程中，是否存在的值，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．

(1)求点和点的坐标；
(2)求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
8．以直线为x轴，为y轴，与交点O为原点做平面直角坐标系，点B坐标为，点C坐标为，点A坐标为．
(1)如图1，请求出抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线上有一点D，点D在第一象限与直线上，过点D向直线作垂，交于点E，把长设为L，则当L长度最大时，请求出D点坐标与L最大值．
(3)如图2，在（2）D点坐标的基础上，在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标为_________．
9．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B，与轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图（1），连接，点P是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图（2），在（2）的条件下，将该抛物线向右平移3个单位，点E、F分别为点P、A的对应点，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
10．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)如图1，当点P的坐标为时，求的面积．
(3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴正半轴交于点，且点的坐标为，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在此二次函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值．
13．如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E．当时，求P点坐标．
(3)若抛物线上存在点T，使得是以为直角边的直角三角形，直接写出点T的坐标．
14．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标；
(3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________；
(4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________．
15．如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点，其中，，点从A点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过作交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)点出发的同一时刻，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)，
(2)①；②存在，点Q坐标为或．
2．(1)，顶点的坐标为；
(2)；
(3)或．
3．(1)
(2)①；②或或或
4．(1)直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ；
(2)存在，
(3)
5．(1)
(2)点坐标为或或或
6．(1)抛物线的函数表达式为，点的坐标为
(2)存在的值，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，的值为或或
7．(1)
(2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为
(3)存在，或或
8．(1)
(2)，L的最大值为
(3)
9．(1)
(2)面积有最大值是3；P点坐标为
(3)或或，
10．(1)
(2)6
(3)或或或
11．(1)；
(2)存在，或．
12．(1)；
(2)存在，点P的坐标为或或；
(3)，．
13．(1)
(2)
(3)或
14．(1)
(2)
(3)
(4)或或 或
15．(1)
(2)，面积最大值；
(3)或或