中考数学专题训练：二次函数压轴题（特殊三角形问题）（含简单答案）

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(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)设，的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；
(3)当是直角三角形时，求点P的坐标．
2．如图，已知抛物线与x轴相交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点E在线段上运动．
(1)求抛物线的对称轴和直线的解析式．
(2)过点E作x轴的垂线，交抛物线于点D，求的最大值和此时点D的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
4．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由．
5．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上．
(1)求的值；
(2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式；
(3)当是直角三角形时，求点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为．
(1)请直接写出点的坐标．
(2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标；
(3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，，点A关于所在的直线的对称点，连接、．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．
(2)若点落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
(3)设抛物线顶点为Q，若是锐角三角形，直接写出m的取值范围．
9．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积；
(3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)过点A作交抛物线于点M，求四边形的面积．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
11．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？此时的值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)M为直线上方抛物线上一动点，作于N，当长度最大时，求M点坐标；
(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第四象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状；
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为．其对称轴交轴于点，点在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．
(1)当时，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，当时，求点的坐标；
(3)点在对称轴上，且，求的面积．
15．如图，抛物线交轴于，两点（点在的右边），与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点．
(1)求、两点坐标；
(2)过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
16．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：；
(3)当是等边三角形时，求P点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线．
(1)点A的坐标为 ；
(2)若射线平分，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？
18．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)，最大值为
(3)或
2．(1)对称轴为直线，直线的解析式为
(2)的最大值为，此时点D的坐标为
(3)存在，或或或或
3．(1)，
(2)，的最大值为
(3)点的坐标为：或
4．(1)
(2)
(3)或
5．(1)
(2)
(3)存在，或或
6．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或．
7．(1)；
(2)当的周长最小，点的坐标为 ；
(3)的坐标为：或或
8．(1)；
(2)
(3)或
9．(1)
(2)，
(3)或或
10．(1)
(2)16
(3)或或或或
11．(1)
(2)当时，有最大值，最大值是，此时
(3)或
12．(1)
(2)
(3)存在点P的坐标为使
13．(1)
(2)直角三角形，见解析
(3)
14．(1)
(2)
(3)或22
15．(1)
(2)当时，的最大值为
(3)或
16．(1)二次函数的解析式为；
(2)见解析
(3)点P的坐标为或．
17．(1)
(2)
(3)当或时，为直角三角形
18．(1)
(2)存在，
(3)存在，或或或