人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率教案

《直线的倾斜角和斜率》教学设计

一、教学内容分析

本节课是直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，它采用坐标法研究几何问题，把几何问题转化为代数问题，而且起着承前启后的作用。一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。

二、学生学习情况分析

本班的学生基础较为薄弱，学习较为被动，很容易在以下两个地方产生错误或困惑：

1.倾斜角与斜率的变化关系;

2. 斜率计算公式的推导运用.

三、教学目标

知识与技能

1.理解直线倾斜角和斜率的概念；

2.掌握过两点的直线的斜率公式及应用.

3.使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法.

4. 通过坐标法的引入，体会用代数方法刻画直线斜率的过程；培养学生联系、对应转化等辩证思维.

情感态度与价值观

1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

四、教学重点，难点

重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

难点：斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。

应用。

五、教学过程

（一）创设情境 引入新课

带领学生欣赏李白《蜀道难》中的诗句“蜀道之难难于上青天”并通过图片欣赏蜀道风光。

问题1：将蜀道近似看着条条直线，那用什么量来刻画直线的倾斜程度？

（设计意图：创设情境，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。）

 （二）新课讲授

 探究一、直线的倾斜角

定义：直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

规定：当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.

练习1:请标出图中直线倾斜角。

问题2：直线倾斜角的范围是什么？

（设计意图：通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。）

预设的答案：倾斜角α的取值范围为0o≤α<180o。

探究二、直线的斜率：

问题3：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？(坡比)

问题4：这量与倾斜角有什么关系？

（设计意图：了解学生的知识经验，并引导学生建立坡度与倾斜角的关系。）

（活动方式：先由学生在回忆的基础上做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份。之后再在学生回答的基础上引导学生建立这个量与倾斜角之间的关系。）

预设的答案：可以用坡度表示斜坡的倾斜程度，如图3，有坡度（比）=（此处可举具体的数字进行解释或复习）

坡度与倾斜角的关系预设的答案：如图3所示是斜坡的主视图，可见，斜坡可以抽象为一条直线，它关于水平面的倾斜角记为α，那么这里的坡度（比）实际就是“倾斜角α的正切值”。

定义：一条直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：k=tana

练习2:求下列直线的斜率

倾斜角为0   30    45    60      120   135     150  

问题5：若我们把K看成а的函数，K是如何随а变化而变化的？

а是锐角时，K    0，且K随a增大而        ；

а是钝角时，K    0，且K随a增大而        。

（提示：当α为锐角时，tan（180 o-α）=-tanα。）

（设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合初中学过的正切值，了解斜率取值的特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。此处也可以多增加一些角，用计算器计算）

（活动方式：由学生独立完成，教师在方法上予以指导——分类讨论法，并类比倾斜角的意义思考概括。）

练习3:判断下列命题的对错

（1）每一条直线都有唯一确定的倾斜角.(     )

（2）每一条直线都有斜率.(      )

（3）直线的倾斜角为 a，则直线的斜率为 tana.(      )

（4）直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大.(      )

探究三、过两点直线的斜率公式

问题6：如图，已知直线上两点P1 （x1 ，y1），

P2 （x2 ，y2），如何求直线的斜率k？（锐角师生共同完成，钝角由学生完成）

斜率公式：

问题7：当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

问题8：.当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

问题9：运用上述公式计算直线斜率时，与P1 P2两点的顺序有关吗？

（设计意图：逐步实践坐标法。）

（活动方式：先由学生初步坐标化，教师引导分类求解。）

活动过程：

原问题转化为：给定两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标，求出直线P1 P2的斜率k。

分析：解决这个问题需要分类求解，首先是相对于两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角，其次是特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析求解。共得到四种不同的情况，分类求解。

例题一：已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

（设计意图：巩固本课时所学的基本知识。）

练习4.经过两点A（2，5）和B（4，7）的斜率等于         倾斜角等于        。

变式1.已知直线经过三点 ,求y的值

变式2直线l过点M（0，－1）且与以P（4，1）、Q（2，4）为两端点的线段PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范围．

（设计意图：进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。）

探究四、预留下节预习问题

问题10：在平面直角坐标系中，（1）画出经过原点且斜率分别为2，直线;（2）画出经过（0，2）且斜率分别为2，直线 ；(3)两直线平行斜率满足什么条件？两直线垂直斜率满足什么条件？

（设计意图：培养数学阅读的习惯，和良好的数学学习的习惯，巩固本课时学习的内容，预习下课时的内容。）

（四）课堂小结：

知识小结：

1、直线的倾斜角定义及其范围

2、直线的斜率定义及斜率k与倾斜角之间的关系

3、斜率公式

数学思想方法小结：

数形结合法；分类讨论法等。

（五）课外作业：

1、教科书第89面1,2,4；

2、练习册练习（学有余力的同学完成）；

3、预习下节内容。