新高考数学二轮复习能力提升练习11 导数中的不等式证明问题（2份，原卷版+解析版）

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一、不等式的证明
证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
【常用结论】
1.破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式等常见形式
2.常见不等式（大题使用需要证明）
①，，，
②，；；
③；；
④；
⑤；
⑥；；，
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明
【解析】（1）的定义域为（0，＋∞），
当，则当x∈（0，＋∞）时，，故在（0，＋∞）上单调递增.
当，则当x∈时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0.
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－eq \f(1,2a)取得最大值，最大值为＝.
所以等价于，即.设g（x）＝ln x－x＋1，则g′（x）＝eq \f(1,x)－1.当x∈（0,1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g′（x）＜0.所以g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.故当x＝1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）＝0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
【典例2】 求证：当时，
【详解】证明：当时，欲证，只需证
，即证，令，
，令，解得，易得在上递减，在上递增，
，，令，解得，易得在上递增，在上递减，，故，所以当时，
【典例3】已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若、为函数的两个极值点，证明：．
【（1）详解】，．
令，则，的对称轴为，△．
①时，，函数在上单调递增；
②当时，△，可得，，函数在上单调递增；
③当时，△，由，解得，．
所以在，，上，，，函数是增函数；
在，，，，函数是减函数．
综上可得，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，，上单调递增，
在，上单调递减．
【（2）详解】证明：有两个极值点，，由（1）知，，
所以，
要证，即证，即证，
因为，所以，所以即证，即证，，
令，，因为，
所以，所以在上单调递减，所以（1），
所以恒成立，得证．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
2．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
3．（2020·浙江·统考高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·北京密云·统考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
2．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数在上的零点个数；
(2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.
3．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)，若函数有两个零点，且，求证：.
5．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数.
(1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当时，.
注：.
6．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
7．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
8．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．
9．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当，是方程的两根，，证明：．
10．（2023·安徽黄山·统考三模）已知函数，
(1)试判断函数在上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.
(2)设，若，证明：不等式在上恒成立.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
12．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)试问曲线是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)证明：．（参考数据：）