新高考数学二轮复习提分练习14 导数解答题之函数型数列不等式问题（2份，原卷版+解析版）

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1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）.
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.
【典型例题】
例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：对任意；
(3)讨论函数零点的个数.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理由．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)求证：．
例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，，求的取值范围；
(2)是否存在，使得？说明理由．
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，，求的最大值；
(2)设，证明：.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若在区间上单调递增，求a的取值范围；
(2)证明：，
例8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知函数.
（1）证明：时，；
（2）证明：.
【过关测试】
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知为正实数，函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)求证：（）.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，均为正数，.证明：.
3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
4．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：；
(3)证明：.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值．
(3)设，证明：．
6．（2023·广东·高三统考期末）已知函数，其中为自然对数的底数，.
(1)当时，函数有极小值，求；
(2)证明：恒成立；
(3)证明：.
7．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：.
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数
(1)证明:当时；
(2)设，证明
9．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，证明：.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
(1)，求证：；
(2)证明：.()
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)试比较与1的大小；
(2)求证：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；
(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；
(3)求证：．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
(3)证明不等式：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：
①；
②.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）若恰为的极小值点.
①证明：；
②求在区间上的零点个数；
（2）若，，又由泰勒级数知：，证明：
17．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的零点个数.
（2）正项数列满足，（），求证：.
18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知函数在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）对定义域内的任意,都有，求的取值范围；
（2）若在处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数，其中为自然对数的底数．
20．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)证明：．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：.